13.1 三角形的概念&13.2 与三角形有关的线段-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

参考答案 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 正文答案 基础过关 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC (4)ABBE3.B4.35.41 能力提升 6.C7.B8.解：(1)图中共有5个三角形：(2)△ACE,△DCE,△BCE:(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC. 13.2与三角形有关的线段 弥 13.2.1三角形的边 帐 基础过关 1.C2.B【变式】3（答案不唯一）3.1<x<64.小EF+EG>FG5.A6.A 能力提升 7.D8.C9.解：由于B,C两处可以转动，当A,B,C,D形成一条线段时，AD最长， 它等于AB+BC+CD=1十2+5=8(cm);当A,B,C拉直，B,A落在CD上时，AD最 短，它等于CD-AB-BC=5-1一2=2(cm).答：这根橡皮筋的最大长度为8cm,最短 她 长度为2cm. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 基础过关 1.B2.BCBC S△cDS△A63.234.31°5.解：DE∥AC.理由如下：CD 是△ABC的角平分线，∴.∠ACD=∠1.：∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴DE∥AC. 6.B7.B8.ADLBC ADC90°2BC·AD9.解：1)SAc=2BC·AD= 2×10×4=20:(2)作图如图. B由(1)知SAABC=20.又·S△Ax= 合AC·BE,号X8BE=20BE=5 线 能力提升 12.113.解：(1)：ADLBC,AD=6,△ABC的面积为24，∴.S△Bc= 号BC·AD=合BCX6=24,BC=8.:AE是边BC上的中线CE=BE=号BC 4;(2),点F为AB的中点，.AF=BF,.C△AF-C△EF=(AE十AF+EF)-(BE十 BF+EF)=AE-BE=7-4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 14.解：(1)是.证明如下：DE∥AB,DF∥AC,∴∠EDA=∠DAB,∠EAD=∠ADF. AD是∠CAB的平分线，∠EAD=∠DAB,.∠EDA=∠ADF,∴.DO是∠EDF 的平分线；(2)正确.选择命题：若DO是∠EDF的平分线，DE∥AB,DF∥AC,则AD 是∠CAB的平分线.证明：DE∥AB,DF∥AC,∴.∠EDA=∠DAB,∠EAD= ∠ADF.:DO是∠EDF的平分线，∴.∠EDA=∠ADF,∴.∠EAD=∠DAB,∴.AD是 ∠CAB的平分线.（命题及其证明不唯一） 第1页（共60页） 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 基础过关 1.C2.80°3.20°4.解：(1)两直线平行，同位角相等等量代换 (2)如答图，过点A作AD∥BC,∴∠DAC=∠C(两直线平行，内错角相 等)，∠BAD十∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠BAC十 ∠DAC+∠B=180°.∴.∠BAC+∠B+∠C=180°.5.D6.A7.C 答图 8.160 能力提升 9.B10.55°11.280°12.解：(1)AB∥DE,∴.∠BAC=∠1.∠1=∠2， ∴∠BAC=∠2.：∠DAE=∠BAC,∴∠DAE=∠2，∴.AD∥BC;(2)·AD∥BC, ∠C=∠DAC=40°.：∠DAE=∠BAC,即∠DAC+∠EAC=∠BAE+∠EAC, ∴∠DAC=∠BAE.:AE平分∠BAC,∴.∠EAC=∠BAE=∠DAC=40°，∴∠BAD =∠BAE+∠EAC+∠DAC=120°. 思维拓展 13.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°， ∴.90°+（∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交 PC于点O.:'∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P+∠PBO+∠POB= 180°，.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,∴∠ACP ∠ABP=90°-∠A. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.A2.C3.140°4.C5.解：△ABC是直角三角形.理由如下：：ED⊥AB, ∴∠ADE=90°，∴∠1+∠A=90°.又∠1=∠B,∴∠B+∠A=90°，∠C=90°， ∴.△ABC是直角三角形 能力提升 6.C7.解：AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.：EP为∠BEF的平分线，FP为 ∠EFD的平分线∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠DFE,:∠PEF+∠PFE= 合（∠BEF+∠DFE)=90.∠P=90,:△EPF为直角三角形.8.解：1∠I ∠2.理由如下：：CE⊥AB,AD⊥BC,∠CEB=∠ADB=90°，∴∠2十∠B=90°，∠1 十∠B=90°，∴∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：：AD⊥BC,CE⊥AB, ∠D=∠E=90°，.∠2+∠ABD=90°，∠1十∠CBE=90°.又：∠ABD=∠CBE, ∴∠1=∠2. 13.3.2三角形的外角 基础过关 1.D2.∠ACD3.D4.C5.B6.607.85°8.解：.AE∥BD,..∠ADB=∠1 =95.又∠ADB=∠C+∠2，∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°.9.解：DF ⊥AB,.∠BFD=∠AFE=90°，∴∠B=90°-∠D=35°，.∠ACD=∠B+∠A=35 +30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE=30°+90°=120°.10.B 能力提升 11.A12.C13.235°14.解：∠B=42°，∠DFE-73°，∠FEB=∠DFE-∠B= 73°-42°=31°.：EF平分∠DEB,∠DEB=2∠FEB=2×31°=62°.：DE∥AC, ∴.∠C=∠DEB=62°.：∠A+∠B+∠C=180°，∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°- 42°-62°=76. 第2页（共60页） 思维拓展 15.解：(1)C(2)∠1十∠2=∠A+180°.理由如下：：∠1=∠A十∠AEF,∠2=∠A +∠AFE,∴∠1+∠2=∠A+∠AEF+∠A+∠AFE.又：∠A+∠AEF+∠AFE= 180°，∴∠1十∠2=∠A十180°：(3)∠1十∠2=2∠A.理由如下：：△EFP是由△EFA 折叠得到的，∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∠1=180°-2∠AFE,∠2=180° -2∠AEF,∴.∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF),又：∠AFE+∠AEF=180° ∠A,∴.∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)120°(2)115°(3)BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,.∠CBG= 吉∠ABC∠BCG=7∠ACB.∠BcC=1s0-（∠CBG+∠BcG)=180 号（∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180-∠A∠BGC=180°-2(180- ∠A)=90+号∠A.2.30°3.解：BD平分∠ABC,∠PBC=∠ABC.CP 平分∠ACD,·∠PCD=2∠ACD.:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+ ∠P,∴.∠P=∠PCD-∠PBC=号∠ACD-∠ABC=号（∠ACD-∠ABC)= 吉∠A.465°5.解：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC+∠A.∠EBC+ ∠FCB=∠ACB+∠A十∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是∠EBC,∠FCB 的平分线，∴∠PBC=∠EBC,∠PCB=子∠FCB,.∠PBC+∠PCB=(∠EBC +∠FCB)=合180°+∠A=90+2∠A.∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180 -(90+2∠A0=90°-号∠A. 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1.解：(1)CD⊥AB,BE⊥AC,∴.∠BDC=∠BEC=90°.：∠ABC=50°，∠ACB= 60°，.∠BCD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，∠CBE=90°-∠ACB=90°-60°=30°， .∠BOC=180°-∠BCD-∠CBE=180°-40°-30°=110°；(2)，∠BDC=∠BEC= 90°，.∠ABE=90°-∠A,.∠BOC=∠ABE+∠BDC=90°-∠A+90°=180°- ∠A,∴∠BOC+∠A=180°.2.解：(1)5°(2)AE是△ABC的高，∠AEC=90, ·∠EAC=90°-∠C.”AD是△ABC的角平分线，∠DAC=号∠BAC.:∠BAC= 180°-∠B-∠C,∠DAC=2180-∠B-∠0=90-∠B-3∠C∠DAE =∠DAC-∠EAC=90°-克∠B-号∠C-(90-∠C0=(∠C-∠B.【变式1】 解：1)60°(2)∠DEF=号（∠C-∠B).理由如下：：EF⊥BC,.∠DEF=90° ∠EDF.:AD平分∠BAC,∠BAD=号∠BAC,∴.∠EDF=∠B+∠BAD=∠B+ 合∠BAC.又：∠BAc-18o-∠B-∠C.∠EDF=∠B+2(180-∠B-∠C) 90+号∠B-2∠C.∴∠DEF=90°-(90+2∠B-2∠C)=合（∠C-∠B. 【变式2】解：110(2)∠DEF=（∠C-∠B.理由如下：∠BAC=180-∠B ∠C,∠1=∠2，∴.∠2=∠BAC=2(180°-∠B-∠C),∴∠ADB=∠2+∠C= 180°-∠B-∠C)+∠C=90-∠B+7∠C:EFLBC,∠EFD=90, ÷∠DEF=∠ADB-∠EFD=(90-∠B+2∠C)-90=(∠C-∠B. 第3页（共60页）第十三章三角形 13.1 三角形的概念 ②基础过关。逐点击破 可能力提升。整合运用 知识点1三角形的有关概念 6.下面给出的四个三角形都有一部分被遮 1.观察下列图形，其中是三角形的是( 挡，其中不能判断三角形类型（按角分）的 是 ∠ù个×Λ D 2.(教材P4习题T,、T2变式)如图. 7.下列说法：①三角形按边分类可分为三边都 不相等的三角形、等腰三角形和等边三角 形；②等边三角形是特殊的等腰三角形； ③等腰三角形是特殊的等边三角形；④有两 (1)图中共有 个三角形，分别是 边相等的三角形一定是等腰三角形.其中， 正确的个数是 ( (2)△CDE和△BCD的公共角是 A.1 B.2 C.3 D.4 公共边是 8.(原创题)如图，数一数，写一写 (3)在△ABC中，∠A的对边是 (1)图中共有多少个三角形？ (4)在△ABC和△BEC中，∠ACB是边 (2)写出其中以EC为边的三角形； 和 的对角. (3)若有一个公共角的两个三角形称为一对 知识点2三角形的分类 “共角三角形”，则以∠B为公共角的“共 3.用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C 角三角形”有哪些？ 表示三边都不相等的三角形，则下列四个分 类图中，能正确表示它们之间关系的是( B D 4.图中直角三角形共有 个 B D (第4题图) (第5题图) 5.(教材P4习题T4变式)如图，已知AB=AC, AD=BD=DE=CE=AE,则图中共有 个等腰三角形，有 个等边三 角形 1名师测控·数学八年级上册配RJ版 13.2与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 ②基础过关。逐点击破 网能力提升⊙整合运用 知识点1三角形的三边关系 7.(2024·湖北孝感模拟)已知△ABC中，其中 1.下列各组线段中，能构成三角形的是( 有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是 A.2,5,8 B.3,3,6 偶数，则此三角形的周长为 ( C.3,4,5 D.4,5,9 A.11 B.12 2.(2024·江苏淮安)用一根小木棒与两根长 C.13 D.11或13 度分别为3cm、5cm的小木棒组成三角形， 8.几何直观应用意识如图①所示，将长为8的 则这根小木棒的长度可以是 ) 长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左 A.9 cm B.7 cm 右两侧长方形的宽相等.若要将其围成如图 C.2 cm D.1 cm ②所示的三棱柱形物体.则图中α的值可以 【变式】新视角结论开放题)一个三角形的两边 是 ( ) 长分别是2和4，则第三边长可以是 (只填一个即可) 3.一个三角形的三边长分别为5,1+2x,8,则 x的取值范围为 图① 图② A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，将五边形ABCDE沿虚 线裁去一个角得到六边形 9.如图，AB,BC,CD是三根长度分别为1cm, ABCDGF,则该六边形的周长 2cm,5cm的木棒，它们之间连接处可以活 一定比原五边形的周长 (选填“大 动.现在A,D之间拉一根橡皮筋，请根据四 或“小”)，理由： 边形的不稳定性思考：这根橡皮筋的最大长 度为多少厘米？最短长度为多少厘米？ 知识点2三角形的稳定性 5.(2024·广西柳州模拟)下列图形中，具有稳 定性的图形是 B 6.在如图所示的模型中，三角形架子是其主要 结构，这种设计的原理是 A.三角形具有稳定性 B.两点之间，线段最短 C.两点确定一条直线 D垂线段最短 第十三章三角形2 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 ②基础过关。逐点击破 知识点3三角形的高 知识点1三角形的中线 6.以下是四位同学在钝角三角形ABC中画 BC边上的高，其中画法正确的是( 1.三角形一边上的中线一定把原三角形分成 两个 A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 2.(教材P,练习T2变式)如图，AD是△ABC的 D 中线，则点D是线段 的中点，BD= 7.(易错题)(2024·山东德州模拟)如图，CD D=司 AB于点D,已知∠ABC是钝角，则( ,S△ABD= A.线段CD是△ABC的AC边上的高线 .若S△ABD=3,则S△ABC= B.线段CD是△ABC的AB边上的高线 C.线段AD是△ABC的BC边上的高线 D.线段AD是△ABC的AC边上的高线 D (第2题图) (第3题图) 3.如图，已知AD为△ABC的中线，AB= 44 10cm,AC=7cm,△ACD的周长为20cm, B D D (第7题图) (第8题图) 则△ABD的周长为 cm 8.如图，AD是△ABC的边BC上的高，则AD 知识点2三角形的角平分线 与BC的位置关系是： ,∠ADB= 4.如图，BD是△ABC的角平 ∠ ,S△ABC= 分线.已知∠ABC=62°，则 9.如图，AD是△ABC的高，已知AC=8, ∠DBC的度数为 BC=10,AD=4. 5.如图，CD是△ABC的角平分线，E是BC边 (1)求△ABC的面积； 上的一点，且∠1=∠2.试判断DE与AC的 (2)作△ABC的边AC上的高BE,并求出 位置关系，并说明理由. BE的长度. 3名师测控·数学八年级上册配R版 可能力提升○整合运用 父 思维拓展。学科素养 10.(教材P,习题T4变式)(2024·重庆模拟) 14.新视角条件开放题如图，AD是∠CAB的平 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平 分线，DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点 分线，AF是中线，则下列说法中错误的 O,请问： 是 (1)DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请 A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90° 给予证明；如果不是，请说明理由； C.∠BAF=∠CAFD.S△ABc=2S△ABF (2)若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD 是∠CAB的平分线”，“DE∥AB”, “DF∥AC”中的任一条件交换，所得命 题正确吗？若正确，请选择一个证明. (第10题图) (第11题图) 11.如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点F.若AB=6cm, AC=1cm,则B5 12.如图，在△ABC中，点D,E F分别为BC,AD,CE的中 点，且S△ABc=4cm,则阴影 部分的面积为 cm2. 13.如图，在△ABC中，AE是边BC上的中线， ADLBC交BC于点D,点F为AB的中 点，连接EF.已知AD=6,△ABC的面积 为24. (1)求CE的长； (2)若AE=7,求△AEF与△BEF的周长差 第十三章三角形4