22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割1（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

第3课时　比例的性质与黄金分割 1．掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质；(重点) 2．会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题；(难点) 3．了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度． 若有含糖a千克的糖水b千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖e千克的糖水f千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为＝. 二、合作探究 探究点一：比例的性质 【类型一】 比例的基本性质 已知＝，求的值． 解：解法一：由比例的基本性质， 得2(a＋3b)＝7×2b. ∴a＝4b，∴＝4. 解法二：由＝，得＝7， ∴＋＝＋3＝7，∴＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法． 【类型二】 合比性质 如图，已知＝. 求证：(1)＝；(2)＝. 解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1，便可证明(1)成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立． 证明：(1)∵＝，∴＝，即＝； (2)∵＝，∴＝.∴＝(合比性质)．∴＝，即＝. 方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键． 【类型三】 等比性质 已知正数a、b、c，且＝＝＝k，则下列四个点中，在正比例函数y＝kx图象上的点是(　　) A．(1，) B．(1，2) C．(1，－) D．(1，－1) 解析：求出k的值是关键．∵a、b、c为正数，∴a＋b＋c≠0.由等比性质，得＝k，即k＝，∴y＝x.当x＝1时，y＝×1＝，∴点(1，)在正比例函数y＝kx的图象上．故选A. 方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为0.在解题时需注意这一点． 探究点二：黄金分割 【类型一】 利用黄金分割进行计算 如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，BC＝mAB，求m的值． 解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴＝＝.又∵BC＝mAB，∴AC＝(1－m)AB，∴＝，即1－m＝，∴m＝. 方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC，BC，AB之间的表达式，再利用BC＝mAB变形，求出m的值． 【类型二】 黄金分割的实际应用 如图所示，乐器上有一根弦AB，两个端点A、B固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，若DC的长度为d，试求这根弦AB的长度． 解：根据黄金分割的定义，可知＝＝，∴AC＝BD＝AB，∴AD＝AB－BD＝AB－AB. ∴CD＝AC－AD＝AB－(AB－AB)＝(－2)AB＝d. ∴AB＝d＝(＋2)d. 三、板书设计 经历探究比例的性质和黄金分割的过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣． 学科网（北京）股份有限公司 $