辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学第三周周测试题

辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年上学期 高三数学第三周周测答案 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】利用函数单调性解不等式，再结合集合并集、交集运算即可判断 【详解】，又因为为增函数，所以，即，，又因为为增函数， 所以，即，所以，. 故选：. 2．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得，所以， 故选：A 3．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由基本不等式比较大小 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得，反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．已知数列满足，则中的项小于0的有（    ） A．0项 B．5项 C．6项 D．无数项 【答案】B 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】先确定为等差数列，求得通项公式，再得到，进而可求解. 【详解】由，可得：，又， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，所以， 由，可得：，且，所以中的项小于0的有项， 故选：B 5．已知函数满足，则＝ A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与方程的综合应用 【解析】本题首先可以取得出，然后取得出，最后两式相减，即可得出结果。 【详解】当时，，即①； 当时，②， 用①式减去②式可得：， 即，， 故选：B. 【点睛】本题考查函数与方程相结合，主要考查利用方程与函数的关系求函数的特殊值，考查计算能力，锻炼了学生的灵活运算的能力，是中档题. 6．已知，，则的位数是（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】对取以十为底的对数，对进行估算即可. 【详解】.所以是78位数. 故选：C. 7．设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用求导判断函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解. 【详解】由求导得：，所以在上是增函数， 又因为，所以是奇函数， 则， 根据在上是增函数，所以， 故选：C 8．已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．关于对称 D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、判断指数型复合函数的单调性、由函数的周期性求函数值 【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在的函数解析式判断函数在上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出即可 【详解】对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，即，所以函数为偶函数，故A正确； 对于B：因为，所以，即， 所以函数是周期为的周期函数，当时，， 因为当时，函数在上单调递增， 所以当时，，函数在上单调递增，故B错误； 对于C：因为函数图象关于直线对称，所以， 又函数是偶函数，所以，即，， 所以，所以关于对称，故C正确； 对于D：， 又时，，所以，故D正确； 故选：B 二、多选题 9．已知正数满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题可得，利用“1”的巧用，结合基本不等式一一判断各选项，即可判断出正确答案； 【详解】由，，得：； 对于A，, 当且仅当，结合，即，时等号成立，A错误； 对于B，， 当且仅当，结合，即，时取等号，B正确； 对于C，（当且仅当，即，时取等号）， ，解得：（当且仅当，时取等号），C错误； 对于D，（当且仅当，结合，即，时取等号）， 由C知：（当且仅当，时取等号）， （当且仅当，时取等号），D正确. 故选：BD 10．已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的定义域是B．函数是偶函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数对称性的应用、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】由求出定义域判断A，代入根据定义判断出其奇偶性判断B，根据判断C，根据为偶函数判断关于对称判断D. 【详解】函数， 由，，可得，即函数定义域为，故A错误； 由，定义域为，显然为偶函数，故B正确； 由，，，，故C错误； 由为偶函数，图象向左平移1个单位得到图象， 故函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：AC 11．已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如：，，则（    ） A． B．n为素数时， C．数列是等比数列 D． 【答案】ABC 【知识点】由定义判定等比数列、数列新定义 【分析】根据给定的欧拉函数定义，逐项分析、计算判断作答. 【详解】对于A，，显然与15互素，即，则，A正确； 对于B，当n为素数时，n与前个正整数都是互素的，即，B正确； 对于C，所有偶数与不互素，所有奇数与互素，因此， 即有，数列是等比数列，C正确； 对于D，100是偶数，小于它的正奇数有50个，其中是5的倍数的奇数有10，它们与100不互素， 因此，D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围. 【详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，，所以，所以； 当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集， 综上所述：. 故答案为： 13．若是函数的极值点，则 . 【答案】 【知识点】求函数值、根据极值点求参数 【分析】对函数求导，根据极值点有求参数值，再将自变量代入求函数值. 【详解】由题设， 所以， 即，可得，则，经验证满足题意，所以. 故答案为： 14．数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】由题意知数列是单调递增数列，则，得对任意恒成立，分离参数得，即求即可. 【详解】由有，所以， 由题知数列是单调递增数列，所以， 即对任意恒成立，所以， 即，当时，的最大值为，即. 故答案为：. 四、解答题 15．已知等差数列满足，，数列满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)(3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）利用等差数列的性质可求得首项与公差，可求得，由已知可得是等比数列.，计算可求得； （2）利用裂项相消法可求得数列的前项和； （3）利用错位相减法可求得数列的前项和. 【详解】（1）由，得. 因为，所以，则公差为，所以，所以. 因为，所以，则是等比数列. 设其公比为，因为，，所以，，则. （2）因为， 所以. （3）因为，所以， 所以， 两式相减得， 所以. 16．已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年上学期 高三数学第三周周测 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 3．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列满足，则中的项小于0的有（    ） A．0项 B．5项 C．6项 D．无数项 5．已知函数满足，则＝ A． B． C． D． 6．已知，，则的位数是（   ） 7．设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 8．已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论不正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．关于对称 D． 二、多选题 9．已知正数满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的定义域是B．函数是偶函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 11．已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如：，，则（    ） A． B．n为素数时， C．数列是等比数列 D． 三、填空题 12．已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是 . 13．若是函数的极值点，则 . 14．数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知等差数列满足，，数列满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和. 16．已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $