2.6一元二次方程的实际应用 学案 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程实际应用

一、教学目标

1.由实际问题抽象出一元二次方程．

2.一元二次方程的应用．

二、教学重难点

1、利润问题涉及的等量关系

2、常见题型：增长率，面积问题，利润问题

三、知识精讲

1.列方程解应用题的一般步骤：

⑴ 审：弄清题意，理清等量关系；

⑵ 设：恰当地设未知数；

⑶ 列：将等量关系转化为方程，并从意义上检查方程的正确性；

⑷ 解：解方程，求出未知数的值；

⑸ 检验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；

⑹  答：下结论，写出答案.

2.常见题型：

⑴ 面积问题：常把面积计算公式作为公式列方程.

 

⑵ 平均增长（降低）率问题：

次增长后的结果，其中为基数，为平均增长率，为增长的次数；

次降低后的结果，其中为基数，为平均降低率，为降低的次数；

    增长（降低）率=×100%

⑶ 销售问题：

总利润=单个利润     X数量

                =（卖价-成本）X数量

 

 

⑷ 储蓄问题：①利息=本金×利率×期数   ②本息和=本金+利息          ③利息税=利息×税率（20%）

 

 

 

四、例题精析

【题型1  增长率应用题】

例1．国庆期间电影《志愿军：雄兵出击》上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房8.28亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）

A．2（1+x）＝8.28             B．2（1+x）2＝8.28 

C．2（1+x）+2（1+x）2＝8.28 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.28

 

变式训练：

1．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）

A．3（1+x）＝10     B．3（1+x）2＝10 

C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10

2．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（　　）

A．2（1+x）2＝4 B．2（1+2x）＝4 

C．2（1﹣x）2＝4 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝4

 

【题型2  应用题----销售问题】

例2．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

变式训练：

1：．“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．

（1）当销售量为30件时，产品售价为 　      　元/件；

（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；

（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？

 

 

 

 

 

2．2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒．

(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元；

(2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m的值．