21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质2（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该教案聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，涵盖抛物线概念、描点法作图及a值对开口方向与宽窄的影响。通过回顾一次函数、反比例函数的图象与画法搭建支架，引导学生用描点法探究二次函数图象。 以“画图象—观特征—探性质”为主线，通过例1、例2及对比探究活动培养几何直观与推理意识。学生动手画图、分析a值影响提升抽象能力与创新意识，巩固练习覆盖概念应用，助力教师高效教学，夯实二次函数基础。

21.2 二次函数的图象和性质 1. 二次函数y=ax2的图象和性质 教学目标 【知识与技能】 使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质. 【过程与方法】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质. 重点难点 【重点】 使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象. 【难点】 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么? (一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.) 2.画函数图象的一般步骤是什么? 一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线). 3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质? (运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.) 二、新课教授 【例1】　画出二次函数y=x2的图象. 解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … 　　(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y). (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示. 思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题: (1)二次函数y=x2的图象是什么形状? (2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? 师生活动: 教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价. 函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2. 由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点. 【例2】　在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象. 解:分别填表,再画出它们的图象. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点? 师生活动: 教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价. 抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大. 探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。 师生活动: 学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳. 教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨. 学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形. 抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大. 探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax2和y=-ax2呢? 师生活动: 学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳. 教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨. 学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形. 抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称. 教师引导学生小结(知识点、规律和方法). 一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大. 从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小. 三、巩固练习 1.抛物线y=-4x2-4的开口向　　　　,顶点坐标是　　　　,对称轴是　　　　,当x=　　　　时,y有最　　　　值,是　　　　.  【答案】下　(0,-4)　x=0　0　大　-4 2.当m≠　　　　时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数.  【答案】1 3.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x=　　　　,y=　　　　.  【答案】-3或3　-12 4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k=　　　　,b=　　　　.  【答案】　12 5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为　　　　.  【答案】y=-2x2 6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是(　　) A.y=x2　　　　B.y=x2 C.y=-2x2 D.y=-x2 【答案】C 7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是(　　) A.y=x2 B.y=4x2 C.y=-2x2 D.无法确定 【答案】A 8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是(　　) A.两条抛物线关于x轴对称 B.两条抛物线关于原点对称 C.两条抛物线关于y轴对称 D.两条抛物线的交点为原点 【答案】C 四、课堂小结 1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数. 2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大. 3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来. 教学反思 本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4)最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结. 学科网（北京）股份有限公司 $