21.2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该教案聚焦二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象绘制、配方法求顶点与对称轴、性质（最值、增减性）及综合应用。通过火箭发射高度与时间关系的情境导入，衔接前期二次函数顶点式知识，搭建从现实问题到抽象性质的学习支架。 资料以情境探究为主线，火箭问题培养数学眼光（抽象现实为函数模型），合作探究中最值、增减性例题通过配方法推理提升数学思维（运算与推理能力），综合应用强化数学语言表达（用函数解决几何问题）。自主探索与合作交流设计，助学生发展抽象能力与创新意识，为教师提供结构化探究活动，提升教学效率。

第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象； 2．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握二次函数的性质；(重点) 3．二次函数性质的综合应用．(难点) 一、情境导入 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【类型一】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值 已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是(　　) A．－10.5 B．2 C．－2.5 D．－6 解析：y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2，∵自变量取值范围为0≤x≤，∴图象都在对称轴的左侧，且y随x的增大而增大．∴当x＝时，y有最大值，最大值为y＝－2x2＋8x－6＝－2×()2＋8×－6＝－2.5.故选C. 方法总结：二次函数求最值最常用的方法是配方法和公式法，需要注意的是，当自变量限制范围时，如果对称轴取值不在范围内，则可以根据二次函数图象的增减性在取值范围内求最值． 【类型二】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性 如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为x＝－＝1，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1.故选B. 方法总结：抛物线的增减性：当a＞0时，开口向上，对称轴左降右升；当a＜0时，开口向下，对称轴左升右降． 【类型三】 在同一坐标系中确定二次函数与一次函数的图象 在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(　　) 解析：当二次函数图象开口向上时，－m>0，即m<0，对称轴x＝＝<0，这时抛物线的对称轴在y轴左侧．当m<0时，一次函数y＝mx＋m的图象经过第二、三、四象限．故选D. 方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论． 探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的平移 在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是(　　) A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，4) 解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x＋1)2－5，将y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)．故选C. 方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”． 探究点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的位置与系数a、b、c的关系 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是(　　) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 解析：∵－＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，∴②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵(，y2)关于对称轴x＝－1的对称点为(－，y2)，x<－1时，y随x的增大而增大，∵－3>－，∴y1>y2，∴④正确．综上所述，选B. 方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0. 探究点四：二次函数图象与几何图形的综合应用 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积． 解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c得解得 ∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6； (2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－＝4， ∴点C的坐标为(4，0)， ∴AC＝OC－OA＝4－2＝2， ∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6. 三、板书设计 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法． 学科网（北京）股份有限公司 $