2.2.2直线的两点式方程 难点训练微专题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.2直线的两点式方程 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 1.利用两点式求直线的方程,要求:斜率存在且不为0,其步骤如下： (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 2.截距式方程应用的适用条件是：斜率存在且不为0，不过原点.其注意事项有： (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1． 微专题训练： 一、单选题 1．经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【分析】利用直线方程的两点式即可得出. 【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 2.已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 3．已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 4．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 5．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项； 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 6．已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 【答案】C 【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解. 【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：， 因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：； 当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点（2，1），所以，则， 所以直线方程为，即， 综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0， 故选：C 7.直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 8．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的重心坐标，由得出为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案． 【详解】因为的顶点分别为，，， 所以的重心为， 因为，， 所以， 所以， 所以的外心为的中点， 因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上， 所以的欧拉线为直线， 所以的欧拉线方程为，即， 故选：C． 二、多选题 9．经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合条件求直线方程. 【详解】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或． 故选：ABD． 10．已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 11．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，得到，结合绝对值的性质，幂函数的单调性，以及不等式的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】因为直线经过第一、二、三象限，可得，， 由直线的斜率小于1，可得，结合，可得， 由绝对值的性质，可得，所以A正确； 由幂函数的单调性，，所以B正确； 由，所以，所以C错误； 由，所以，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 【答案】 【分析】先求出，进而由截距式写出直线方程. 【详解】因为为的中点，故, 则直线的截距式方程为. 故答案为： 13．已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案. 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 14．平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意假设直线的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为：. 四、解答题 15．已知在中，点A，B的坐标分别为，的中点M在y轴上，的中点N在x轴上. (1)求点C的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1)； (2)y＝. 【分析】（1）由中点坐标公式解出即可； （2）由直线的截距式方程求出即可； 【详解】（1）设点，的中点M在y轴上，的中点N在x轴上， 由中点坐标公式得解得， 所以点C的坐标为. （2）由(1)知，点M，N的坐标分别为，， 由直线方程的截距式得直线的方程为，即. 16．已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点. (1)若为的中点，求直线的方程； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式求出截距即可得方程； （2）点坐标代入直线方程，利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】（1）由题意可设的方程为， 由为的中点可知：，， 故的方程为，即； （2）将代入方程，得， 故 当且仅当时，取等号，此时 故的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2直线的两点式方程 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 1.利用两点式求直线的方程,要求:斜率存在且不为0,其步骤如下： (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 2.截距式方程应用的适用条件是：斜率存在且不为0，不过原点.其注意事项有： (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1． 微专题训练： 一、单选题 1．经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 2.已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 3．已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 7.直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 8．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 10．已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 11．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 13．已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 14．平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 四、解答题 15．已知在中，点A，B的坐标分别为，的中点M在y轴上，的中点N在x轴上. (1)求点C的坐标； (2)求直线的方程． 16．已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点. (1)若为的中点，求直线的方程； (2)求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $