2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册期中复习练习(第十三至第十五章)

期中复习练习 (第十三至第十五章) 120分钟　120分 一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2025·大连中山区期中)下列交通标志中,属于轴对称图形的是( ) 2.下列长度的三条线段能构成三角形的是( ) A.1,3,2 B.2,5,8 C.3,4,5 D.5,5,10 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若∠A=35°,则∠BCD的度数为( ) A.40° B.35° C.30° D.25° 4.如图,△ABC≌△DEC,B,C,D在同一直线上,且CE=6,BD=15,则AC=( ) A.9 B.10 C.11 D.12 5.如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应该修在( ) A.△ABC三边中线的交点处　 B.△ABC三个角的平分线的交点处 C.△ABC三边高线的交点处　 D.△ABC三边垂直平分线的交点处 6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6 cm,则△DBE的周长是( ) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 7.(2025·大连中山区期中)如图,A,B是两个居民小区,快递公司准备在公路l上选取点P建一个服务中心,使PA+PB最短.下面四种选址方案符合要求的是( ) 8.把△ABC沿EF翻折,叠合后的图形如图,若∠A=60°,∠1=95°,则∠2的度数是( ) A.15° B.20° C.25° D.35° 9.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的角为40°,则顶角的度数为( ) A.40°或65° B.50°或65° C.50°或130° D.40°或130° 10.如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=30°,D为AB的中点,P为CD上一点,E为BC延长线上一点,且PA=PE.有下列结论:①∠PAD+∠PEC=30°;②△PAE为等边三角形;③BC=EC+CP; ④=,其中正确的结论是( ) A.①②③④ B.①② C.①②④ D.②③④ 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 11.如图,摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度,往往会放一个三脚架来固定和支撑相机,这里用到的数学道理是 .  12.如图,△DEF中,∠F=35°,若沿图中虚线截去∠F,则∠1+∠2= °.  13.(2025·辽阳白塔区期中)如图,AC=AD,请你添加一个适当的条件 ,使得△ABC≌△ABD.  14.(2025·大连中山区期中)如图,在△ABC中,∠BAD=2∠C,∠1=∠2,BD⊥AD,AB=5,AD=2,则BC的长度为 .  15.(2025·鞍山铁西区期中)如图,AD是△ABC的边BC上的中线,AB=7,AD=5,则AC的取值范围为 .  三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长,且b,c满足(b-5)2+(c-7)2=0,a为方程|a-3|=2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状. 17.(8分)如图,已知△ABC,其中AB=AC. (1)作AC的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); (2)在(1)所作的图中,连接CE,若BC=7,AC=9,求△BCE的周长. 18.(8分·2025·大连中山区期中)如图,已知△ABC与直线l(直线l上各点的纵坐标都为-1),A(-1,3),B(-3,1),C(-1,0). (1)在网格中画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1; (2)写出点A1,B1,C1的坐标: A1( , ),B1( , ),C1( , );  (3)观察图形的三组对应点的坐标变化规律,若△ABC的边上有一点P(a,b),则P在△A1B1C1中的对应点P1的坐标为________.(用a,b表示)  19.(8分)如图所示,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O, ∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC,∠BOA的度数. 20.(8分)定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的,我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫“友爱三角形”.例如:在△ABC中,如果∠A=80°,∠B=40°,那么∠A与∠B互为“友爱角”,△ABC是“友爱三角形”. 如图,△ABC是“友爱三角形”,且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B),∠ACB=90°. (1)求∠A,∠B的度数. (2)若CD是△ABC中AB边上的高,则△ACD,△BCD都是“友爱三角形”吗?为什么? 21.(10分·2025·大连甘井子区期末)小亮想测量屋前池塘的宽度,他结合所学的数学知识,设计了如图1的测量方案:先在池塘外的空地上任取一点O,连接AO,CO,并分别延长至点B,点D,使OB=OA,OD=OC,连接BD, (1)如图1,求证:AC=BD; (2)如图2,但在实际测量中,受地形条件的影响,于是小亮采取以下措施:延长CO至点D,使OC=OD,过点D作AC的平行线DE,延长AO至点F,连接EF,测得 ∠DEF=120°,∠OFE=90°,DE=5 m,EF=9 m,请求出池塘宽度AC. 22.(12分·2025·鞍山铁西区期中)综合与探究 [问题情境] (1)数学活动课上,老师出示了一个问题,如图1,在四边形ABDF中,AD平分∠BAF,DE⊥AB于点E,且BD=DF. 求证:AE=AF+BE. 小明是这样思考的:因为AD平分∠BAF,DE⊥AB,根据角平分线的性质,过点D作DC⊥AF交AF的延长线于点C,先证明△FCD≌△BED,再证明△ACD≌△AED,即可证出AE=AF+BE. 小丽是这样思考的:根据截长补短的方法,延长AF至C,使AC=AE,连接DC,先证明△ACD≌△AED,再证明△FCD≌△BED,即可证出AE=AF+BE.请你帮助小明或小丽完成证明过程. [实践探究] (2)老师总结了他们的证明方法,有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线,帮助我们完成证明过程.老师又出示了一个问题.如图2,在△ABC中,∠CAB=∠CBA =45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于N. ①求证:∠BCN=∠CAE; ②求证:AE=CN+EN. 23.(13分)(1)问题发现 如图①,在△ABC中,AC=BC,D,E分别在AC,BC上,若CD=CE,则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形,连接AE,BD,则AD与BE的数量关系是___________.  (2)类比探究 如图②,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一条直线上,连接BE.试求∠AEB的度数及AD与BE的数量关系.并说明理由. (3)拓展延伸 如图③,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.试猜想∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由. (4)解决问题 在(3)的条件下,若BE=4,CM=3,直接写出四边形ABEC的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁期中备考卷(第十三至第十五章) 120分钟　120分 一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2025·大连中山区期中)下列交通标志中,属于轴对称图形的是(A) 2.下列长度的三条线段能构成三角形的是(C) A.1,3,2 B.2,5,8 C.3,4,5 D.5,5,10 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若∠A=35°,则∠BCD的度数为(B) A.40° B.35° C.30° D.25° 4.如图,△ABC≌△DEC,B,C,D在同一直线上,且CE=6,BD=15,则AC=(A) A.9 B.10 C.11 D.12 5.如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应该修在(B) A.△ABC三边中线的交点处　 B.△ABC三个角的平分线的交点处 C.△ABC三边高线的交点处　 D.△ABC三边垂直平分线的交点处 6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6 cm,则△DBE的周长是(A) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 7.(2025·大连中山区期中)如图,A,B是两个居民小区,快递公司准备在公路l上选取点P建一个服务中心,使PA+PB最短.下面四种选址方案符合要求的是(A) 8.把△ABC沿EF翻折,叠合后的图形如图,若∠A=60°,∠1=95°,则∠2的度数是(C) A.15° B.20° C.25° D.35° 9.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的角为40°,则顶角的度数为(C) A.40°或65° B.50°或65° C.50°或130° D.40°或130° 10.如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=30°,D为AB的中点,P为CD上一点,E为BC延长线上一点,且PA=PE.有下列结论:①∠PAD+∠PEC=30°;②△PAE为等边三角形;③BC=EC+CP; ④=,其中正确的结论是(A) A.①②③④ B.①② C.①②④ D.②③④ 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 11.如图,摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度,往往会放一个三脚架来固定和支撑相机,这里用到的数学道理是　三角形具有稳定性　.  12.如图,△DEF中,∠F=35°,若沿图中虚线截去∠F,则∠1+∠2=　215　°.  13.(2025·辽阳白塔区期中)如图,AC=AD,请你添加一个适当的条件　∠CAB= ∠DAB(答案不唯一)　,使得△ABC≌△ABD.  14.(2025·大连中山区期中)如图,在△ABC中,∠BAD=2∠C,∠1=∠2,BD⊥AD,AB=5,AD=2,则BC的长度为　9　.  15.(2025·鞍山铁西区期中)如图,AD是△ABC的边BC上的中线,AB=7,AD=5,则AC的取值范围为　3<AC<17　.  三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长,且b,c满足(b-5)2+(c-7)2=0,a为方程|a-3|=2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状. 【解析】∵(b-5)2+(c-7)2=0, ∴,解得,∵a为方程|a-3|=2的解,∴a=5或1, 当a=1,b=5,c=7时,1+5<7,不能构成三角形,故a=1不符合题意,舍去; ∴a=5,∴△ABC的周长为5+5+7=17, ∵a=b=5, ∴△ABC是等腰三角形. 17.(8分)如图,已知△ABC,其中AB=AC. (1)作AC的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); (2)在(1)所作的图中,连接CE,若BC=7,AC=9,求△BCE的周长. 【解析】(1)如图所示,直线DE即为所求; (2)∵AB=AC=9,DE垂直平分AC,∴AE=EC, ∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=16. 18.(8分·2025·大连中山区期中)如图,已知△ABC与直线l(直线l上各点的纵坐标都为-1),A(-1,3),B(-3,1),C(-1,0). (1)在网格中画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1; (2)写出点A1,B1,C1的坐标: A1(　　　,　　　),B1(　　　,　　　),C1(　　　,　　　);  (3)观察图形的三组对应点的坐标变化规律,若△ABC的边上有一点P(a,b),则P在△A1B1C1中的对应点P1的坐标为________.(用a,b表示)  【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求. (2)由图可得,A1(-1,-5),B1(-3,-3),C1(-1,-2). 答案:-1　-5　-3　-3　-1　-2 (3)由题意得,点P(a,b)在△A1B1C1中的对应点P1的坐标为(a,-2-b). 答案:(a,-2-b) 19.(8分)如图所示,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O, ∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC,∠BOA的度数. 【解析】∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°. ∵∠C=70°, ∴∠DAC=180°-90°-70°=20°; ∵∠BAC=50°,∠C=70°,∴∠BAO=25°,∠ABC=60°. ∵BF是∠ABC的平分线,∴∠ABO=30°, ∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-25°-30°=125°. 20.(8分)定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的,我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫“友爱三角形”.例如:在△ABC中,如果∠A=80°,∠B=40°,那么∠A与∠B互为“友爱角”,△ABC是“友爱三角形”. 如图,△ABC是“友爱三角形”,且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B),∠ACB=90°. (1)求∠A,∠B的度数. (2)若CD是△ABC中AB边上的高,则△ACD,△BCD都是“友爱三角形”吗?为什么? 【解析】(1)∵∠A与∠B互为“友爱角”,且∠A>∠B, ∴∠B=∠A,∴∠A=2∠B, 在△ABC中,∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°,∴2∠B+∠B=90°,∴∠B=30°, ∴∠A=2∠B=60°. (2)△ACD,△BCD都是“友爱三角形”,理由如下:∵CD⊥AB, ∴∠ADC=∠BDC=90°,在Rt△ACD中,∠A=60°, ∴∠ACD=90°-∠A=30°,∴∠ACD=∠A, ∴∠ACD与∠A互为“友爱角”,∴△ACD是“友爱三角形”; 在Rt△BCD中,∠B=30°,∴∠BCD=90°-∠B=60°, ∴∠B=∠BCD,∴∠BCD与∠B互为“友爱角”, ∴△BCD是“友爱三角形”. 21.(10分·2025·大连甘井子区期末)小亮想测量屋前池塘的宽度,他结合所学的数学知识,设计了如图1的测量方案:先在池塘外的空地上任取一点O,连接AO,CO,并分别延长至点B,点D,使OB=OA,OD=OC,连接BD, (1)如图1,求证:AC=BD; (2)如图2,但在实际测量中,受地形条件的影响,于是小亮采取以下措施:延长CO至点D,使OC=OD,过点D作AC的平行线DE,延长AO至点F,连接EF,测得 ∠DEF=120°,∠OFE=90°,DE=5 m,EF=9 m,请求出池塘宽度AC. 【解析】(1)在△OAC和△OBD中,, ∴△OAC≌△OBD(SAS),∴AC=BD. (2)延长DE,AF交于点B, ∵DE∥AC,∴∠C=∠D, 在△OAC和△OBD中,, ∴△OAC≌△OBD(ASA),∴AC=BD, ∵∠DEF=120°,∠OFE=90°, ∴∠BFE=90°,∠BEF=60°,∴∠B=30°, ∵EF=9 m,∴BE=2EF=18 m,∵DE=5 m, ∴BD=BE+DE=23 m,∴AC=23 m, 答:池塘宽度AC为23 m. 22.(12分·2025·鞍山铁西区期中)综合与探究 [问题情境] (1)数学活动课上,老师出示了一个问题,如图1,在四边形ABDF中,AD平分∠BAF,DE⊥AB于点E,且BD=DF. 求证:AE=AF+BE. 小明是这样思考的:因为AD平分∠BAF,DE⊥AB,根据角平分线的性质,过点D作DC⊥AF交AF的延长线于点C,先证明△FCD≌△BED,再证明△ACD≌△AED,即可证出AE=AF+BE. 小丽是这样思考的:根据截长补短的方法,延长AF至C,使AC=AE,连接DC,先证明△ACD≌△AED,再证明△FCD≌△BED,即可证出AE=AF+BE.请你帮助小明或小丽完成证明过程. [实践探究] (2)老师总结了他们的证明方法,有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线,帮助我们完成证明过程.老师又出示了一个问题.如图2,在△ABC中,∠CAB=∠CBA =45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于N. ①求证:∠BCN=∠CAE; ②求证:AE=CN+EN. 【解析】(1)小明:过点D作DC⊥AF交AF延长线于点C, ∵AD平分∠BAF,DE⊥AB,DC⊥AF, ∴DC=DE,∠CAD=∠EAD,∠C=∠AED=90°, ∵DF=BD,∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL), ∴FC=BE,∵∠C=∠AED=90°,AD=AD,∠CAD=∠EAD, ∴△ACD≌△AED(AAS),∴AE=AC=AF+CF=AF+BE; 小丽:延长AF至C,使AC=AE,连接DC,∵DE⊥AB, ∴∠AED=∠DEB=90°, ∵AD平分∠BAF,∴∠CAD=∠EAD,∵AE=AC,AD=AD, ∴△ACD≌△AED(SAS), ∴DC=DE,∠C=∠AED=90°=∠DEB,∵DF=BD, ∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL),∴FC=BE, ∴AE=AC=AF+CF=AF+BE. (2)①∵∠CAB=∠CBA=45°, ∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=90°, ∴∠BCN+∠ACN=90°, ∵CN⊥AE, ∴∠ACN+∠CAE=90°, ∴∠BCN=∠CAE; ②过B作BM⊥CB交CN的延长线于点M, ∴∠CBM=∠ACE=90°, ∴∠MBN=90°-∠CBA=90°-45°=45°=∠EBN, ∵∠BCM=∠CAE,AC=CB, ∴△BCM≌△CAE(ASA), ∴CM=AE,BM=CE. ∵点E是BC的中点, ∴BE=CE=BM, ∵BM=BE,∠MBN=∠EBN,BN=BN, ∴△MBN≌△EBN(SAS), ∴MN=EN, ∴AE=CM=CN+MN=CN+EN. 23.(13分)(1)问题发现 如图①,在△ABC中,AC=BC,D,E分别在AC,BC上,若CD=CE,则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形,连接AE,BD,则AD与BE的数量关系是___________.  (2)类比探究 如图②,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一条直线上,连接BE.试求∠AEB的度数及AD与BE的数量关系.并说明理由. (3)拓展延伸 如图③,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.试猜想∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由. (4)解决问题 在(3)的条件下,若BE=4,CM=3,直接写出四边形ABEC的面积. 【解析】(1)∵AC=BC,CD=CE,∴AC-CD=BC-CE,即AD=BE. 答案:AD=BE (2)∵△ACB和△DCE均为等边三角形, ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∠CDE=∠CED=60°, ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,∵点A,D,E在同一条直线上, ∴∠ADC=180°-60°=120°,∴∠BEC=120°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°, 综上可得∠AEB的度数为60°,线段BE与AD之间的数量关系是BE=AD. (3)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形, ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°, ∠CDE=∠CED=45°, ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中,, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE,∠ADC=∠BEC, ∵点A,D,E在同一条直线上, ∴∠ADC=180°-45°=135°, ∴∠BEC=135°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°; ∵∠DCE=90°,CD=CE,CM⊥DE, ∴CM=DM=EM, ∴DE=DM+EM=2CM, ∴AE=AD+DE=BE+2CM. (4)由(3)知AE=BE+2CM=10, S四边形ABEC=S△ACE+S△ABE =AE·CM+AE·BE =×10×3+×10×4 =35, 故四边形ABEC的面积为35. 学科网（北京）股份有限公司 $