2,6 一元二次方程的实际应用 学案 2025--2026学年北师大版九年级数学上册
第4讲 一元二次方程的实际应用
【教学目标】
1.由实际问题抽象出一元二次方程．
2.一元二次方程的应用．
【教学重难点】
1、利润问题涉及的等量关系
2、常见题型：增长率，面积问题，利润问题
【知识精讲】
1.列方程解应用题的一般步骤：
⑴ 审：弄清题意，理清等量关系；
⑵ 设：恰当地设未知数；
⑶ 列：将等量关系转化为方程，并从意义上检查方程的正确性；
⑷ 解：解方程，求出未知数的值；
⑸ 检验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；
⑹ 答：下结论，写出答案.
2.常见题型：
⑴ 面积问题：常把面积计算公式作为公式列方程.
⑵ 平均增长（降低）率问题：
次增长后的结果
，其中
为基数，
为平均增长率，为增长的次数；
次降低后的结果
，其中为基数，为平均降低率，为降低的次数；
增长（降低）率=
×100%
⑶ 销售问题：
总利润 = 单个利润 X总量
= 总售价 -- 总成本
= 利润率 X成本
学科网（北京）股份有限公司
【例题精讲】
类型一、与增长率有关的类型题
例1、（2025春•双流区校级月考）自国产动画电影《哪吒之魔童闹海》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房的4.8亿元，前三天累计票房达12亿元．若每天票房按相同的增长率增长，将增长率记作x，则方程可列为（ ）
A．4.8+4.8x+4.8x2＝12 B．4.8（1+x）2＝12
C．（1+x）2＝12 D．4.8+4.8（1+x）+4.8（1+x）2＝12
【变式练习】
1．（2024秋•金牛区期末）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆 750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（ ）
A．180（1+x）2＝750 B．180（1+x）+180（1+x）2＝750
C．180（1+x+x2）＝750 D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝750
2．（2025春•武侯区校级月考）暑假期间，小青同学和小彬同学相约进行社会实践活动，他们购进了某种卡片进行销售，第一天销售256张．第二、三天该卡片十分畅销，销售量持续走高，第三天的销售量达到400张．则第二、三天平均的增长率为 ．
类型二；与图形有关的类型题
例2 5．（2024秋•成都期中）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）
20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）
20×30
C．30x+2×20x20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
【变式练习】
1．（2024秋•高新区期末）在一幅长80cm，宽40cm的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是4500cm2，设白色纸边的宽度为x cm，则所列方程正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
A．80×40+2×80x+2×40x+2x2＝4500 B．（80+x）（40+x）＝4500
C．80×40+2×80x+2×40x＝4500 D．（80+2x）（40+2x）＝4500
2．（2024秋•青羊区校级月考）如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为x m，若种植花苗的面积为112m2，依题意列方程为（ ）
A．10x+15×2x＝150﹣112 B．10x+15×2x﹣x2＝150﹣112
C．（10﹣2x）（15﹣x）＝112 D．（10﹣x）（15﹣2x）＝112
3．（2024秋•锦江区校级期中）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
4．（2024秋•郫都区期末）如图，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动．设动点P运动时间为t（t＞0），当PQ＝BC时，则t的值为 ．
学科网（北京）股份有限公司