13.3.2 三角形的外角-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

13.3.2 ②基础过关。逐点击破 知识点1三角形外角的定义 1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( A六 2.如图， 是△ABC的一个外角. 2 D (第2题图) (第3题图) 知识点2三角形外角的性质 3.(2024·云南昆明二模)如图，△ABC的外 角∠DAC=95°，∠B=55°，则∠C的度数 为 ( A.55° B.50° C.45° D.40° 4.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD 平分∠ACB,则∠ADC的度数为( A.80° B.90° C.100° D.110° (第4题图) (第5题图) 5.(2024·湖北十堰一模)如图，是一副三角尺 拼成的图案，则∠AEB的度数为( ) A.90° B.75 C.100 D.60° 6.(教材P6习题T,变式)在如图所示的三角形 中，x的值是 0) 60 35 /(x+70)° B D (第6题图) (第7题图) 角形的外角 7.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分 线.若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A的度 数为 8.(教材P1,习题T6变式)如图，AE∥BD,∠1= 95°，∠2=28°，求∠C的度数. 9.如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一 点，DF⊥AB于点F,且交AC于点E, ∠A=30°，∠D=55°.求∠ACD的度数和 ∠FEC的度数. !易错点对三角形的外角的性质理解不 透彻而致错 10.下列说法错误的是 A.一个三角形中至少有两个锐角 B.一个三角形中，一个外角大于任意一个 内角 C.三角形的外角和等于360° D.若三角形有一个外角为锐角，则这个三 角形一定是钝角三角形 第十三章三角形8 可能力提升。整合运用 11.（2024·西安新城区校级三模)如图，在 △ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D, ∠C=30°，∠ADB=80°，则∠B的度数 为 A.50°B.60° C.70° D.809 P 709 起重机 (第11题图) (第12题图) 12.情境题起重机如图，这是一台起重机的工 作简图，前后两次吊杆位置OP1,OP2与吊 绳的夹角分别是30°和70°，则吊杆前后两 次的夹角∠POP:的度数为 () A.60°B.50° C.40°D.30° 13.(教材Ps例4变式)如图，∠BAE,∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角.若∠ACD= 125°，则∠BAE+∠CBF的度数为 14.如图，在△ABC中，DE∥AC,DE分别交 AB,BC于点D,E,EF平分∠DEB交AB 于点F,且∠B=42°，∠DFE=73°，求∠A 的度数. ) 9名师测控·数学八年级上册配RJ版 父思维拓展○学科素养 15.【探索归纳】 图① 图② 图③ (1)如图①，已知△ABC为直角三角形， ∠A=90°.若沿图中虚线剪去∠A,则 ∠1+∠2的度数为 A.90° B.135 C.270° D.315° (2)如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后 得到四边形BCEF,试探究∠1十∠2与 ∠A的关系，并说明理由； (3)如图③，若没有剪掉，而是把它折成如 图③的形状，试探究∠1+∠2与∠A的 关系，并说明理由.参考答案 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 正文答案 基础过关 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC (4)ABBE3.B4.35.41 能力提升 6.C7.B8.解：(1)图中共有5个三角形：(2)△ACE,△DCE,△BCE:(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC. 13.2与三角形有关的线段 弥 13.2.1三角形的边 帐 基础过关 1.C2.B【变式】3（答案不唯一）3.1<x<64.小EF+EG>FG5.A6.A 能力提升 7.D8.C9.解：由于B,C两处可以转动，当A,B,C,D形成一条线段时，AD最长， 它等于AB+BC+CD=1十2+5=8(cm);当A,B,C拉直，B,A落在CD上时，AD最 短，它等于CD-AB-BC=5-1一2=2(cm).答：这根橡皮筋的最大长度为8cm,最短 她 长度为2cm. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 基础过关 1.B2.BCBC S△cDS△A63.234.31°5.解：DE∥AC.理由如下：CD 是△ABC的角平分线，∴.∠ACD=∠1.：∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴DE∥AC. 6.B7.B8.ADLBC ADC90°2BC·AD9.解：1)SAc=2BC·AD= 2×10×4=20:(2)作图如图. B由(1)知SAABC=20.又·S△Ax= 合AC·BE,号X8BE=20BE=5 线 能力提升 12.113.解：(1)：ADLBC,AD=6,△ABC的面积为24，∴.S△Bc= 号BC·AD=合BCX6=24,BC=8.:AE是边BC上的中线CE=BE=号BC 4;(2),点F为AB的中点，.AF=BF,.C△AF-C△EF=(AE十AF+EF)-(BE十 BF+EF)=AE-BE=7-4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 14.解：(1)是.证明如下：DE∥AB,DF∥AC,∴∠EDA=∠DAB,∠EAD=∠ADF. AD是∠CAB的平分线，∠EAD=∠DAB,.∠EDA=∠ADF,∴.DO是∠EDF 的平分线；(2)正确.选择命题：若DO是∠EDF的平分线，DE∥AB,DF∥AC,则AD 是∠CAB的平分线.证明：DE∥AB,DF∥AC,∴.∠EDA=∠DAB,∠EAD= ∠ADF.:DO是∠EDF的平分线，∴.∠EDA=∠ADF,∴.∠EAD=∠DAB,∴.AD是 ∠CAB的平分线.（命题及其证明不唯一） 第1页（共60页） 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 基础过关 1.C2.80°3.20°4.解：(1)两直线平行，同位角相等等量代换 (2)如答图，过点A作AD∥BC,∴∠DAC=∠C(两直线平行，内错角相 等)，∠BAD十∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠BAC十 ∠DAC+∠B=180°.∴.∠BAC+∠B+∠C=180°.5.D6.A7.C 答图 8.160 能力提升 9.B10.55°11.280°12.解：(1)AB∥DE,∴.∠BAC=∠1.∠1=∠2， ∴∠BAC=∠2.：∠DAE=∠BAC,∴∠DAE=∠2，∴.AD∥BC;(2)·AD∥BC, ∠C=∠DAC=40°.：∠DAE=∠BAC,即∠DAC+∠EAC=∠BAE+∠EAC, ∴∠DAC=∠BAE.:AE平分∠BAC,∴.∠EAC=∠BAE=∠DAC=40°，∴∠BAD =∠BAE+∠EAC+∠DAC=120°. 思维拓展 13.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°， ∴.90°+（∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交 PC于点O.:'∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P+∠PBO+∠POB= 180°，.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,∴∠ACP ∠ABP=90°-∠A. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.A2.C3.140°4.C5.解：△ABC是直角三角形.理由如下：：ED⊥AB, ∴∠ADE=90°，∴∠1+∠A=90°.又∠1=∠B,∴∠B+∠A=90°，∠C=90°， ∴.△ABC是直角三角形 能力提升 6.C7.解：AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.：EP为∠BEF的平分线，FP为 ∠EFD的平分线∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠DFE,:∠PEF+∠PFE= 合（∠BEF+∠DFE)=90.∠P=90,:△EPF为直角三角形.8.解：1∠I ∠2.理由如下：：CE⊥AB,AD⊥BC,∠CEB=∠ADB=90°，∴∠2十∠B=90°，∠1 十∠B=90°，∴∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：：AD⊥BC,CE⊥AB, ∠D=∠E=90°，.∠2+∠ABD=90°，∠1十∠CBE=90°.又：∠ABD=∠CBE, ∴∠1=∠2. 13.3.2三角形的外角 基础过关 1.D2.∠ACD3.D4.C5.B6.607.85°8.解：.AE∥BD,..∠ADB=∠1 =95.又∠ADB=∠C+∠2，∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°.9.解：DF ⊥AB,.∠BFD=∠AFE=90°，∴∠B=90°-∠D=35°，.∠ACD=∠B+∠A=35 +30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE=30°+90°=120°.10.B 能力提升 11.A12.C13.235°14.解：∠B=42°，∠DFE-73°，∠FEB=∠DFE-∠B= 73°-42°=31°.：EF平分∠DEB,∠DEB=2∠FEB=2×31°=62°.：DE∥AC, ∴.∠C=∠DEB=62°.：∠A+∠B+∠C=180°，∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°- 42°-62°=76. 第2页（共60页） 思维拓展 15.解：(1)C(2)∠1十∠2=∠A+180°.理由如下：：∠1=∠A十∠AEF,∠2=∠A +∠AFE,∴∠1+∠2=∠A+∠AEF+∠A+∠AFE.又：∠A+∠AEF+∠AFE= 180°，∴∠1十∠2=∠A十180°：(3)∠1十∠2=2∠A.理由如下：：△EFP是由△EFA 折叠得到的，∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∠1=180°-2∠AFE,∠2=180° -2∠AEF,∴.∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF),又：∠AFE+∠AEF=180° ∠A,∴.∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)120°(2)115°(3)BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,.∠CBG= 吉∠ABC∠BCG=7∠ACB.∠BcC=1s0-（∠CBG+∠BcG)=180 号（∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180-∠A∠BGC=180°-2(180- ∠A)=90+号∠A.2.30°3.解：BD平分∠ABC,∠PBC=∠ABC.CP 平分∠ACD,·∠PCD=2∠ACD.:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+ ∠P,∴.∠P=∠PCD-∠PBC=号∠ACD-∠ABC=号（∠ACD-∠ABC)= 吉∠A.465°5.解：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC+∠A.∠EBC+ ∠FCB=∠ACB+∠A十∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是∠EBC,∠FCB 的平分线，∴∠PBC=∠EBC,∠PCB=子∠FCB,.∠PBC+∠PCB=(∠EBC +∠FCB)=合180°+∠A=90+2∠A.∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180 -(90+2∠A0=90°-号∠A. 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1.解：(1)CD⊥AB,BE⊥AC,∴.∠BDC=∠BEC=90°.：∠ABC=50°，∠ACB= 60°，.∠BCD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，∠CBE=90°-∠ACB=90°-60°=30°， .∠BOC=180°-∠BCD-∠CBE=180°-40°-30°=110°；(2)，∠BDC=∠BEC= 90°，.∠ABE=90°-∠A,.∠BOC=∠ABE+∠BDC=90°-∠A+90°=180°- ∠A,∴∠BOC+∠A=180°.2.解：(1)5°(2)AE是△ABC的高，∠AEC=90, ·∠EAC=90°-∠C.”AD是△ABC的角平分线，∠DAC=号∠BAC.:∠BAC= 180°-∠B-∠C,∠DAC=2180-∠B-∠0=90-∠B-3∠C∠DAE =∠DAC-∠EAC=90°-克∠B-号∠C-(90-∠C0=(∠C-∠B.【变式1】 解：1)60°(2)∠DEF=号（∠C-∠B).理由如下：：EF⊥BC,.∠DEF=90° ∠EDF.:AD平分∠BAC,∠BAD=号∠BAC,∴.∠EDF=∠B+∠BAD=∠B+ 合∠BAC.又：∠BAc-18o-∠B-∠C.∠EDF=∠B+2(180-∠B-∠C) 90+号∠B-2∠C.∴∠DEF=90°-(90+2∠B-2∠C)=合（∠C-∠B. 【变式2】解：110(2)∠DEF=（∠C-∠B.理由如下：∠BAC=180-∠B ∠C,∠1=∠2，∴.∠2=∠BAC=2(180°-∠B-∠C),∴∠ADB=∠2+∠C= 180°-∠B-∠C)+∠C=90-∠B+7∠C:EFLBC,∠EFD=90, ÷∠DEF=∠ADB-∠EFD=(90-∠B+2∠C)-90=(∠C-∠B. 第3页（共60页）