专题01 分数的乘法与除法（知识必备+5大核心题型+分层验收）（期中复习讲义）六年级数学上学期新教材人教版五四制

专题01 分数的乘法与除法（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分数乘法 1．准确阐述分数与整数、分数与分数、小数与分数相乘的意义，能区分“几个相同分数相加”与“一个数的几分之几”。 2．熟练掌握各类分数乘法计算方法，能结合图形理解算理。 易错点：分母与整数误相乘、小数与分数转化不当、约分不彻底。 命题趋势：以“计算+意义解释”为主，结合实际场景（如面积、重量）。 分数除法 1．准确求出分数、整数、小数的倒数，能判断互为倒数的数。 2．清晰说明分数除法意义，熟练将除法转化为乘法计算。 易错点：小数求倒数直接互换分子分母、除法未转化为乘倒数、混淆倒数与相反数。 命题趋势：常考“倒数判断+除法计算”，结合“已知一个数的几分之几求这个数” 混合运算与运算律 1．按顺序计算含括号的分数混合运算，步骤完整，结果正确。 2．能灵活运用乘法运算律简算，准确识别可简算题型。 易错点：运算顺序颠倒、分配律漏乘错乘、去括号符号错误。 命题趋势：以“分步计算+简便运算”为主，包含小数与分数混合。 分数乘除法的应用 1．解决三步实际问题，单位“1”判断准确率，能画线段图辅助理解。 2．能准确区分乘除法应用场景。 易错点：单位“1”判断错误、“比多比少”问题漏加（或减）单位“1”、工程问题未用“1”表示总量等。 命题趋势：以多步真实场景应用题为主（如人口、行程），为考试重点。 知识点01分数乘法的意义 1．分数与整数相乘：表示“几个相同分数相加”（如表示2个相加），或“一个整数的几分之几是多少”（如表示2的是多少）。 2．分数与分数相乘：表示“一个分数的几分之几是多少”（如表示的是多少）。 3．小数与分数相乘：意义与分数乘法一致，仅参与运算的数形式不同（如表示2.4的是多少）。 示例：环保小组做1朵花用张纸，做2朵花用纸，既可以表示2个相加（），也可以表示的2倍，结果为张；2公顷育苗基地的种柳树苗，种柳树苗的面积为，表示2的是多少，结果为公顷。 易错点：混淆“几个相同分数相加”与“一个数的几分之几”，如误将理解为“6的”（虽计算结果相同，但意义不同，前者是6个相加，后者是6的是多少）；小数与分数相乘时，忽略“求一个数的几分之几”的本质，仅关注计算形式。 知识点02分数乘法的计算法则 1．分数与整数相乘：用分数的分子乘整数的积作分子，分母不变；能约分的先约分，再计算。公式：（）。 2．分数与分数相乘：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；能约分的先约分，再计算。公式：（，）。 3．小数与分数相乘：可将小数化成分数后按分数乘法计算，或把分数化成小数后按小数乘法计算，优先选择便于约分的方式。 示例：计算，先约分（6和9约去3），得；计算，分子分母交叉约分（3和3约去），得；计算，将2.4和4约分（2.4÷4=0.6），得。 易错点：分数与整数相乘时，误将分母与整数相乘（如错算为）；分数与分数相乘时，约分不彻底（如错算为，未约分为）；小数与分数相乘时，强行转化为小数计算（如硬算，未转化为，增加计算难度）。 知识点03倒数的概念与求法 1．概念：乘积是1的两个数互为倒数，强调“互为”，即若，则是的倒数，也是的倒数。 2．求法：将数化成分数形式（整数可看作分母为1的分数），交换分子与分母的位置；1的倒数是1，0没有倒数（因0与任何数相乘都为0，无法得1）。 示例：求的倒数，交换分子分母得（）；求6的倒数，将6化为，交换分子分母得（）；0.2的倒数，先将0.2化为，交换分子分母得5（）。 易错点：认为“倒数是单独存在的”，如说“是倒数”（正确表述：和互为倒数）；求小数倒数时，直接交换小数点前后数字（如0.5错算为5.0，正确应先化分数，再得倒数2）；误认为“0有倒数” “1的倒数是其他数”。 知识点04分数除法的意义与计算法则 1．意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数（如，已知积和因数2，求另一个因数）。 2．计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。公式：（，，）；整数除法可将整数看作分母为1的分数，再按上述法则计算。 示例：计算，转化为，表示将平均分成2份，每份为；计算，转化为；计算，转化为。 易错点：分数除法中未转化为乘倒数，直接分子除分子、分母除分母（如错算为）；除以整数时，误将整数的倒数写反（如错算为）；忽略“除数不能为0”的前提。 知识点05分数混合运算与运算律 1．混合运算顺序：与整数混合运算一致，先算乘除，后算加减；有括号的先算括号内，先算小括号，再算中括号。 2．运算律应用：整数乘法的交换律、结合律、分配律适用于分数乘法，可简化计算： 交换律：； 结合律：； 分配律：。 示例：计算，先算乘法，再算加法；利用分配律计算，得；利用交换律计算，得。 易错点：混合运算中颠倒运算顺序，先算加减后算乘除（如错算为）；分配律应用时漏乘（如错算为）；去括号时符号错误（如错算为）。 知识点06分数乘除法的实际应用 1．连续求一个数的几分之几：先求第一个量的几分之几，再求结果的几分之几（如“海象寿命→海狮寿命→海豹寿命”，分步用乘法）； 2．求比一个数多（少）几分之几的数：先算多（少）的部分，再加（减）原数（如“婴儿心跳比青少年多”，先算多跳次数，再加青少年心跳次数）； 3．工程问题：将工作总量看作单位“1”，用“1÷（工作效率和）”求合作时间（如甲、乙修栈道，效率分别为、，合作时间为）； 4．已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法（如已知牛奶160g是砂糖的，求砂糖质量，列式）。 示例：海象寿命40年，海狮寿命是海象的，海豹寿命是海狮的，海豹寿命为年；青少年每分钟心跳75次，婴儿比青少年多，婴儿心跳为次；甲、乙合修栈道，每天共修，修完需天。 易错点：找错单位“1”（如“山东省人口比广东省少”，误将山东省人口看作单位“1”，实际单位“1”是广东省人口）；“比多比少”问题漏加（或减）单位“1”（如婴儿心跳问题错算为次）；工程问题中未将工作总量看作“1”，强行代入具体数值导致计算错误。 题型一 分数乘除法直接计算题 解｜题｜技｜巧 1．分数乘法：遵循“先约分，后计算”，分数与整数相乘时整数与分母约分，分数与分数相乘时分子分母交叉约分，结果化为最简分数。 2．分数除法：先将除法转化为乘法（除以一个非0数=乘它的倒数），再按分数乘法法则计算。 3．小数与分数计算：优先将小数化分数（有限小数优先），或分数化小数（便于计算时），减少复杂运算。 【典例1】计算（1）；（2） 【答案】（1）；（2）10 【解析】本题考查分数与整数的乘除法计算，核心是掌握约分技巧和除法转乘法法则。 解：（1）=； （2）=。 【典例2】计算（1）；（2） 【答案】（1）；（2）1 【解析】本题考查小数与分数的互化计算，关键是选择简便的转化方式。 解：（1）==； （2）==1。 【变式1】计算（1）；（2） 【答案】（1）；（2） 【解析】考查分数与分数的乘除法，重点是交叉约分和倒数转化。 解：（1）=； （2）=。 【变式2】计算（1）；（2） 【答案】（1）1；（2） 【解析】考查小数与分数混合计算，需灵活选择转化形式。 解：（1）=； （2）==。 题型二 分数四则混合运算及简便运算题 解｜题｜技｜巧 1．混合运算：严格遵循“先乘除，后加减；有括号先算括号内（先小括号再中括号）”，分步计算避免混乱。 2．简便运算：观察算式特点，有“凑整” “相同因数”时，灵活用乘法交换律（）、结合律（）、分配律（）。 【典例1】计算 【答案】 【解析】本题考查含括号的混合运算，核心是按顺序计算，先算小括号内的加法，再算乘除。 解： = = = 【典例2】用简便方法计算（1）；（2） 【答案】（1）13；（2）7 【解析】本题考查乘法分配律及逆用，关键是识别可约分的数和相同因数。 解：（1） = = =； （2） = = =。 【变式1】用简便方法计算（1）；（2） 【答案】（1）；（2） 【解析】考查乘法交换律和结合律，核心是凑整简化计算。 解：（1）： = = =； （2）： = = =。 【变式2】计算 【答案】1 【解析】考查含中括号的混合运算，需按“小括号→中括号→括号外”的顺序计算。 解： = = = = 题型三 分数乘除法概念题 解｜题｜技｜巧 1．倒数概念：紧扣“乘积为1的两个数互为倒数”，强调“互为”（不能单独表述某数是倒数），记住特殊数（1的倒数是1，0没有倒数）。 2．乘除法意义：分数乘法中，“分数×整数”可表示“几个相同分数相加”或“整数的几分之几”；“分数×分数”仅表示“一个分数的几分之几”；分数除法意义与整数一致，为“已知积和一个因数，求另一个因数”。 【典例1】（1）判断“是倒数”和“0的倒数是0”是否正确；（2）求6和0.3的倒数。 【答案】（1）错误；（2）， 【解析】本题考查倒数概念，核心是理解“互为”关系和特殊数的倒数。 解：（1）“是倒数”错误，因倒数需成对（如和互为倒数）；“0的倒数是0”错误，因0乘任何数为0，无法得1； （2）6化为，倒数为；0.3化为，倒数为。 【典例2】（1）表示的意义是_____________________； （2）表示的意义是__________________________。 【答案】（1）2个相加（或2的是多少）；（2）已知积是，一个因数是，求另一个因数 【解析】本题考查分数乘除法意义，需区分不同形式乘法的意义及除法的逆运算本质。 解：（1）是“分数×整数”，可表示“2个相加”（），也可表示“2的是多少”； （2）是分数除法，意义与整数除法一致，即“已知两个因数的积是，其中一个因数是，求另一个因数”。 【变式1】（1）判断“和互为倒数”和“1的倒数是它本身”是否正确；（2）求和1.2的倒数。 【答案】（1）正确；（2）， 【解析】考查倒数概念的应用，需验证乘积是否为1及小数化分数求倒数。 解：（1），故互为倒数；1×1=1，故1的倒数是本身，所以结论正确； （2）的倒数是；1.2化为，倒数是。 【变式2】（1）表示的意义是_____________________； （2）表示的意义是_____________________。 【答案】（1）的是多少；（2）已知积是8，一个因数是，求另一个因数 【解析】考查分数乘除法意义，重点是“分数×分数”的单一意义和整数除以分数的意义。 解：（1）是“分数×分数”，仅表示“一个分数的几分之几”，即“的是多少”； （2）是整数除以分数，意义为“已知积是8，一个因数是，求另一个因数”。 题型四 分数乘除法基础应用题（连乘、比多或少几分之几） 解｜题｜技｜巧 1．连续求一个数的几分之几（连乘）：分步找单位“1”，第一个分率的单位“1”是已知总量，第二个分率的单位“1”是第一步计算结果，列式为“总量×第一个分率×第二个分率”。 2．求比一个数多或少几分之几的数：先找单位“1”（“比” “占” “是”后的量），再算对应分率（多几分之几用“1+分率”，少几分之几用“1-分率”），列式为“单位‘1’的量×对应分率”。 【典例1】某农场有耕地240公顷，其中种小麦，种玉米的面积是小麦的，种玉米的面积是多少公顷？ 【答案】80公顷 【解析】本题考查连续求一个数的几分之几，核心是分步确定单位“1”，用连乘计算。第一步：确定第一个单位“1”是“总耕地面积240公顷”，小麦面积=240×=120公顷；第二步：确定第二个单位“1”是“小麦面积120公顷”，玉米面积=120×=80公顷。 解：240××=80（公顷） 答：种玉米的面积是80公顷。 【典例2】青少年每分钟心跳75次，婴儿每分钟心跳比青少年多，婴儿每分钟心跳多少次？ 【答案】135次 【解析】本题关键是理解“多”的含义——婴儿心跳次数是青少年的“1+”倍，避免直接用青少年心跳次数乘分率（忽略单位“1”本身）。 解：（次） 答：婴儿每分钟心跳135次。 【变式1】一本书共360页，小明第一天看了全书的，第二天看的页数是第一天的，小明第二天看了多少页？ 【答案】100页 【解析】两次“求一个数的几分之几”，需注意第一天看的页数是连接“全书页数”与“第二天页数”的中间量。 解：（页） 答：小明第二天看了100页。 【变式2】某商店原有大米200千克，卖出后，剩余大米比面粉少，商店有面粉多少千克？ 【答案】187.5千克 【解析】先算卖出后剩余的大米质量（比原有少），再以剩余大米为基础，算面粉质量（剩余大米比面粉少，即剩余大米是面粉的）。 解：（千克） = =150 =（千克） 答：店有面粉千克。 题型五 分数乘除法综合应用题（已知一个数的几分之几求这个数、工程问题） 解｜题｜技｜巧 1．已知一个数的几分之几是多少，求这个数：先找单位“1”，再找“已知量”与“对应分率”的关系，核心公式为“单位‘1’的量=已知量÷对应分率”。 2．工程问题：将工作总量看作“单位‘1’”，工作效率=工作总量÷工作时间，合作时间=工作总量÷（甲效率+乙效率），若已知具体工作总量，可代入实际数值计算效率。 【典例1】小明有一些零花钱，花掉后还剩20元，小明原有多少零花钱？ 【答案】60元 【解析】本题关键是找到“剩余20元”对应的分率——花掉，剩余，避免用剩余钱数直接乘分率（混淆“已知量”与“分率”的对应关系）。 解： = =（元） 答：小明原有60元零花钱。 【典例2】一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，甲、乙合作几天能完成这项工程？ 【答案】天 【解析】本题核心是将工作总量看作“单位‘1’ ”，通过“工作时间”算“工作效率”，避免强行代入具体工作总量。 解： = =（天） 答：甲、乙合作天能完成这项工程。 【变式1】学校图书馆有故事书若干本，科技书的本数是故事书的，文艺书的本数是科技书的，已知文艺书有60本，故事书有多少本？ 【答案】120本 【解析】本题需通过“文艺书60本”反向推导“故事书”数量，先找文艺书对应科技书的分率，再找科技书对应故事书的分率，逐步逆推。 解： = =（本） 答：故事书有120本。 【变式2】修一条长360米的公路，甲队单独修需10天，乙队单独修需15天，两队合作修完这条公路需要多少天？ 【答案】6天 【解析】本题已知具体工作总量（360米），可先算甲、乙的实际工作效率（每天修的长度），再按“总量÷效率和”计算合作时间，与“单位‘1’ ”法结果一致。 解：方法1： 甲队每天修：（米），乙队每天修：（米）； 两队合作每天的工作效率：（米）； 合作时间：（天）； 方法2：（天）。 答：两队合作修完这条公路需要6天。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．的得数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分数的乘法，根据乘法法则，约分化简即可． 【详解】解：； 故选A． 2．60的相当于80的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分数乘除法的应用，由得到60的，再用结果除以80即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D． 3．(24-25六上·山东滨州博兴县·期中)若一种彩电降价后的价格为960元，则这种彩电原价是（   ） A． B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了分数混合运算的应用，根据彩电降价后的价格为960元，列出算式即可． 【详解】解：∵彩电降价后的价格为960元， ∴这种彩电原价是元，故C正确． 故选：C． 二、填空题 4．3的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数是解题的关键． 本题可根据倒数的定义来求解的倒数． 【详解】解：设的倒数为， 则可列出方程，即． ∴3的倒数是． 故答案为：． 5．(24-25六上·黑龙江大庆·期中)一根彩带米，用掉它的后，又用掉米，一共用掉了 米． 【答案】 【分析】本题考查了分数的运算，正确理解题意是解题关键． 【详解】解：（米） 答：一共用掉了米． 故答案为：． 三、解答题 6．直接写得数．                                【答案】；；；；；；2； 【分析】本题考查了分数、小数的混合运算，根据分数、小数的混合运算法则计算即可。 【详解】解：； ； ； ； ； ； ； 。 7．(24-25六上·黑龙江绥化绥棱县第六中学·)小敏手工制作了一些纸花，红花的朵数是黄花的，红花的朵数是绿花的．黄花有60朵，那么红花和绿花各有多少朵？ 【答案】红花有40朵，绿花有50朵 【分析】本题考查分数乘法和除法的实际应用，先求出红花数量，再求出绿花数量即可． 【详解】解：红花：（朵）， 绿花：（朵）， 答：红花有40朵，绿花有50朵． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江望奎县第四中学多校联考·期中)一台榨油机小时榨油，1小时可榨油（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分数运算的应用，用除以，即可求解． 【详解】解：一台榨油机小时榨油，1小时可榨油， 故选：B． 2．(24-25六上·上海建平实验地杰中学·期中)班级搞圣诞节活动，预计活动费用为500元，实际用了450元，下列说法不正确的是（    ） A．实际费用是计划的 B．实际费用比计划费用少 C．计划费用比实际费用多 D．实际费用比计划费用少50元 【答案】C 【分析】根据题意，逐一计算后解答即可． 本题考查了分数的应用，熟练掌握相关知识，准确计算是解题的关键． 【详解】解：A. 根据题意，，故实际费用是计划的， 本选项正确，不符合题意； B. 根据题意，，故实际费用比计划费用少， 本选项正确，不符合题意； C. 根据题意得，且，故计划费用比实际费用多说法错误， 故本选项符合题意； D. 根据题意得，故实际费用比计划费用少50元， 本选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．(24-25七上·四川眉山东坡区苏祠共同体·期中)如图所示能用“”表示或解决的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查分数乘除法的意义，解题的关键是看懂图意，找到对应的算式． 根据分数乘法的意义与分数除法的意义，依次分析每幅图的算式，再选择正确答案． 【详解】解∶①如图，先表示这个正方形的，再表示的，根据分数乘法的意义，可以列式为； ②如图，根据速度路程时间，求每小时行多少千米，列式为：； ③如图，根据百分数乘法的意义，用长方形的面积乘，即可计算出阴影部分的面积，列式为：，因为，所以也可以列式为：； ④如图，根据分数乘法的意义，求的是多少，列式为：或； 根据上面的分析，上图能用 “表示或解决”的是：①③④． 故选：C． 二、填空题 4．(24-25六上·上海民办永昌中学·期中)比40米多是 米． 【答案】60 【分析】本题主要考查了分数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：比40米多的是（米）． 故答案为：60． 5．(24-25六上·上海交通大学附属闵行马桥实验学校·期中)某项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，如果两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的 ．（填几分之几） 【答案】 【分析】首先根据工作效率=工作量÷工作时间，分别用1除以甲乙独做需要的时间，求出甲乙的工作效率各是多少；然后根据工作量=工作时间×工作效率，即可作答．此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量=工作效率×工作时间，工作效率=工作量÷工作时间，工作时间=工作量÷工作效率． 【详解】解：∵甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作2天， ∴， ∴， 则完成的工作量占这项工程总量的． 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25六上·安徽淮北濉溪县孙疃中心学校·期中)怎样算简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分数的混合运算，根据分数的运算法则以及乘法分配律进行计算是解题的关键； （1）先计算括号内的，再将除法转化为乘法进行计算； （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法进行计算即可求解．． （3）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算； （4）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 7．(24-25六上·上海普陀区梅陇中学·期中)某工程队分三个阶段修筑一条公路．第一阶段修了这条公路的，第二阶段完成了剩下工程的；第三阶段修完这条公路． (1)前两个阶段共完成整个工程的几分之几？ (2)如果第三阶段修了1400米，那么这条公路全长多少米？ 【答案】(1)前两个阶段共完成整个工程的； (2)这条公路全长有4800千米． 【分析】本题考查了分数的混合运算，掌握分数混合运算法则，根据题意列出式子是解题关键． （1）第一阶段修了这条公路的，第二阶段又完成了剩下工程的即，进一步列算式即可； （2）用单位“1”减去前两段完成的占全部的比例，再用第三阶段修的除以没修的占全部的比例即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 答：前两个阶段共完成整个工程的； （2）解： （千米）， 答：这条公路全长有4800千米． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分数的乘法与除法（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分数乘法 1．准确阐述分数与整数、分数与分数、小数与分数相乘的意义，能区分“几个相同分数相加”与“一个数的几分之几”。 2．熟练掌握各类分数乘法计算方法，能结合图形理解算理。 易错点：分母与整数误相乘、小数与分数转化不当、约分不彻底。 命题趋势：以“计算+意义解释”为主，结合实际场景（如面积、重量）。 分数除法 1．准确求出分数、整数、小数的倒数，能判断互为倒数的数。 2．清晰说明分数除法意义，熟练将除法转化为乘法计算。 易错点：小数求倒数直接互换分子分母、除法未转化为乘倒数、混淆倒数与相反数。 命题趋势：常考“倒数判断+除法计算”，结合“已知一个数的几分之几求这个数” 混合运算与运算律 1．按顺序计算含括号的分数混合运算，步骤完整，结果正确。 2．能灵活运用乘法运算律简算，准确识别可简算题型。 易错点：运算顺序颠倒、分配律漏乘错乘、去括号符号错误。 命题趋势：以“分步计算+简便运算”为主，包含小数与分数混合。 分数乘除法的应用 1．解决三步实际问题，单位“1”判断准确率，能画线段图辅助理解。 2．能准确区分乘除法应用场景。 易错点：单位“1”判断错误、“比多比少”问题漏加（或减）单位“1”、工程问题未用“1”表示总量等。 命题趋势：以多步真实场景应用题为主（如人口、行程），为考试重点。 知识点01分数乘法的意义 1．分数与整数相乘：表示“几个相同分数相加”（如表示2个相加），或“一个整数的几分之几是多少”（如表示2的是多少）。 2．分数与分数相乘：表示“一个分数的几分之几是多少”（如表示的是多少）。 3．小数与分数相乘：意义与分数乘法一致，仅参与运算的数形式不同（如表示2.4的是多少）。 示例：环保小组做1朵花用张纸，做2朵花用纸，既可以表示2个相加（），也可以表示的2倍，结果为张；2公顷育苗基地的种柳树苗，种柳树苗的面积为，表示2的是多少，结果为公顷。 易错点：混淆“几个相同分数相加”与“一个数的几分之几”，如误将理解为“6的”（虽计算结果相同，但意义不同，前者是6个相加，后者是6的是多少）；小数与分数相乘时，忽略“求一个数的几分之几”的本质，仅关注计算形式。 知识点02分数乘法的计算法则 1．分数与整数相乘：用分数的分子乘整数的积作分子，分母不变；能约分的先约分，再计算。公式：（）。 2．分数与分数相乘：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；能约分的先约分，再计算。公式：（，）。 3．小数与分数相乘：可将小数化成分数后按分数乘法计算，或把分数化成小数后按小数乘法计算，优先选择便于约分的方式。 示例：计算，先约分（6和9约去3），得；计算，分子分母交叉约分（3和3约去），得；计算，将2.4和4约分（2.4÷4=0.6），得。 易错点：分数与整数相乘时，误将分母与整数相乘（如错算为）；分数与分数相乘时，约分不彻底（如错算为，未约分为）；小数与分数相乘时，强行转化为小数计算（如硬算，未转化为，增加计算难度）。 知识点03倒数的概念与求法 1．概念：乘积是1的两个数互为倒数，强调“互为”，即若，则是的倒数，也是的倒数。 2．求法：将数化成分数形式（整数可看作分母为1的分数），交换分子与分母的位置；1的倒数是1，0没有倒数（因0与任何数相乘都为0，无法得1）。 示例：求的倒数，交换分子分母得（）；求6的倒数，将6化为，交换分子分母得（）；0.2的倒数，先将0.2化为，交换分子分母得5（）。 易错点：认为“倒数是单独存在的”，如说“是倒数”（正确表述：和互为倒数）；求小数倒数时，直接交换小数点前后数字（如0.5错算为5.0，正确应先化分数，再得倒数2）；误认为“0有倒数” “1的倒数是其他数”。 知识点04分数除法的意义与计算法则 1．意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数（如，已知积和因数2，求另一个因数）。 2．计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。公式：（，，）；整数除法可将整数看作分母为1的分数，再按上述法则计算。 示例：计算，转化为，表示将平均分成2份，每份为；计算，转化为；计算，转化为。 易错点：分数除法中未转化为乘倒数，直接分子除分子、分母除分母（如错算为）；除以整数时，误将整数的倒数写反（如错算为）；忽略“除数不能为0”的前提。 知识点05分数混合运算与运算律 1．混合运算顺序：与整数混合运算一致，先算乘除，后算加减；有括号的先算括号内，先算小括号，再算中括号。 2．运算律应用：整数乘法的交换律、结合律、分配律适用于分数乘法，可简化计算： 交换律：； 结合律：； 分配律：。 示例：计算，先算乘法，再算加法；利用分配律计算，得；利用交换律计算，得。 易错点：混合运算中颠倒运算顺序，先算加减后算乘除（如错算为）；分配律应用时漏乘（如错算为）；去括号时符号错误（如错算为）。 知识点06分数乘除法的实际应用 1．连续求一个数的几分之几：先求第一个量的几分之几，再求结果的几分之几（如“海象寿命→海狮寿命→海豹寿命”，分步用乘法）； 2．求比一个数多（少）几分之几的数：先算多（少）的部分，再加（减）原数（如“婴儿心跳比青少年多”，先算多跳次数，再加青少年心跳次数）； 3．工程问题：将工作总量看作单位“1”，用“1÷（工作效率和）”求合作时间（如甲、乙修栈道，效率分别为、，合作时间为）； 4．已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法（如已知牛奶160g是砂糖的，求砂糖质量，列式）。 示例：海象寿命40年，海狮寿命是海象的，海豹寿命是海狮的，海豹寿命为年；青少年每分钟心跳75次，婴儿比青少年多，婴儿心跳为次；甲、乙合修栈道，每天共修，修完需天。 易错点：找错单位“1”（如“山东省人口比广东省少”，误将山东省人口看作单位“1”，实际单位“1”是广东省人口）；“比多比少”问题漏加（或减）单位“1”（如婴儿心跳问题错算为次）；工程问题中未将工作总量看作“1”，强行代入具体数值导致计算错误。 题型一 分数乘除法直接计算题 解｜题｜技｜巧 1．分数乘法：遵循“先约分，后计算”，分数与整数相乘时整数与分母约分，分数与分数相乘时分子分母交叉约分，结果化为最简分数。 2．分数除法：先将除法转化为乘法（除以一个非0数=乘它的倒数），再按分数乘法法则计算。 3．小数与分数计算：优先将小数化分数（有限小数优先），或分数化小数（便于计算时），减少复杂运算。 【典例1】计算（1）；（2） 【典例2】计算（1）；（2） 【变式1】计算（1）；（2） 【变式2】计算（1）；（2） 题型二 分数四则混合运算及简便运算题 解｜题｜技｜巧 1．混合运算：严格遵循“先乘除，后加减；有括号先算括号内（先小括号再中括号）”，分步计算避免混乱。 2．简便运算：观察算式特点，有“凑整” “相同因数”时，灵活用乘法交换律（）、结合律（）、分配律（）。 【典例1】计算 【典例2】用简便方法计算（1）；（2） 【变式1】用简便方法计算（1）；（2） 【变式2】计算 题型三 分数乘除法概念题 解｜题｜技｜巧 1．倒数概念：紧扣“乘积为1的两个数互为倒数”，强调“互为”（不能单独表述某数是倒数），记住特殊数（1的倒数是1，0没有倒数）。 2．乘除法意义：分数乘法中，“分数×整数”可表示“几个相同分数相加”或“整数的几分之几”；“分数×分数”仅表示“一个分数的几分之几”；分数除法意义与整数一致，为“已知积和一个因数，求另一个因数”。 【典例1】（1）判断“是倒数”和“0的倒数是0”是否正确；（2）求6和0.3的倒数。 【典例2】（1）表示的意义是_____________________； （2）表示的意义是__________________________。 【变式1】（1）判断“和互为倒数”和“1的倒数是它本身”是否正确；（2）求和1.2的倒数。 【变式2】（1）表示的意义是_____________________； （2）表示的意义是_____________________。 题型四 分数乘除法基础应用题（连乘、比多或少几分之几） 解｜题｜技｜巧 1．连续求一个数的几分之几（连乘）：分步找单位“1”，第一个分率的单位“1”是已知总量，第二个分率的单位“1”是第一步计算结果，列式为“总量×第一个分率×第二个分率”。 2．求比一个数多或少几分之几的数：先找单位“1”（“比” “占” “是”后的量），再算对应分率（多几分之几用“1+分率”，少几分之几用“1-分率”），列式为“单位‘1’的量×对应分率”。 【典例1】某农场有耕地240公顷，其中种小麦，种玉米的面积是小麦的，种玉米的面积是多少公顷？ 【典例2】青少年每分钟心跳75次，婴儿每分钟心跳比青少年多，婴儿每分钟心跳多少次？ 【变式1】一本书共360页，小明第一天看了全书的，第二天看的页数是第一天的，小明第二天看了多少页？ 【变式2】某商店原有大米200千克，卖出后，剩余大米比面粉少，商店有面粉多少千克？ 题型五 分数乘除法综合应用题（已知一个数的几分之几求这个数、工程问题） 解｜题｜技｜巧 1．已知一个数的几分之几是多少，求这个数：先找单位“1”，再找“已知量”与“对应分率”的关系，核心公式为“单位‘1’的量=已知量÷对应分率”。 2．工程问题：将工作总量看作“单位‘1’”，工作效率=工作总量÷工作时间，合作时间=工作总量÷（甲效率+乙效率），若已知具体工作总量，可代入实际数值计算效率。 【典例1】小明有一些零花钱，花掉后还剩20元，小明原有多少零花钱？ 【典例2】一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，甲、乙合作几天能完成这项工程？ 【变式1】学校图书馆有故事书若干本，科技书的本数是故事书的，文艺书的本数是科技书的，已知文艺书有60本，故事书有多少本？ 【变式2】修一条长360米的公路，甲队单独修需10天，乙队单独修需15天，两队合作修完这条公路需要多少天？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．的得数是（    ） A． B． C． D． 2．60的相当于80的（    ） A． B． C． D． 3．(24-25六上·山东滨州博兴县·期中)若一种彩电降价后的价格为960元，则这种彩电原价是（   ） A． B．元 C．元 D．元 二、填空题 4．3的倒数是 ． 5．(24-25六上·黑龙江大庆·期中)一根彩带米，用掉它的后，又用掉米，一共用掉了 米． 三、解答题 6．直接写得数．                                7．(24-25六上·黑龙江绥化绥棱县第六中学·)小敏手工制作了一些纸花，红花的朵数是黄花的，红花的朵数是绿花的．黄花有60朵，那么红花和绿花各有多少朵？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江望奎县第四中学多校联考·期中)一台榨油机小时榨油，1小时可榨油（   ）． A． B． C． D． 2．(24-25六上·上海建平实验地杰中学·期中)班级搞圣诞节活动，预计活动费用为500元，实际用了450元，下列说法不正确的是（    ） A．实际费用是计划的 B．实际费用比计划费用少 C．计划费用比实际费用多 D．实际费用比计划费用少50元 3．(24-25七上·四川眉山东坡区苏祠共同体·期中)如图所示能用“”表示或解决的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 4．(24-25六上·上海民办永昌中学·期中)比40米多是 米． 5．(24-25六上·上海交通大学附属闵行马桥实验学校·期中)某项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，如果两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的 ．（填几分之几） 三、解答题 6．(24-25六上·安徽淮北濉溪县孙疃中心学校·期中)怎样算简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 7．(24-25六上·上海普陀区梅陇中学·期中)某工程队分三个阶段修筑一条公路．第一阶段修了这条公路的，第二阶段完成了剩下工程的；第三阶段修完这条公路． (1)前两个阶段共完成整个工程的几分之几？ (2)如果第三阶段修了1400米，那么这条公路全长多少米？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $