1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 回顾：1.空间向量运算的坐标表示 回顾：2.空间两点间的距离公式 O 一、点的位置向量 思考：如何用向量表示空间中的一个点？ 位置向量 二、空间直线的向量表示式 思考： 空间直线的向量表示式 二、空间直线的向量表示式 三、空间平面的向量表示式 思考： 一个定点和两个向量能否确定一个平面？进一步，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 空间平面ABC的向量表示式 ∴空间中任意的平面可以由空间一点和两个不共线 的向量唯一确定 三、空间平面的向量表示式 三、空间平面的向量表示式 法向量 请看课本P29：练习1 1、判断下列命题是否正确 (1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量（ ） (2)若v是直线 l 的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线 l 的方向向量。（ ） (3)在空间直角坐标系中，j=(0，0，1)是坐标平面Oxy的一个法向量。 ( ) ✓ × ✓ 例1：长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB=4， BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为 原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立如图所示 空间直角坐标系， （1）求平面BCC1B1的一个法向量． （2）求平面MCA1的一个法向量． x y z A1 D1 C1 B1 A C B O M 归纳： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 1．空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？ 能 2．一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？ 不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定． 3．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(2，1，1)　　　 B．(－2，2，2) C．(－3，2，1) D．(2，1，－1) AB＝(－1，1，1)，而与AB共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量， 学以致用： 学以致用： 4．已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为 (　　) A．(0，1，－1) B．(－1，0，1) C．(1，1，1) D．(－1，0，0) (1)AB＝(－1，2－y，z－3)，∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)， 故设AB＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. ∴y－z＝0. 自在检验： (2)在如图所示的坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． C D A1 B1 C1 D1 A B x y z (O) (2)∵DD1∥AA1，AA1＝(0，0，1)， ∴直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； ∵BC1∥AD1，AD1＝(0，1，1)， ∴直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)． 设B点坐标为(x，y，z)，则AB＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)， 所以x＝18，y＝17，z＝－17. 课堂总结 一、点的位置向量： 二、空间直线的向量表示式： 三、空间平面的向量表示式： 四、求法向量的方法与步骤： 作业安排 课本29页练习第2、3题 $