21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质1（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

该教案聚焦初中数学“二次函数y=ax²的图象和性质”核心知识点，以篮球投篮路线等生活实例创设情境导入，引导学生从现实世界抽象出抛物线概念。通过描点法绘制y=x²、y=2x²等函数图象，观察归纳对称轴、顶点及开口方向等特征，搭建从具体操作到抽象概念的学习支架。 该资料亮点在于融合数学眼光、思维与语言培养，通过合作探究对比不同函数图象，发展几何直观与抽象能力，结合抛物线形拱桥实际问题，强化模型意识与应用意识。助力学生以数形结合理解性质，提升教师教学效率，夯实二次函数学习基础。

21．2　二次函数的图象和性质 1．二次函数y＝ax2的图象和性质 1．正确理解抛物线的有关概念；(重点) 2．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点) 3．掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点) 4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？ 我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝ax2的图象 【类型一】 画二次函数y＝ax2的图象 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x2；②y＝2x2；③y＝－x2；④y＝－2x2.根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表． 解：列表： 　　描点、连线，函数图象如图所示． (1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴； (2)函数y＝2x2和y＝x2的图象有最低点，函数y＝－x2和y＝－2x2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)． 方法总结：(1)画形如y＝ax2(a≠0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取． (2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线． (3)抛物线的概念：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y＝ax2. (4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点． 【类型二】 同一坐标系中两种不同图象的判断 当ab>0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是(　　) 解析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限．当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D. 方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析． 探究点二：抛物线y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系 如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为(　　) A．a>b>c>d B．a>b>d>c C．b>a>c>d D．b>a>d>c 答案：A 方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大． 探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用 已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求： (1)a，b的值； (2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标； (3)△AMB的面积． 解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答． 解：(1)∵点A(1，b)是直线y＝2x－3与二次函数y＝ax2的图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式， ∴∴ (2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(－3，－9)； (3)如图所示，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，根据点的坐标的意义，可知MD＝3，MC＝1，CD＝1＋3＝4，BD＝9，AC＝1，∴S△AMB＝S梯形ABDC－S△ACM－S△BDM＝×(1＋9)×4－×1×1－×3×9＝6. 方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y＝ax2的性质 【类型一】 二次函数y＝ax2的增减性 作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题： (1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小； (2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小． 解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法． 解：(1)图象如图所示，由图象可知y1＞y2； (2)由图象可知y3<y4. 方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误． 【类型二】 二次函数y＝ax2的最值 已知函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，当n为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标．这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 解：∵函数y＝(1－n)xn2＋n－4是关于x的二次函数，∴解得n＝2或n＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n>0，即n<1.∴n＝－3.∴当x>0时，y随x的增大而增大． 方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y＝ax2(a≠0)的二次项系数a的符号决定的；当a>0时，抛物线有最低点；当a<0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n>0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n>0，即n<1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n)． 探究点五：利用二次函数y＝ax2的图象和性质解题 【类型一】 利用二次函数y＝ax2的性质解题 当m为何值时，函数y＝mxm2－m的图象是开口向下的抛物线？当x为何值时，y随x的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 解：由题意，得m应满足解得m＝－1.当x<0时，y随x的增大而增大．这个函数有最大值，最大值是0. 方法总结：本题主要考查函数y＝ax2(a≠0)的有关性质．当a>0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a<0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a<0且x<0时，y随x的增大而增大． 【类型二】 二次函数y＝ax2的图象和性质的实际应用 如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB的宽为20m，如果水位上升3m，水面CD的宽为10m. (1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶了1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD处，当水位涨到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax2(a≠0)，拱桥最高点O到水面CD的距离为hm，则D(5，－h)，B(10，－h－3)． ∴解得∴抛物线的函数表达式为y＝－x2； (2)水位由CD处涨到最高点O的时间为h÷0.25＝1÷0.25＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到xkm/h，即当4x＋40×1＝280时，x＝60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60km/h. 方法总结：一般地，求二次函数y＝ax2的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B，D的纵坐标未知，故需设出CD到桥顶的距离h作为辅助未知数． 三、板书设计 教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质，体会数学建模的数形结合的思想方法． 学科网（北京）股份有限公司 $