10.1.3 古典概型(一) 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.3 古典概型(一) 研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示. 我们知道,通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计,但这种方法耗时多,而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型,直接计算随机事件的概率呢?本节课我们就来学习一下! 导 语 复习提问:上节你学了哪些知识? 问1、事件间有哪些关系? 问2、事件有哪些运算关系?(什么是和事件,什么是积事件?) 怎样表示? 问3、什么是互斥事件?什么是对立事件(怎么表示)? 阅读教材P235-240,回答下列问题: 问1、什么是古典概率?(须具备哪两大特征?) 问2、如何计算古典概率? 古典概型的定义 一 提示 样本空间的样本点是有限个,每个样本点发生的可能性相等. 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验,它们的共同特征有哪些? 问题1 一般地,若试验E具有以下特征: (1)有限性:样本空间的样本点只有 ; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性 . 则称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称_ . 有限个 相等 古典 概型 下列概率模型是古典概型吗?为什么? (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率; 例 1 不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限多个实数,取出的实数有无限多种结果,与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾. 8 (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率; 不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等,与古典概型定义中“每个样本点发生的可能性相等”矛盾. 9 (3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率. 是古典概型,因为在试验中所有可能出现的结果是有限的,而且每个整数被抽到的可能性相等. 10 (1)样本点总数有限. (2)各个样本点出现的可能性相等. 反 思 感 悟 古典概型需满足两个条件 11 (多选)下列试验中是古典概型的是 A.抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面或反面出现的情况 B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1 个球 C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点 D.射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数 跟踪训练 1 √ √ 12 二 古典概型概率的计算 提示 A={2,4,6}. 对于掷骰子试验,出现各个点的可能性相同,记出现1点,2点,…,6点的事件分别为A1,A2,…,A6,则P(A1)=P(A2)=…=P(A6),又P(A1)+P(A2) +…+P(A6)=P(必然事件)=1,所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=,P(A)==. 在掷骰子的试验中,记事件A为“点数为偶数”,事件A包含哪些样本点?事件A发生的概率是多少? 问题2 一般地,设试验E是 ,样本空间 包含n个样本点,事件A包含 其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= = . 古典概型 15 一个口袋内装有大小相同的1个白球和3个黑球,从中摸出2个球.求: (1)样本空间的样本点的总数n; 例 2 将3个黑球编号为A1,A2,A3,白球编号为B,则从装有4个球的口袋内摸出2个球, 样本空间 ={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B),(A2,A3),(A2,B),(A3,B)},共有6个样本点,所以n=6. 16 (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数; 事件“摸出2个黑球”={(A1,A2),(A2,A3),(A1,A3)},共有3个样本点. 17 (3)摸出2个黑球的概率. 样本点的总数n=6,事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数k=3, 故P==,即“摸出2个黑球”的概率为. 18 反 思 感 悟 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. (3)P(A)=. 利用古典概型的概率计算公式计算概率的步骤 为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在 同一花坛的概率是 . 跟踪训练 2 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中,余下2种颜色的花种在另一个花坛中的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共4种,故所求概率P==. 20 较复杂的古典概型的概率计算 三 某数学兴趣小组共有5名学生,其中有3名男生A1,A2,A3,2名女生B1,B2,现从中随机抽取2名学生参加比赛. (1)写出试验的样本空间; 例 3 试验共有10种等可能的结果,因此该试验的样本空间 ={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共10个样本点. 22 (2)抽取的学生中恰有一男生一女生的概率是多少? 记事件“抽取的学生中恰有一男生一女生”为A,则A={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2)},所以n(A)=6,因此P(A)==. 23 反 思 感 悟 在求古典概型的概率时,若事件可以表示成集合的形式,则可以用列举的方式把样本点一一列出来,注意做到不重不漏,有时也可以借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点. 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率; 跟踪训练 3 25 由题意知,从6个国家中任选2个国家,其包含的样本点有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共15个. 所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个, 则所求事件的概率P==. 26 (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其包含的样本点有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),共9个.其中包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1,B2),(A1,B3),共2个,则所求事件的概率P=. 27 1.知识清单: (1)古典概型. (2)古典概型的概率公式. 2.方法归纳:列举法、列表法、树状图法. 3.常见误区:在列举样本点的个数时,要按照一定顺序,做到不重、不漏. 练习:P241 1——3题 作业:1、阅读教材、订正上节错题 2、《步步高》作业51 3、预习下节内容 $