17.2 用公式法分解因式课件2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

17.2 用公式法分解因式 第1课时 运用平方差公式分解因式 1.理解平方差公式的特点.（重点） 2.能熟练地运用平方差公式分解因式.（难点） 学 习 目 标 1.什么叫分解因式? 2.已学过哪一种分解因式的方法? 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 提公因式法 3.还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： (a+b)(a-b)=a²-b² 复 习 导 入 多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式. ) )( ( b a b a + = 2 2 b a ) )( ( b a b a a2 b2 + = 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 平方差公式： 思 考 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 针 对 练 习 例1 分解因式： (1)4x2 － 9; (2) a2 －25b 2. 分析： 在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 所以4 x2 － 9 = (2 x) 2 －3 2 ，即可用平方差公式分解因式； 在(2)中，25b 2= (5 b) 2，所以a2 －25b 2= a 2 －(5 b) 2，即可用平方差公式分解因式. 典 例 精 析 解：(1) 4x2 － 9 = (2 x )2 － 3 2 = (2x ＋ 3)(2x － 3)； (2) a2 －25b 2 = a 2 －(5 b) 2 = (a ＋5 b)(a －5 b). “两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法． 典 例 精 析 例2 分解因式： (1)x2 －y4 ; (2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2. 分析： 在(1)中， y4 = (y2) 2 , 所以x2 －y4 = x 2 － (y2) 2 ，即可用平方差公式分解因式； 在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体，设x ＋ p = a， x ＋ q = b ，则原式化为a 2 － b 2,即可用平方差公式分解因式. 典 例 精 析 解:(1) x2－y4 = x2－(y2)2 =(x＋y2)(x－y2)； (2) (x＋p)2－(x＋q) 2 =[(x＋p)+(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)] =(2x＋p＋q)(p－q). 典 例 精 析 1.分解因式16－x2的结果为(　　) A．(4－x)(4＋x) B．(x－4)(x＋4) C．(8＋x)(8－x) D．(4－x)2 A 2.下列因式分解正确的是(　　) A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2) D 随 堂 检 测 3.将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(　　) A．a(a－1) B．a(a－2) C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1) B 4.若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________． 3 随 堂 检 测 5.(1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求整式x2－4y2的值． 解：由2x＋4y＝5，得x＋2y＝. ∴x2-4y2＝(x＋2y)(x-2y)＝×3＝. (2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a2－b2的值． 解：∵|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0， ∴a－b＝3，a＋b＝2. ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6. 随 堂 检 测 (3)已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n的值． 解：∵(m＋2)2－(n＋2)2＝4， ∴(m＋2＋n＋2)(m＋2－n－2)＝4， 即(m＋n＋4)(m－n)＝4， 又∵m＋n＝0，∴m－n＝1， ∴m＝，n＝－. 随 堂 检 测 公式 公式法因式分解 平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 步骤 课 堂 总 结 17.2 用公式法分解因式 第2课时 运用完全平方公式分解因式 1.理解完全平方式的概念． 2.探索并掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法，体会 转化思想．（重难点） 学 习 目 标 1.因式分解： 2.我们已经学过哪些因式分解的方法? 把一个多项式转化为几个整式的积的形式. (1)提公因式法 (2)平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b) 复 习 导 入 多项式与有什么特点？你能将它们分解因式吗？ a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 思 考 我们把和这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式. 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 合 作 探 究 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 针 对 练 习 把整式乘法的完全平方公式 (a＋b)²＝a²+2ab+b²， (a－b)²＝a²2ab+b² 的等号两边互换，就得到 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. a²+2ab+b²＝(a＋b)²， a²-2ab+b²＝(a -b)². 合 作 探 究 例1 分解因式： (1)x2 ＋ 4x + 4; (2)16x2 - 24x ＋ 9. 分析：在(1)中，4= 2 2 , 4x = 2 • x • 2, 所以 x2 ＋ 4x ＋ 4是一个完全平方式，即 x2 ＋ 4x ＋ 4 = x 2 ＋ 2 • x • 2 ＋ 22. 在(2)中，16x2 = (4x) 2 , 9 = 32 ，24x = 2 • 4x • 3，所以 16x2 - 24x ＋ 9是一个完全平方式. a2 ＋2 • a • b＋ b2 典 例 精 析 (1) x2 ＋ 4x ＋ 4 = x2 ＋ 2 • x • 2 ＋ 22 =(x ＋ 2) 2; (2) 16x2 - 24x ＋ 9 = (4x) 2 － 2 • 4x • 3 ＋ 32 = (4x － 3) 2. 解： 典 例 精 析 例2 分解因式： (1)(a+b)2-12(a+b)+36; (2)-x2+4xy-4y2. 分析：在(1)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36; 对于（2），可通过添括号将原式写成 -(x2-4xy+4y2),括号内的式子为完全平方式. 典 例 精 析 (1) (a+b)2-12(a+b)+36 = (a+b)2-2•(a+b) •6+62 = (a+b-6)2; (2) － x2 ＋ 4xy － 4y2 = － (x2 － 4xy ＋ 4y2 ) = －[x2 － 2 • x • 2y ＋ (2 y) 2] = － (x － 2y) 2. 解： 典 例 精 析 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差公式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法. 新 知 小 结 例3 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=（100－99)² (2)原式＝(34＋16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算， =1. ＝2 500. 典 例 精 析 1.已知x2＋16x＋k是两数(和)差的平方式，则常数k等于(　　) A．64 B．48 C．32 D．16 A 2.已知4x2＋mx＋36是两数(和)差的平方式，则m的值为(　　) A．8 B．±8 C．24 D．±24 D 随 堂 检 测 3.把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正确的是(　　) A．(x－3)2 B．(x－9)2 C．(x＋3)(x－3) D．(x＋9)(x－9) A 4.如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　　) A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2 B 随 堂 检 测 5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1. (2)原式=[2(2a+b)]² － 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b － 1)2. 解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(x－6)2; 随 堂 检 测 (2)原式=20142-2×2014×2013+20132 6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92； (2)20142-2014×4026+20132. 解：(1)原式＝(38.9－48.9)2 ＝100. 随 堂 检 测 公式 公式法 两数(和)差的平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 步骤 课 堂 总 结 17.2 用公式法分解因式 第3课时 综合运用提公因式法和公式法分解因式 1. 综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解；（重点） 2. 灵活应用各种方法分解因式.（难点） 学 习 目 标 1.提取公因式法分解因式： 2.平方差公式分解因式： a²－b²＝(a＋b)(a－b) 3.完全平方公式分解因式： 4.因式分解的步骤： （1）提公因式； （2）套公式. a²±2ab+b²＝(a±b)² pa+pb+pc = p(a+b+c). 复 习 导 入 例1 分解因式： (1)x4-y4; (2)a3b-ab. 分析：在(1)中，x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式，可用公式法分解因式; 对于（2），a3b-ab的两项有公因式ab,可以先提公因式，再进一步分解因式. 典 例 精 析 (1) x4-y4 = (x2+y2)(x2-y2) 解： 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 分解因式，要 进行到每一个多项式 因式都不能再 分解为止. (2) a3b-ab = ab(a2 -1) = (x2+y2)(x+y)(x-y); = ab(a +1)(a -1) . 典 例 精 析 例2 分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)-ax2+2a2x-a3. 分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式. 解: (1)3ax2+6axy+3ay2 =3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； (2)-ax2+2a2x-a3 =-a（x2-2ax+a2） =-a（x-a）2. 典 例 精 析 例3 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2； (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a＋2)2(a－2)2. 方法总结：分解因式时，有公因式时先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查. 典 例 精 析 例4 因式分解： (1)(x+4)(x－1)－3x； (2)a2－b(b＋4)－4. ＝a2－(b+2)2 解：(1)原式＝x2＋3x－4－3x＝x2－4 ＝(x＋2)(x－2)； (2)原式＝a2－b2－4b－4＝a2－(b2＋4b＋4) ＝(a＋b＋2)(a－b－2). 方法总结：分解因式时，可先将式子进行化简后再进行因式分解. 典 例 精 析 1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) 3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． B B 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________． ±4 随 堂 检 测 ＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2 ＝(a＋1)2(a－1)2. 5.因式分解： (1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9； (2) (x2＋16y2)2－64x2y2； ＝(x2＋16y2)2－(8xy)2 ＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy) ＝(x＋4y)2(x－4y)2. ＝a(a2－1)－2b(a2－1) ＝(a－2b)(a＋1)(a－1)． (3)a(a2－1)＋2b(1－a2)； (4)(x－y)2＋2(x－y)＋1. ＝(x－y＋1)2. 随 堂 检 测 6.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 原式＝2×52＝50. 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 　当ab＝2，a＋b＝5时， 随 堂 检 测 公式 公式法 a²－b²＝(a＋b)(a－b)； a2±2ab+b2=(a±b)2 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 步骤 课 堂 总 结 $