13.3.1 三角形的内角-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

参考答案 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 正文答案 基础过关 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC (4)ABBE3.B4.35.41 能力提升 6.C7.B8.解：(1)图中共有5个三角形：(2)△ACE,△DCE,△BCE:(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC. 13.2与三角形有关的线段 弥 13.2.1三角形的边 帐 基础过关 1.C2.B【变式】3（答案不唯一）3.1<x<64.小EF+EG>FG5.A6.A 能力提升 7.D8.C9.解：由于B,C两处可以转动，当A,B,C,D形成一条线段时，AD最长， 它等于AB+BC+CD=1十2+5=8(cm);当A,B,C拉直，B,A落在CD上时，AD最 短，它等于CD-AB-BC=5-1一2=2(cm).答：这根橡皮筋的最大长度为8cm,最短 她 长度为2cm. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 基础过关 1.B2.BCBC S△cDS△A63.234.31°5.解：DE∥AC.理由如下：CD 是△ABC的角平分线，∴.∠ACD=∠1.：∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴DE∥AC. 6.B7.B8.ADLBC ADC90°2BC·AD9.解：1)SAc=2BC·AD= 2×10×4=20:(2)作图如图. B由(1)知SAABC=20.又·S△Ax= 合AC·BE,号X8BE=20BE=5 线 能力提升 12.113.解：(1)：ADLBC,AD=6,△ABC的面积为24，∴.S△Bc= 号BC·AD=合BCX6=24,BC=8.:AE是边BC上的中线CE=BE=号BC 4;(2),点F为AB的中点，.AF=BF,.C△AF-C△EF=(AE十AF+EF)-(BE十 BF+EF)=AE-BE=7-4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 14.解：(1)是.证明如下：DE∥AB,DF∥AC,∴∠EDA=∠DAB,∠EAD=∠ADF. AD是∠CAB的平分线，∠EAD=∠DAB,.∠EDA=∠ADF,∴.DO是∠EDF 的平分线；(2)正确.选择命题：若DO是∠EDF的平分线，DE∥AB,DF∥AC,则AD 是∠CAB的平分线.证明：DE∥AB,DF∥AC,∴.∠EDA=∠DAB,∠EAD= ∠ADF.:DO是∠EDF的平分线，∴.∠EDA=∠ADF,∴.∠EAD=∠DAB,∴.AD是 ∠CAB的平分线.（命题及其证明不唯一） 第1页（共60页） 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 基础过关 1.C2.80°3.20°4.解：(1)两直线平行，同位角相等等量代换 (2)如答图，过点A作AD∥BC,∴∠DAC=∠C(两直线平行，内错角相 等)，∠BAD十∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠BAC十 ∠DAC+∠B=180°.∴.∠BAC+∠B+∠C=180°.5.D6.A7.C 答图 8.160 能力提升 9.B10.55°11.280°12.解：(1)AB∥DE,∴.∠BAC=∠1.∠1=∠2， ∴∠BAC=∠2.：∠DAE=∠BAC,∴∠DAE=∠2，∴.AD∥BC;(2)·AD∥BC, ∠C=∠DAC=40°.：∠DAE=∠BAC,即∠DAC+∠EAC=∠BAE+∠EAC, ∴∠DAC=∠BAE.:AE平分∠BAC,∴.∠EAC=∠BAE=∠DAC=40°，∴∠BAD =∠BAE+∠EAC+∠DAC=120°. 思维拓展 13.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°， ∴.90°+（∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交 PC于点O.:'∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P+∠PBO+∠POB= 180°，.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,∴∠ACP ∠ABP=90°-∠A. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.A2.C3.140°4.C5.解：△ABC是直角三角形.理由如下：：ED⊥AB, ∴∠ADE=90°，∴∠1+∠A=90°.又∠1=∠B,∴∠B+∠A=90°，∠C=90°， ∴.△ABC是直角三角形 能力提升 6.C7.解：AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.：EP为∠BEF的平分线，FP为 ∠EFD的平分线∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠DFE,:∠PEF+∠PFE= 合（∠BEF+∠DFE)=90.∠P=90,:△EPF为直角三角形.8.解：1∠I ∠2.理由如下：：CE⊥AB,AD⊥BC,∠CEB=∠ADB=90°，∴∠2十∠B=90°，∠1 十∠B=90°，∴∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：：AD⊥BC,CE⊥AB, ∠D=∠E=90°，.∠2+∠ABD=90°，∠1十∠CBE=90°.又：∠ABD=∠CBE, ∴∠1=∠2. 13.3.2三角形的外角 基础过关 1.D2.∠ACD3.D4.C5.B6.607.85°8.解：.AE∥BD,..∠ADB=∠1 =95.又∠ADB=∠C+∠2，∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°.9.解：DF ⊥AB,.∠BFD=∠AFE=90°，∴∠B=90°-∠D=35°，.∠ACD=∠B+∠A=35 +30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE=30°+90°=120°.10.B 能力提升 11.A12.C13.235°14.解：∠B=42°，∠DFE-73°，∠FEB=∠DFE-∠B= 73°-42°=31°.：EF平分∠DEB,∠DEB=2∠FEB=2×31°=62°.：DE∥AC, ∴.∠C=∠DEB=62°.：∠A+∠B+∠C=180°，∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°- 42°-62°=76. 第2页（共60页） 思维拓展 15.解：(1)C(2)∠1十∠2=∠A+180°.理由如下：：∠1=∠A十∠AEF,∠2=∠A +∠AFE,∴∠1+∠2=∠A+∠AEF+∠A+∠AFE.又：∠A+∠AEF+∠AFE= 180°，∴∠1十∠2=∠A十180°：(3)∠1十∠2=2∠A.理由如下：：△EFP是由△EFA 折叠得到的，∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∠1=180°-2∠AFE,∠2=180° -2∠AEF,∴.∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF),又：∠AFE+∠AEF=180° ∠A,∴.∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)120°(2)115°(3)BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,.∠CBG= 吉∠ABC∠BCG=7∠ACB.∠BcC=1s0-（∠CBG+∠BcG)=180 号（∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180-∠A∠BGC=180°-2(180- ∠A)=90+号∠A.2.30°3.解：BD平分∠ABC,∠PBC=∠ABC.CP 平分∠ACD,·∠PCD=2∠ACD.:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+ ∠P,∴.∠P=∠PCD-∠PBC=号∠ACD-∠ABC=号（∠ACD-∠ABC)= 吉∠A.465°5.解：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC+∠A.∠EBC+ ∠FCB=∠ACB+∠A十∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是∠EBC,∠FCB 的平分线，∴∠PBC=∠EBC,∠PCB=子∠FCB,.∠PBC+∠PCB=(∠EBC +∠FCB)=合180°+∠A=90+2∠A.∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180 -(90+2∠A0=90°-号∠A. 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1.解：(1)CD⊥AB,BE⊥AC,∴.∠BDC=∠BEC=90°.：∠ABC=50°，∠ACB= 60°，.∠BCD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，∠CBE=90°-∠ACB=90°-60°=30°， .∠BOC=180°-∠BCD-∠CBE=180°-40°-30°=110°；(2)，∠BDC=∠BEC= 90°，.∠ABE=90°-∠A,.∠BOC=∠ABE+∠BDC=90°-∠A+90°=180°- ∠A,∴∠BOC+∠A=180°.2.解：(1)5°(2)AE是△ABC的高，∠AEC=90, ·∠EAC=90°-∠C.”AD是△ABC的角平分线，∠DAC=号∠BAC.:∠BAC= 180°-∠B-∠C,∠DAC=2180-∠B-∠0=90-∠B-3∠C∠DAE =∠DAC-∠EAC=90°-克∠B-号∠C-(90-∠C0=(∠C-∠B.【变式1】 解：1)60°(2)∠DEF=号（∠C-∠B).理由如下：：EF⊥BC,.∠DEF=90° ∠EDF.:AD平分∠BAC,∠BAD=号∠BAC,∴.∠EDF=∠B+∠BAD=∠B+ 合∠BAC.又：∠BAc-18o-∠B-∠C.∠EDF=∠B+2(180-∠B-∠C) 90+号∠B-2∠C.∴∠DEF=90°-(90+2∠B-2∠C)=合（∠C-∠B. 【变式2】解：110(2)∠DEF=（∠C-∠B.理由如下：∠BAC=180-∠B ∠C,∠1=∠2，∴.∠2=∠BAC=2(180°-∠B-∠C),∴∠ADB=∠2+∠C= 180°-∠B-∠C)+∠C=90-∠B+7∠C:EFLBC,∠EFD=90, ÷∠DEF=∠ADB-∠EFD=(90-∠B+2∠C)-90=(∠C-∠B. 第3页（共60页）13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时 三角形的内角 ②基础过关⊙逐点击破 知识点2三角形内角和定理与三角形的 知识点1 三角形内角和定理 角平分线、平行线的综合 1.在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，则△ABC 5.(教材P12例1变式)如图，在△ABC中，AD 是 ) 平分∠BAC,∠B=70°，∠BAD=30°，则∠C A.锐角三角形 B.直角三角形 的度数为 C.钝角三角形 D.等边三角形 A.35 B.40° 2.在△ABC中，∠A=65°，∠B=35°，则∠C的 C.45 D.50° 度数为 3.在△ABC中，∠B=3∠A,∠C=5∠A,则 ∠A的度数是 4.三角形的内角和定理是初中数学学习中的 一个重要定理，下面给出了该定理的一种证 (第5题图) (第6题图) 明方法 6.(2024·四川眉山模拟)如图，在△ABC中， 已知：如图①，△ABC ∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC,交B0 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 于D,DE∥AB,交AC于点E,则∠ADE的 证明：如图②，作BC的延长线CD,在△ABC 度数为 ( 外部，以CA为一边，作∠ACE=∠A. A.40° B.43° ∴.CE∥AB(内错角相等，两直线平行) C.46 D.54 ∴.∠B=∠ECD( 知识点3三角形内角和定理的应用 :∠ACB,∠ACE,∠ECD组成一个平角， ∴.∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的 7.（教材P2例2变式)如图，C岛在A岛的北 定义)， 偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向 ∴.∠ACB+∠A+∠B=180°( 上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛 看A,B两岛的视角∠ACB的度数为( ) A.80° B.95° C.110° D.140° 图① 图② 北 北 (1)请将上面的推理“依据”补充完整； (2)该定理有多种证明方法，请再写出一种 证明方法、 (第7题图) (第8题图) 8.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边 形ABCD,其中∠B=40°，∠CAD=60°，则 ∠BCD的度数为 5名师测控·数学八年级上册配R版 可能力提升©整合运用 父 思维拓展。学科素养 9.物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上 13.综合探究： 滑下时的运动状态，如图，斜坡为Rt△ABC, 如图①，将三角尺（△MPN,∠MPN=90°） ∠C=90°，∠B=13°，小木块△DEF在斜坡 放置在△ABC上（点P在△ABC内），三角 AB上，且DE∥BC,EF∥AC,则∠DFE的 尺的两边PM,PN恰好经过点B和点C, 度数为 我们来探究∠ABP与∠ACP是否存在某 A.13° B.77 C.87 D.63° 种数量关系， (1)【特例探究】若∠A=50°，则∠PBC+ 20 ∠PCB= ,∠ABP+∠ACP= D 115 ◆ (第9题图) (第10题图) (2)【类比探究】探究∠ABP+∠ACP与 10.如图，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC, ∠A之间的数量关系； ∠BDE=120°，∠DFG=115°，则∠C的度 (3)【变式探究】如图②，改变三角尺的位 数为 置，使点P在△ABC外，三角尺的两边 11.(教材P13练习T2变式)如图，∠FAE= PM,PN仍恰好经过点B和点C,探究 100°，线段GD分别交AF,AE于点C,B, ∠ABP,∠ACP,∠A之间的数量关系. 连接GF,ED,则∠D+∠G+∠F十∠E的 度数为 G 图① 图② 12.如图，已知△ABC,过点A作∠DAE= ∠BAC,且AB∥DE,∠1=∠2. (1)求证：AD∥BC; (2)若AE平分∠BAC,∠C=40°，求∠BAD 的度数. 第十三章三角形6 第2课时 直角三角形中两个锐角的关系 ②基础过关○逐点击破 可能力提升○整合运用 知识点1直角三角形的两个锐角互余 6.如图，在△ABC中，∠BAC= 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°， 50°，∠ACB=70°，AD⊥BC于 则∠A的度数为 点D,BE平分∠ABC交AC于 A.34 点E,交AD于点F,则∠BFD 的度数是 B.44° A.30° B.50° C.60° D.70 C.124 7.(教材P1习题To变式)如图，AB∥CD,直线 D.134° EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF的平 2.(2024·广东)如图，将一把直尺和两个含 分线与∠DFE的平分线相交于点P,试说明 30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数 △EPF为直角三角形. 为 ( A.1209 B.90° C.60 D.30° B D (第2题图) (第3题图) 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，若∠A： ∠ABC=5:4,则∠CBD的度数为 知识点2 有两个角互余的三角形是直 角三角形 8.(教材P14例3变式)【探究与证明】 4.已知∠A=42°，∠B=48°，则△ABC为( 如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D, A.锐角三角形 B.钝角三角形 CE⊥AB于点E. C.直角三角形 D.以上都不对 (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由； (2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结 5.(教材P14练习T2变式)如图，点E是△ABC 论是否还成立？并说明理由， 中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB,垂 足为D.若∠1=∠B,则△ABC是直角三角 形吗？为什么？ D 图① 图② 7名师测控·数学八年级上册配RJ版