21.2 二次函数的图象和性质 同步练习 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

21.2 二次函数的图象和性质 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是(    ) A. 先向左平移个单位，再向下平移个单位 B. 先向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 先向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 先向右平移个单位，再向上平移个单位 2.若抛物线的开口方向向下，交轴于正半轴，则抛物线的顶点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知点，，都在抛物线上，点在点的左侧，下列选项中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4.二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. 若且，则 D. 若，两点都在抛物线的图象上，则 5.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 6.抛物线向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 7.抛物线是由抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的，则抛物线的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 8.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.将抛物线向下平移个单位后，所得新抛物线的解析式为          ． 10.若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 11.如果抛物线经过原点，那么______． 12.点是抛物线上一点，则的值是          ，点关于原点对称的点的坐标是          ． 13.已知函数的图象如图所示，则           ；当           时，随的增大而增大． 14.在平面直角坐标系中，若抛物线不动，而把轴、轴分别向上、向右平移个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为          ． 15.抛物线必过定点          ． 16.抛物线的对称轴是          ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数， 当时，求函数的值； 求抛物线上纵坐标为的点的坐标． 18.本小题分 已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： 画出函数图象； 求二次函数的解析式． 19.本小题分 已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线都相同，顶点与抛物线相同． 求这条抛物线的解析式； 将上面的抛物线向右平移个单位长度会得到怎样的拋物线？ 若中所求抛物线的顶点不动，将拋物线的开口反向，求符合此条件的拋物线的解析式． 20.本小题分 请按要求画出函数的图象： 列表：                                                                              描点并连线： 21.本小题分 二次函数的图象经过点． 求的值； 求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 22.本小题分 已知二次函数、为常数，，线段的两个端点坐标分别为，． 该二次函数的图象的对称轴是直线______； 当时，若点恰好在此函数图象上，求此二次函数的关系式； 当时，当此二次函数的图象与线段只有一个公共点时，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位即可得到抛物线， 故选：． 直接根据二次函数的图象平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可 本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：二次函数的图象开口向下，交轴于正半轴， ，， 顶点在轴的上边， ， 抛物线的顶点位于第二象限， 故选：． 根据二次函数图象的性质解答． 本题主要考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3.【答案】  【解析】抛物线，该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，点，，都在抛物线上，点在点左侧，若，则，故选项A、均不符合题意；若，则，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选D． 4.【答案】  【解析】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ，， 对称轴为直线， ， ，，故选项A，B正确，不符合题意； 且， ， 和关于对称轴直线对称， ，故选项C正确；不符合题意； 抛物线的开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若，两点都在抛物线的图象上， ， ，故选项D错误，符合题意； 故选：． 根据图像判断系数之间的关系，从图象获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 本题考查二次函数的图象和性质，掌握其性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：． 根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：抛物线向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到的抛物线是， 故选：． 根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案． 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是左加右减，上加下减． 7.【答案】  【解析】解：平移后得到， ，，， ，， 原抛物线解析式为   故选：． 本题在后面加，后面减，再与平移后的解析式进行对应即可求解． 本题考查了抛物线的平移，解题关键是牢记上加下减在常数项后面，左加右减在后面． 8.【答案】  【解析】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，根据所给二次函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性及抛物线上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， ，故 A选项不符合题意； 抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，则 ，故 B选项不符合题意； 抛物线的对称轴为直线 时的函数值与时的函数值相等， 由函数图象可知，时函数值小于零， 时函数值也小于零，即，故 C选项符合题意； 抛物线的对称轴为直线 即，故 D选项不符合题意； 故选：． 9.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的平移变换，解题的关键在于掌握函数图像向下平移的规则．原抛物线的解析式减去即可． 【详解】解：根据平移规则，向下平移个单位需在解析式中减去， ， 故答案为：． 10.【答案】  【解析】解：由题意可得：， ． 故答案为：． 对于二次函数 为常数，，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，据此列式求解即可． 本题考查了二次函数图象的性质，正确进行计算是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：由条件可知， 解得， 故答案为：． 将点代入二次函数的解析式求解即可得． 本题考查了求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 12.【答案】   【解析】【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，中心对称中的坐标变化将代入即可求得的值，进一步求得点关于原点对称的点的坐标． 【解答】解：点是抛物线上一点， ， ， 点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：；． 13.【答案】   【解析】略 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】．  【解析】略 16.【答案】直线  【解析】略 17.【答案】解：当时，； 当时，， 即：， ， 则抛物线上纵坐标为的点的坐标是，．  【解析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，正确解一元二次方程是解题的关键． 直接将代入解析式解答即可； 令，再解一元二次方程即可． 18.【答案】【小题】略 【小题】 设二次函数的解析式为二次函数的图象经过点，，解得二次函数的解析式为．   【解析】 略  略 19.【答案】【小题】 解：  【小题】   【小题】 ．   【解析】 略  略  略 20.【答案】【小题】 【小题】 略   【解析】 略  略 21.【答案】【小题】 解：将代入函数解析式，得解得． 【小题】 ，顶点坐标是，对称轴为直线  【小题】略   【解析】 略  略  略 22.【答案】；   二次函数的关系式为；   或．  【解析】解：二次函数、为常数，， 二次函数的图象的对称轴是直线． 故答案为：； 当时，， 把代入，得， 二次函数的关系式为； 当时， ， 此二次函数的图象与线段只有一个公共点， 当抛物线顶点落在上时，， 解得， 当抛物线经过点时，， 当抛物线经过点时， ， 解得， 综上所述：或． 根据二次函数、为常数，，即可求此二次函数的对称轴； 当时，把代入即可求此二次函数的关系式； 当时，根据二次函数的图象与线段只有一个公共点，分三种情况说明：当抛物线顶点落在上时，，；当抛物线经过点时，；当抛物线经过点时，，即可求此的取值范围； 本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数的图象与性质，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上的点的坐标特征、抛物线与轴的交点． 第5页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$