专题02 圆的初步认识（知识必备+6大核心题型+分层验收）（期中复习讲义）六年级数学上学期新教材人教版五四制

专题02圆的初步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与性质 1．能准确描述圆心、半径、直径的定义，明确同一圆内半径与直径的关系（或），并能在图形中标识。 2．理解圆的对称性，知道圆是轴对称图形，且有无数条对称轴（直径所在直线）。 3．掌握用圆规画圆的方法，明确圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 1．常以选择题、填空题形式考查半径与直径的关系，如根据半径求直径或反之。 2．会结合图形判断对称轴数量，或考查画指定半径或直径的圆，多在操作题或基础计算题中出现。 扇形的认识 1．明确弧、扇形、圆心角的定义，能在圆中识别相关部分。 2．理解同一圆内扇形大小与圆心角的关系（圆心角越大，扇形越大），知道特殊扇形（半圆对应的圆心角180°，圆对应的圆心角90°）。 3．掌握扇形的对称性（是轴对称图形，有1条对称轴）。 1．多以选择题、判断题考查扇形与圆心角的关系，或识别图形中的扇形、圆心角。 2．偶尔结合画图题，要求画指定圆心角的扇形，难度较低，侧重基础概念。 圆的周长与弧长计算 1．牢记圆周率的意义，掌握圆的周长公式（或），能灵活计算圆的周长。 2．理解弧长与圆周长的关系，掌握弧长公式（，为圆心角度数），能计算指定圆心角对应的弧长。 1．圆的周长计算是高频考点，常结合实际场景（如圆形喷水池、车轮滚动距离）出计算题。 2．弧长计算多在综合题中出现，如求弯形管道展直长度，或与扇形面积结合考查，难度中等。 圆的面积与扇形面积计算 1．掌握圆的面积公式（），理解公式推导过程（将圆转化为近似长方形），能根据半径或直径计算圆的面积。 2．掌握扇形面积公式（S=或S=，为弧长），能计算指定扇形的面积。 3．学会计算圆环面积（外圆面积-内圆面积），能解决与圆、扇形面积相关的实际问题。 1．圆的面积计算是核心考点，常结合实际场景（如自动喷灌装置覆盖面积、圆形花坛面积）出题，多为计算题。 2．扇形面积、圆环面积常出现在综合应用题中，或与其他图形（正方形、长方形）结合求阴影部分面积，难度中等偏上。 圆与扇形的实际应用 1．能运用圆的周长、面积公式，扇形面积公式解决实际问题（如计算栅栏长度、草坪面积、圆环工件面积等）。 2．理解“外方内圆” “外圆内方”中正方形与圆的边长或半径关系，能计算相关图形的面积。 1．多以应用题形式考查，结合生活场景（如羊圈栅栏长度、运动场周长与面积、土楼占地面积）出题。 2．“外方内圆” “外圆内方”是热门考点，常考查正方形与圆的面积关系，或比较不同图形的面积大小，需注意公式的灵活运用。 知识点01 圆的基本概念 圆是由曲线围成的常见图形，生活中许多物体（如车轮、井盖）呈圆形。在圆中，有以下关键概念： 圆心（O）：圆中心的固定点，圆上任意一点到圆心的距离都相等（墨子云“圆，一中同长也”）。 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，同一圆内有无数条半径，且所有半径长度相等。 直径（d）：通过圆心且两端都在圆上的线段，同一圆内有无数条直径，且所有直径长度相等，直径与半径的关系为或。 圆的对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆有无数条对称轴。 用圆规画圆的方法：有针尖的脚固定在圆心（确定圆的位置），两脚间距离保持为半径（确定圆的大小），旋转有笔芯的脚一周即可画出圆。 示例：若一个圆的半径，则其直径d=2r=6cm；用圆规画半径为的圆时，需将圆规两脚分开，固定针尖后旋转一周。 易错点：①混淆半径和直径的定义，误将“不经过圆心的线段”当作直径；②画圆时未固定针尖或改变两脚间距离，导致圆的位置或大小错误；③认为“圆的对称轴是直径”，实际对称轴是“直径所在的直线”（直径是线段，对称轴是直线）。 知识点02 扇形的相关概念 扇形是圆的一部分，具体定义及特征如下： 弧：圆上两点之间的部分，如圆上A、B两点间的弧读作“弧AB”。 扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形。 圆心角：顶点在圆心的角（如），同一圆内，扇形的大小与圆心角大小有关，圆心角越大，扇形越大。 特殊扇形：以半圆为弧的扇形，圆心角是；以圆为弧的扇形，圆心角是。 扇形的对称性：扇形是轴对称图形，只有1条对称轴（过圆心且垂直于弧的中点的直线）。 示例：在半径为的圆中，画一个圆心角为的扇形，该扇形由半径、（）和弧AB围成，且扇形面积小于圆心角为的同半径扇形。 易错点：①误将“顶点在圆上的角”当作圆心角；②认为“扇形的大小与半径无关”，实际需在“同一圆（或等圆）”前提下，才仅由圆心角决定大小；③忽略扇形对称轴的数量，误判为“有无数条对称轴”。 知识点03 圆的周长与圆周率 圆的周长（C）：围成圆的曲线的长度，测量方法有“绕绳法”（用线绕圆一周再拉直测量）和“滚动法”（将圆在直尺上滚动一周测量）。 圆周率（π）：任意圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数，，实际应用中通常取近似值。 圆的周长公式：（已知直径）或（已知半径）。 示例：①一个圆形喷水池的直径，其周长C==31.4m；②一个圆的半径，其周长C==12.56cm。 易错点：①计算时混淆直径和半径，如用半径代入公式；②将圆周率取成“3”或“3.1416”等非规定值（题目无特殊说明时，必须取3.14）；③单位不统一时直接计算，如直径为的车轮，未将周长单位换算为“米”就与“千米”单位的里程计算。 知识点04 弧长的计算 弧长是圆周长的一部分，计算公式推导基于“圆心角占整个圆（）的比例”：若圆的半径为，圆心角为，则弧长（因圆心角对应弧长为圆周长，圆心角对应弧长为圆周长的）。 示例：制造弯形管道时，管道中心线的圆弧半径，圆心角，则弧长l==1570mm。 易错点：①忘记弧长公式中“除以180”的系数，误写为；②圆心角单位不是“度”时未换算（如弧度），题目中圆心角默认以“度”为单位；③混淆“弧长”和“圆周长”，误将弧长当作圆周长计算。 知识点05 圆的面积计算 圆的面积（S）：圆所占平面的大小，推导方法为“转化法”——将圆依次8等分、16等分、32等分…拼成近似长方形，等分份数越多，拼成的图形越接近长方形（长方形的长≈，宽≈）。 圆的面积公式：由长方形面积=长×宽，可得圆的面积（需注意是“半径的平方”，而非“直径的平方”）。 示例：①一个圆形茶几桌面的直径，则半径，面积S=0.52=0.785m2；②风电机组叶轮半径，扫风面积（圆的面积）S=1232=47505.06m2。 易错点：①公式中误将“半径”用“直径”代入，如写成；②计算“半径的平方”时出错，如误算为123=246（正确为123123=15129）；③单位换算错误，如将“平方厘米”直接当作“平方米”计算。 知识点06 扇形的面积计算 扇形面积是圆面积的一部分，有两种计算公式： 1．基于圆心角比例：若圆的半径为，扇形圆心角为，则扇形面积S=（因圆心角对应面积为圆面积，圆心角对应面积为圆面积的）。 2．基于弧长：若扇形弧长为，半径为，则扇形面积S=lr（由弧长公式代入第一种公式推导得出）。 示例：①半径、圆心角的扇形草坪，面积S==339.12m2；②若上述扇形的弧长，则面积S=lr=339.12m2。 易错点：①使用第一种公式时，漏写“除以360”，误写为S=；②使用第二种公式时，混淆“弧长”和“圆周长”，代入错误的“”值；③未注意“扇形与圆的半径一致”，如用其他圆的半径计算扇形面积。 知识点07 圆环的面积计算 圆环是由两个同心圆（圆心相同、半径不同的圆）围成的图形，面积等于外圆面积减去内圆面积： 若外圆半径为，内圆半径为，则圆环面积S==。 示例：一个圆环，内圆直径（内圆半径），外圆直径（外圆半径），则圆环面积 S==50.24cm2。 易错点：①计算时直接用“外圆直径平方减内圆直径平方”，未先换算为半径；②混淆“外圆半径”和“内圆半径”，导致减法顺序错误；③忽略“同心圆”前提，对非圆心相同的两个圆计算“圆环面积”（无意义）。 题型一 圆的基本概念辨析 解｜题｜技｜巧 1．牢记核心概念定义：直径需同时满足 “经过圆心” 和 “两端都在圆上”；半径是 “圆心到圆上任意一点的线段”；圆的对称轴是 “直径所在的直线”（非直径本身）；圆心角的顶点必须在圆心。 2．结合图形分析：遇到图形题时，标记圆心、半径、直径等关键元素，逐一对照概念判断。 【典例1】下列关于圆的说法中，正确的是（ ） A．圆内任意一条线段都是半径 B．直径是圆内最长的线段，且有无数条 C．圆的对称轴是直径，有无数条 D．顶点在圆上的角是圆心角 【答案】B 【解析】本题考查圆的半径、直径、对称轴及圆心角的定义，需逐一对照概念判断选项正误。 解：选项A：半径需满足“连接圆心和圆上任意一点”，圆内不经过圆心的线段不是半径，故A错误； 选项B：直径经过圆心且两端在圆上，是圆内最长的线段，同一圆内有无数条直径，故B正确； 选项C：圆的对称轴是“直径所在的直线”，直径是线段，不是对称轴，故C错误； 选项D：圆心角的顶点必须在圆心，顶点在圆上的角是圆周角，故D错误； 综上，答案为B。 【典例2】一个圆的半径是4cm，下列说法错误的是（ ） A．该圆的直径是8cm B．圆上任意一点到圆心的距离都是4cm C．该圆的对称轴有4条 D．用圆规画该圆时，两脚间距离需调为4cm 【答案】C 【解析】本题考查圆的半径与直径的关系、半径的性质、对称性及圆规画圆的方法，核心是掌握“同一圆内半径与直径的关系”和“圆的对称性”。 解：选项A：同一圆内直径，半径，则直径d=24=8cm，故A正确； 选项B：半径是圆上任意一点到圆心的距离，同一圆内所有半径相等，均为4cm，故B正确； 选项C：圆是轴对称图形，直径所在的直线都是对称轴，有无数条，而非4条，故C错误； 选项D：圆规画圆时，两脚间距离等于半径，故需调为4cm，故D正确； 综上，答案为C。 【变式1】判断：在一个圆中，画一条长5cm的线段，若该线段经过圆心，则它一定是这个圆的直径。（ ） 【答案】× 【解析】本题考查直径的完整定义，需同时满足“经过圆心”和“两端都在圆上”两个条件，缺一不可。 解：直径的定义是“经过圆心并且两端都在圆上的线段”。题干中仅说明线段“经过圆心”，但未明确“两端是否在圆上”：若线段两端超出圆外或未到达圆上，则不是直径。因此该说法错误，答案为：×。 【变式2】下列图形中，圆心角是（ ） A．顶点在圆上，两边与圆相交的角 B．顶点在圆心，一边与圆相交的角 C．顶点在圆心，两边都与圆相交的角 D．顶点在圆内，两边与圆相交的角 【答案】C 【解析】本题直接考查圆心角的定义，需紧扣“顶点位置”和“两边与圆的关系”两个核心要素。 解：根据圆心角的定义：“顶点在圆心，且两边都经过圆上任意一点（即两边与圆相交）的角”，逐一分析选项： A：顶点在圆上，是圆周角，不是圆心角； B：仅一边与圆相交，不满足“两边都与圆相交”； C：符合圆心角的定义； D：顶点在圆内，不是圆心角； 综上，答案为C。 题型二 圆的周长计算 解｜题｜技｜巧 1．明确公式：已知直径，用；已知半径，用。 2．统一单位：若题干中单位不统一（如cm与m），需先换算为相同单位再计算。 3．逆向计算：已知周长求直径或半径，用或。 【典例1】一个圆形喷水池的直径是20m，求这个喷水池的周长（取3.14）。 【答案】62.8m 【解析】本题已知圆的直径，直接代入周长公式计算即可，核心是识别“直径”这一已知条件。 解：=62.8(m)； 答：这个喷水池的周长是62.8m。 【典例2】一辆汽车的车轮直径是75cm，车轮转1圈，汽车能行驶多远？若汽车总里程为4710km，车轮一共转了多少圈（取3.14）？ 【答案】2.355m；2000000圈 【解析】本题分两问：第一问求车轮周长，即1圈行驶距离，用；第二问需先统一单位，再用“总里程÷1圈距离”求圈数，核心是“周长与实际路程的关系”。 解：车轮1圈行驶距离： =235.5(cm) ； 车轮转动圈数： =（圈） 答：车轮转1圈汽车能行驶2.355m，总里程4710km时车轮共转2000000圈。 【变式1】一个圆形桌面的周长是6.28m，求这个桌面的直径（取3.14）。 【答案】2m 【解析】本题是周长的逆向计算，已知周长求直径，需将公式变形为。 解：== 答：这个桌面的直径是2m。 【变式2】用一根长31.4cm的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的半径是多少厘米（取3.14）？ 【答案】5cm 【解析】本题中“铁丝长度”等于圆的周长，需先明确“周长”这一隐含条件，再用计算半径。 解：= 答：这个圆的半径是5cm。 题型三 圆的面积计算 解｜题｜技｜巧 1．核心公式：（注意：必须用半径计算，已知直径需先除以2得半径）。 2．关键步骤：计算“半径的平方”时，避免误算为“半径×2”（如，而非6）。 3．逆向关联：若已知周长，需先通过求半径，再算面积。 【典例1】一个圆形茶几桌面的直径是2m，求这个桌面的面积（取3.14）。 【答案】3.14m² 【解析】本题已知直径，需先将直径换算为半径（），再代入面积公式，核心是“先求半径”。 解： ) 答：这个桌面的面积是3.14m²。 【典例2】公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10m，求它能喷灌的最大面积（取3.14）。 【答案】314m² 【解析】本题中“喷灌射程”即圆的半径（喷灌范围是圆形），直接代入面积公式计算，核心是识别“射程=半径”的隐含条件。 解：) 答：它能喷灌的最大面积是314m²。 【变式1】一个圆形蓄水池的周长约是31.4m，求它的占地面积（取3.14）。 【答案】78.5m² 【解析】本题已知周长，需先通过周长求半径，即：，再算面积，核心是“周长与面积的关联计算”。 解：= ) 答：它的占地面积是78.5m²。 【变式2】在一个边长为8cm的正方形纸板中剪一个最大的圆，求这个圆的面积（取3.14）。 【答案】50.24cm² 【解析】本题中“正方形内最大圆的直径=正方形的边长”，需先确定圆的直径，再求半径、算面积，核心是“图形组合中边长与直径的关系”。 解：圆的直径=正方形边长，即； 半径：； 面积：=50.24(cm²)； 答：这个圆的面积是50.24cm²。 题型四 弧长与扇形面积计算 解｜题｜技｜巧 1．弧长公式：（为圆心角度数，为半径，取3.14），核心是“弧长是圆周长的”。 2．扇形面积公式S=或S=（为弧长），核心是“扇形面积是圆面积的”。 3．关键：找准圆心角和半径，避免混淆“直径”和“半径”。 【典例1】制造弯形管道时，管道中心线的圆弧半径，圆心角，求这段圆弧的长度（取3.14，结果保留整数）。 【答案】3140mm 【解析】本题已知半径和圆心角，直接代入弧长公式计算，核心是正确代入圆心角和半径。 解： 答：这段圆弧的长度是3140mm。 【典例2】公园内有一块半径为36m的扇形草坪，圆心角，求这块草坪的面积（取3.14，结果保留整数）。 【答案】1356m² 【解析】本题已知半径和圆心角，用扇形面积公式S=计算，核心是“扇形面积与圆面积的比例关系”。 解：S 答：这块草坪的面积约是1356m²。 【变式1】一段圆弧的长是25.12cm，对应的圆心角是，求这段圆弧所在圆的半径（取3.14）。 【答案】18cm 【解析】本题是弧长的逆向计算，已知弧长和圆心角，需将弧长公式变形为，核心是公式的灵活变形。 解：由得 答：这段圆弧所在圆的半径是18cm。 【变式2】一个扇形的半径是6cm，圆心角是，求这个扇形的面积占它所在圆面积的几分之几，以及扇形的面积（取3.14）。 【答案】；28.26cm² 【解析】本题先通过圆心角占比求扇形与圆的面积关系，再算扇形面积，核心是“圆心角比例=面积比例”。 解：； ) 答：扇形面积占所在圆面积的，扇形面积是28.26cm²。 题型五 圆环面积计算 解｜题｜技｜巧 1．利用核心公式计算：S==（为外圆半径，为内圆半径。 2．关键步骤：已知外圆/内圆直径时，需先除以2得半径；区分“外圆半径”和“内圆半径”，避免混淆。 【典例1】馆藏于故宫博物院的“青玉御题蚕纹璧”是一个圆环，内圆直径是5.4cm，外圆直径是26.3cm，求这个圆环的面积（取3.14，结果保留一位小数）。 【答案】520.1cm² 【解析】本题已知内、外圆直径，需先分别求内圆半径和外圆半径，再代入圆环面积公式，核心是“直径转半径”。 解：内圆半径，外圆半径 S==520.1（cm2）。 答：这个圆环的面积约是520.1cm²。 【典例2】一个圆形环岛的直径是50m，中间是一个直径为10m的圆形花坛，其余部分是草坪，求草坪的面积（取3.14）。 【答案】1884m² 【解析】本题中“草坪面积=环岛面积（外圆）-花坛面积（内圆）”，即圆环面积，需先求内、外圆半径，再代入公式，核心是“实际场景中圆环的识别”。 解：外圆（环岛）半径； 内圆（花坛）半； S==1884（m2）。 答：草坪的面积是1884m²。 【变式1】一个圆环的外圆半径是10cm，内圆半径是6cm，若外圆半径增加2cm，内圆半径不变，求新圆环的面积比原来增加了多少（取3.14）。 【答案】138.16cm² 【解析】本题可先分别算原圆环和新圆环的面积，再求差值，核心是“半径变化对圆环面积的影响”。 解：原圆环面积： S==200.96（cm2）。 新圆环面积： S==（cm2） 答：新圆环的面积比原来增加了138.16cm²。 【变式2】一个圆环的面积是200.96cm²，外圆半径是10cm，求内圆的半径（取3.14）。 【答案】6cm 【解析】本题是圆环面积的逆向计算，已知圆环面积和外圆半径，需将公式变形为，核心是公式的逆向运用。 解：由得 == ； 答：内圆的半径是6cm。 题型六 圆与扇形的实际应用 解｜题｜技｜巧 1．审题关键：区分“求周长”（如栅栏、铁丝长度、车轮滚动距离）和“求面积”（如占地面积、覆盖面积、草坪面积）。 2．提取数据：从题干中找到半径、直径或圆心角，注意单位是否统一（如m与cm、km与m）。 3．结合公式：根据“周长”或“面积”的需求，选择对应公式（周长、面积、扇形面积）。 【典例1】一个羊圈依墙而建，呈半圆形，半径是5m。（1）修这个羊圈需要多长的栅栏？（2）这个羊圈的占地面积是多少平方米（取3.14）？ 【答案】（1）15.7m；（2）39.25m² 【解析】本题是半圆形的实际应用：（1）栅栏长度是半圆的弧长（依墙而建，无需算直径）；（2）占地面积是半圆的面积，核心是“半圆形与整圆的关系”（弧长=整圆周长的，面积=整圆面积的一半）。 解：（1）C= （2）S=3.14= 答：（1）需要15.7m长的栅栏；（2）羊圈的占地面积是39.25m²。 【典例2】一台压路机的前轮直径是1.7m，前轮每分钟转动6周，这台压路机10分钟能前进多远（取3.14）？ 【答案】320.28m 【解析】本题中“压路机前进距离=前轮周长×每分钟转动圈数×时间”，核心是“前轮每转1圈前进的距离=前轮周长”。 解：C= 答：这台压路机10分钟能前进320.28m。 【变式1】一个扇形花坛的半径是8m，圆心角是，要在花坛周围围一圈栅栏（包括两条半径），求栅栏的总长度，以及花坛的面积（取3.14）。 【答案】栅栏总长度38.84m；花坛面积75.36m² 【解析】本题中“栅栏总长度=扇形弧长+两条半径”，“花坛面积=扇形面积”，核心是“扇形周长的实际构成”（弧长+两条半径）。 解：栅栏总长度： l+2r= 花坛面积： S 答：栅栏的总长度是34.84m，花坛的面积是75.36m²。 【变式2】用10m长的铁条做直径是50cm的圆形铁环，最多可以做多少个（取3.14，铁条不拼接）？ 【答案】6个 【解析】本题中“每个铁环的长度=圆的周长”，需先统一单位，再用“总铁条长度÷每个铁环周长”求个数，核心是“去尾法取整”（剩余铁条不足做一个铁环时舍去）。 解：50cm=0.5m； C= =3.140.5=1.57(m)； 106（个） 答：最多可以做6个圆形铁环。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A图形有1条对称轴， 选项B图形有3条对称轴， 选项C图形有3条对称轴， 选项D图形有无数条对称轴， 所以对称轴最多的是选项D． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2．(24-25六上·河南商丘·期中)如图是一个圆形的花坛，在花坛周围每隔摆一盆花，刚好能摆盆花，这个花坛的半径是（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的周长公式，掌握圆的周长公式是解题的关键． 根据每隔摆一盆花，刚好能摆盆花，求出花坛的周长，再由圆的周长公式求出半径即可． 【详解】由题意可知，花坛的周长为， 设花坛的半径是 ， ， ， 故选：C． 3．把一个周长是厘米的圆分成两个半圆后，每个半圆的面积是（ ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆的周长公式的灵活应用，还考查了圆的面积公式，先根据周长公式得出圆的半径，再根据圆的面积公式得出圆的面积，半圆的面积为圆的面积的一半，即可得出答案． 【详解】解：圆的半径为：厘米， 半圆的面积为：平方厘米． 故选：A． 二、填空题 4．(24-25七上·黑龙江庆新中学·期中)甲圆半径是乙圆半径的3倍，甲圆的周长是乙圆周长的 倍． 【答案】3 【分析】此题考查了圆的周长公式，设乙圆的半径为r，则甲圆的半径为3r，然后分别代入圆的周长公式进行比较即可． 【详解】解：乙圆的半径为r，则甲圆的半径为， ； ， ； 所以甲圆的周长是乙圆周长的3倍． 故答案为：3． 5．(24-25六上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中)如图，正方形边长是，则围成阴影部分的周长 ．（取） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握计算公式，是解题的关键．根据圆的周长公式进行计算即可． 【详解】解：围成阴影部分的周长为： ． 故答案为：． 6．(24-25六上·黑龙江大庆·期中)李师傅想把3根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起(如图)，捆一圈(接头处不计)至少需铁丝 厘米． 【答案】/ 【分析】本题考查了求圆的周长，根据图形可知，捆一圈需要一个圆周的长加上4个直径的长，据此列式计算即可求解． 【详解】解：(厘米)； (厘米)； 故答案为： 三、解答题 7．(24-25六上·黑龙江大庆肇源县西部四校·期中)一个运动场跑道的形状与大小如下图．两边是半圆形，半径是40米．中间是长方形． (1)绕运动场一周是多少米？ (2)这个运动场的占地面积是多少平方米？ 【答案】(1)绕运动场一周是米； (2)这个运动场的占地面积是13024平方米． 【分析】本题考查求组合的图形的周长和面积． （1）根据等量关系：运动场的周长＝圆的周长＋（长方形的长），据此便可以求得运动场的周长； （2）运动场的面积＝长方形的面积+圆的面积．据此便可以求得运动场的面积． 【详解】（1）解：(米) 答：绕运动场一周是米； （2）解：（平方米） 答：这个运动场的占地面积是13024平方米． 8．(24-25六上·哈尔滨第六十九中学校·期中)刘大爷用篱笆围一个半圆形养鸡小院（如图所示，半圆和直径整个封闭图形外围都围上篱笆），养鸡小院的直径是．（） (1)修这个小院需要多长的篱笆？ (2)如果要扩建这个小院，把它的直径增加，这个小院的周长增加了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查的是圆的周长的计算； （1）先计算半圆的周长，再加上直径即可得到答案； （2）先计算扩建后的半圆周长，再加上直径可得扩建后需要的篱笆长度，再减去原来的篱笆长度即可得到答案. 【详解】（1）解：因为半圆周长为， 所以， 所以修这个小院需要米的篱笆； （2）解：扩建这个小院，把它的直径增加， 所以半圆周长为， 所以， 而， 所以这个小院的周长增加了米. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．(24-25六上·黑龙江大庆肇源县西部四校·期中)圆的半径由增加到，面积增加了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键； 根据圆的面积公式即可求解； 【详解】解：（）； 故选：D 2．(23-24六上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·期中)一只挂钟的分针长，经过分钟后，分针的尖端所走的路程是（    ）．（取） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 3．(23-24七上·江苏无锡梁溪区·期中)如图，有两个相同的小圆，一个在大圆内，一个在大圆外，大圆直径是小圆的倍．如果两个小圆各自沿着大圆滚动周，那么两个小圆各自围绕自身圆心转动的圈数（    ） A．圆外的是圆内的倍 B．圆外的是圆内的倍 C．相同 D．圆内的是圆外的倍 【答案】B 【分析】把大圆剪断拉直．小圆绕大圆圆周一周，就变成从直线的一头滚至另一头．因为直线长就是大圆的周长，是小圆周长的2倍，所以小圆要滚动2圈．但是现在小圆不是沿直线而是沿大圆滚动，小圆因此还同时作自转，当小圆沿大圆滚动1周回到原出发点时，小圆同时自转1周．当小圆在大圆内部滚动时自转的方向与滚动的转向相反，所以小圆自身转了1周．当小圆在大圆外部滚动时自转的方向与滚动的转向相同，所以小圆自身转了3周． 【详解】解：如图，由题意可知，小圆在内绕自身圆心转动了2圈，公转了1圈，但公转方向与自转方向相反，共圈， 在圆外也绕自身的圆心转动了2圈，公转了1圈，公转反向与自转方向相同，共圈， ∴圆外的是圆内的倍 故选：B． 二、填空题 4．(24-25六上·黑龙江绥化明水县第二中学·期中)一个圆的周长是，这个圆的直径是 ，如果将这个圆的半径增加，增加部分的面积是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了圆的周长、面积等知识．设圆的半径为．先利用圆的周长公式求出，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意得：， 解得， 则这个圆的直径是； 将这个圆的半径增加，则圆的半径为， 则圆的面积为， 故答案为：4，． 5．(24-25六上·黑龙江大庆肇源县东部五校·期中)儿童乐园要修建一个圆形的旋转木马场地，木马旋转范围的直径是，周边还要留出宽的小路，并在外侧围上栏杆，所需栏杆是 ． 【答案】 【分析】此题考查圆的周长，根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为： 二、解答题 6．(24-25六上·黑龙江绥化明水县第二中学·期中)计算阴影部分的面积． (1)如图： (2)如图： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆的面积公式，正确计算是解题的关键． （1）利用半圆的面积减去三角形的面积进而求解； （2）利用大圆的面积减去小圆的面积即可解答． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ； （2）解：阴影部分的面积为： ． 7．(24-25六上·黑龙江绥化·期中)（1）如图1，正方形的面积是16平方厘米，求圆的周长和面积？ （2）如图2，正方形的面积是7平方厘米，你能不先求出圆的半径而直接求出圆的面积吗？若能，请求出圆的面积？ （3）如图3，正方形的面积是200平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？ （4）如图4，正方形的面积是2024平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（圆周率取值为3.14） 【答案】（1）厘米，50.24平方厘米；（2）21.98平方厘米；（3）157平方厘米；（4）3177.68平方厘米 【分析】本题主要考查了正方形的面积公式，圆的面积与周长的计算公式． （1）由正方形的面积即可得出正方形的边长为4，进而可根据圆的周长以及面积公式计算即可． （2）根据正方形面积等于边长乘以边长，再根据圆的半径为正方形的边长，根据圆的面积直接代入计算即可． （3）设这个圆的半径为r厘米，则正方形的边长是2r厘米，再根据正方形的面积进一步求出，再根据圆的面积公式计算即可． （4）设圆的半径为r，则正方形的面积为，进而求出，再根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）正方形的面积是16平方厘米，则边长为4厘米， 则（厘米） （平方厘米） 答：圆的面积是50.24平方厘米． （2）（平方厘米） 答：圆的面积是21.98平方厘米． （3）解：设这个圆的半径为r厘米，则正方形的边长是2r厘米， 圆的面积：（平方厘米） 答：这个圆的面积是157平方厘米． （4）解：设圆的半径为r 则正方形的面积： 又因“正方形的面积是2024平方厘米” 圆的面积：（平方厘米） 答：圆的面积是3177.68平方厘米． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02圆的初步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与性质 1．能准确描述圆心、半径、直径的定义，明确同一圆内半径与直径的关系（或），并能在图形中标识。 2．理解圆的对称性，知道圆是轴对称图形，且有无数条对称轴（直径所在直线）。 3．掌握用圆规画圆的方法，明确圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 1．常以选择题、填空题形式考查半径与直径的关系，如根据半径求直径或反之。 2．会结合图形判断对称轴数量，或考查画指定半径或直径的圆，多在操作题或基础计算题中出现。 扇形的认识 1．明确弧、扇形、圆心角的定义，能在圆中识别相关部分。 2．理解同一圆内扇形大小与圆心角的关系（圆心角越大，扇形越大），知道特殊扇形（半圆对应的圆心角180°，圆对应的圆心角90°）。 3．掌握扇形的对称性（是轴对称图形，有1条对称轴）。 1．多以选择题、判断题考查扇形与圆心角的关系，或识别图形中的扇形、圆心角。 2．偶尔结合画图题，要求画指定圆心角的扇形，难度较低，侧重基础概念。 圆的周长与弧长计算 1．牢记圆周率的意义，掌握圆的周长公式（或），能灵活计算圆的周长。 2．理解弧长与圆周长的关系，掌握弧长公式（，为圆心角度数），能计算指定圆心角对应的弧长。 1．圆的周长计算是高频考点，常结合实际场景（如圆形喷水池、车轮滚动距离）出计算题。 2．弧长计算多在综合题中出现，如求弯形管道展直长度，或与扇形面积结合考查，难度中等。 圆的面积与扇形面积计算 1．掌握圆的面积公式（），理解公式推导过程（将圆转化为近似长方形），能根据半径或直径计算圆的面积。 2．掌握扇形面积公式（S=或S=，为弧长），能计算指定扇形的面积。 3．学会计算圆环面积（外圆面积-内圆面积），能解决与圆、扇形面积相关的实际问题。 1．圆的面积计算是核心考点，常结合实际场景（如自动喷灌装置覆盖面积、圆形花坛面积）出题，多为计算题。 2．扇形面积、圆环面积常出现在综合应用题中，或与其他图形（正方形、长方形）结合求阴影部分面积，难度中等偏上。 圆与扇形的实际应用 1．能运用圆的周长、面积公式，扇形面积公式解决实际问题（如计算栅栏长度、草坪面积、圆环工件面积等）。 2．理解“外方内圆” “外圆内方”中正方形与圆的边长或半径关系，能计算相关图形的面积。 1．多以应用题形式考查，结合生活场景（如羊圈栅栏长度、运动场周长与面积、土楼占地面积）出题。 2．“外方内圆” “外圆内方”是热门考点，常考查正方形与圆的面积关系，或比较不同图形的面积大小，需注意公式的灵活运用。 知识点01 圆的基本概念 圆是由曲线围成的常见图形，生活中许多物体（如车轮、井盖）呈圆形。在圆中，有以下关键概念： 圆心（O）：圆中心的固定点，圆上任意一点到圆心的距离都相等（墨子云“圆，一中同长也”）。 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，同一圆内有无数条半径，且所有半径长度相等。 直径（d）：通过圆心且两端都在圆上的线段，同一圆内有无数条直径，且所有直径长度相等，直径与半径的关系为或。 圆的对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆有无数条对称轴。 用圆规画圆的方法：有针尖的脚固定在圆心（确定圆的位置），两脚间距离保持为半径（确定圆的大小），旋转有笔芯的脚一周即可画出圆。 示例：若一个圆的半径，则其直径d=2r=6cm；用圆规画半径为的圆时，需将圆规两脚分开，固定针尖后旋转一周。 易错点：①混淆半径和直径的定义，误将“不经过圆心的线段”当作直径；②画圆时未固定针尖或改变两脚间距离，导致圆的位置或大小错误；③认为“圆的对称轴是直径”，实际对称轴是“直径所在的直线”（直径是线段，对称轴是直线）。 知识点02 扇形的相关概念 扇形是圆的一部分，具体定义及特征如下： 弧：圆上两点之间的部分，如圆上A、B两点间的弧读作“弧AB”。 扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形。 圆心角：顶点在圆心的角（如），同一圆内，扇形的大小与圆心角大小有关，圆心角越大，扇形越大。 特殊扇形：以半圆为弧的扇形，圆心角是；以圆为弧的扇形，圆心角是。 扇形的对称性：扇形是轴对称图形，只有1条对称轴（过圆心且垂直于弧的中点的直线）。 示例：在半径为的圆中，画一个圆心角为的扇形，该扇形由半径、（）和弧AB围成，且扇形面积小于圆心角为的同半径扇形。 易错点：①误将“顶点在圆上的角”当作圆心角；②认为“扇形的大小与半径无关”，实际需在“同一圆（或等圆）”前提下，才仅由圆心角决定大小；③忽略扇形对称轴的数量，误判为“有无数条对称轴”。 知识点03 圆的周长与圆周率 圆的周长（C）：围成圆的曲线的长度，测量方法有“绕绳法”（用线绕圆一周再拉直测量）和“滚动法”（将圆在直尺上滚动一周测量）。 圆周率（π）：任意圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数，，实际应用中通常取近似值。 圆的周长公式：（已知直径）或（已知半径）。 示例：①一个圆形喷水池的直径，其周长C==31.4m；②一个圆的半径，其周长C==12.56cm。 易错点：①计算时混淆直径和半径，如用半径代入公式；②将圆周率取成“3”或“3.1416”等非规定值（题目无特殊说明时，必须取3.14）；③单位不统一时直接计算，如直径为的车轮，未将周长单位换算为“米”就与“千米”单位的里程计算。 知识点04 弧长的计算 弧长是圆周长的一部分，计算公式推导基于“圆心角占整个圆（）的比例”：若圆的半径为，圆心角为，则弧长（因圆心角对应弧长为圆周长，圆心角对应弧长为圆周长的）。 示例：制造弯形管道时，管道中心线的圆弧半径，圆心角，则弧长l==1570mm。 易错点：①忘记弧长公式中“除以180”的系数，误写为；②圆心角单位不是“度”时未换算（如弧度），题目中圆心角默认以“度”为单位；③混淆“弧长”和“圆周长”，误将弧长当作圆周长计算。 知识点05 圆的面积计算 圆的面积（S）：圆所占平面的大小，推导方法为“转化法”——将圆依次8等分、16等分、32等分…拼成近似长方形，等分份数越多，拼成的图形越接近长方形（长方形的长≈，宽≈）。 圆的面积公式：由长方形面积=长×宽，可得圆的面积（需注意是“半径的平方”，而非“直径的平方”）。 示例：①一个圆形茶几桌面的直径，则半径，面积S=0.52=0.785m2；②风电机组叶轮半径，扫风面积（圆的面积）S=1232=47505.06m2。 易错点：①公式中误将“半径”用“直径”代入，如写成；②计算“半径的平方”时出错，如误算为123=246（正确为123123=15129）；③单位换算错误，如将“平方厘米”直接当作“平方米”计算。 知识点06 扇形的面积计算 扇形面积是圆面积的一部分，有两种计算公式： 1．基于圆心角比例：若圆的半径为，扇形圆心角为，则扇形面积S=（因圆心角对应面积为圆面积，圆心角对应面积为圆面积的）。 2．基于弧长：若扇形弧长为，半径为，则扇形面积S=lr（由弧长公式代入第一种公式推导得出）。 示例：①半径、圆心角的扇形草坪，面积S==339.12m2；②若上述扇形的弧长，则面积S=lr=339.12m2。 易错点：①使用第一种公式时，漏写“除以360”，误写为S=；②使用第二种公式时，混淆“弧长”和“圆周长”，代入错误的“”值；③未注意“扇形与圆的半径一致”，如用其他圆的半径计算扇形面积。 知识点07 圆环的面积计算 圆环是由两个同心圆（圆心相同、半径不同的圆）围成的图形，面积等于外圆面积减去内圆面积： 若外圆半径为，内圆半径为，则圆环面积S==。 示例：一个圆环，内圆直径（内圆半径），外圆直径（外圆半径），则圆环面积 S==50.24cm2。 易错点：①计算时直接用“外圆直径平方减内圆直径平方”，未先换算为半径；②混淆“外圆半径”和“内圆半径”，导致减法顺序错误；③忽略“同心圆”前提，对非圆心相同的两个圆计算“圆环面积”（无意义）。 题型一 圆的基本概念辨析 解｜题｜技｜巧 1．牢记核心概念定义：直径需同时满足 “经过圆心” 和 “两端都在圆上”；半径是 “圆心到圆上任意一点的线段”；圆的对称轴是 “直径所在的直线”（非直径本身）；圆心角的顶点必须在圆心。 2．结合图形分析：遇到图形题时，标记圆心、半径、直径等关键元素，逐一对照概念判断。 【典例1】下列关于圆的说法中，正确的是（ ） A．圆内任意一条线段都是半径 B．直径是圆内最长的线段，且有无数条 C．圆的对称轴是直径，有无数条 D．顶点在圆上的角是圆心角 【典例2】一个圆的半径是4cm，下列说法错误的是（ ） A．该圆的直径是8cm B．圆上任意一点到圆心的距离都是4cm C．该圆的对称轴有4条 D．用圆规画该圆时，两脚间距离需调为4cm 【变式1】判断：在一个圆中，画一条长5cm的线段，若该线段经过圆心，则它一定是这个圆的直径。（ ） 【变式2】下列图形中，圆心角是（ ） A．顶点在圆上，两边与圆相交的角 B．顶点在圆心，一边与圆相交的角 C．顶点在圆心，两边都与圆相交的角 D．顶点在圆内，两边与圆相交的角 题型二 圆的周长计算 解｜题｜技｜巧 1．明确公式：已知直径，用；已知半径，用。 2．统一单位：若题干中单位不统一（如cm与m），需先换算为相同单位再计算。 3．逆向计算：已知周长求直径或半径，用或。 【典例1】一个圆形喷水池的直径是20m，求这个喷水池的周长（取3.14）。 【典例2】一辆汽车的车轮直径是75cm，车轮转1圈，汽车能行驶多远？若汽车总里程为4710km，车轮一共转了多少圈（取3.14）？ 【变式1】一个圆形桌面的周长是6.28m，求这个桌面的直径（取3.14）。 【变式2】用一根长31.4cm的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的半径是多少厘米（取3.14）？ 题型三 圆的面积计算 解｜题｜技｜巧 1．核心公式：（注意：必须用半径计算，已知直径需先除以2得半径）。 2．关键步骤：计算“半径的平方”时，避免误算为“半径×2”（如，而非6）。 3．逆向关联：若已知周长，需先通过求半径，再算面积。 【典例1】一个圆形茶几桌面的直径是2m，求这个桌面的面积（取3.14）。 【典例2】公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10m，求它能喷灌的最大面积（取3.14）。 【变式1】一个圆形蓄水池的周长约是31.4m，求它的占地面积（取3.14）。 【变式2】在一个边长为8cm的正方形纸板中剪一个最大的圆，求这个圆的面积（取3.14）。 题型四 弧长与扇形面积计算 解｜题｜技｜巧 1．弧长公式：（为圆心角度数，为半径，取3.14），核心是“弧长是圆周长的”。 2．扇形面积公式S=或S=（为弧长），核心是“扇形面积是圆面积的”。 3．关键：找准圆心角和半径，避免混淆“直径”和“半径”。 【典例1】制造弯形管道时，管道中心线的圆弧半径，圆心角，求这段圆弧的长度（取3.14，结果保留整数）。 【典例2】公园内有一块半径为36m的扇形草坪，圆心角，求这块草坪的面积（取3.14，结果保留整数）。 【变式1】一段圆弧的长是25.12cm，对应的圆心角是，求这段圆弧所在圆的半径（取3.14）。 【变式2】一个扇形的半径是6cm，圆心角是，求这个扇形的面积占它所在圆面积的几分之几，以及扇形的面积（取3.14）。 题型五 圆环面积计算 解｜题｜技｜巧 1．利用核心公式计算：S==（为外圆半径，为内圆半径。 2．关键步骤：已知外圆/内圆直径时，需先除以2得半径；区分“外圆半径”和“内圆半径”，避免混淆。 【典例1】馆藏于故宫博物院的“青玉御题蚕纹璧”是一个圆环，内圆直径是5.4cm，外圆直径是26.3cm，求这个圆环的面积（取3.14，结果保留一位小数）。 【典例2】一个圆形环岛的直径是50m，中间是一个直径为10m的圆形花坛，其余部分是草坪，求草坪的面积（取3.14）。 【变式1】一个圆环的外圆半径是10cm，内圆半径是6cm，若外圆半径增加2cm，内圆半径不变，求新圆环的面积比原来增加了多少（取3.14）。 【变式2】一个圆环的面积是200.96cm²，外圆半径是10cm，求内圆的半径（取3.14）。 题型六 圆与扇形的实际应用 解｜题｜技｜巧 1．审题关键：区分“求周长”（如栅栏、铁丝长度、车轮滚动距离）和“求面积”（如占地面积、覆盖面积、草坪面积）。 2．提取数据：从题干中找到半径、直径或圆心角，注意单位是否统一（如m与cm、km与m）。 3．结合公式：根据“周长”或“面积”的需求，选择对应公式（周长、面积、扇形面积）。 【典例1】一个羊圈依墙而建，呈半圆形，半径是5m。（1）修这个羊圈需要多长的栅栏？（2）这个羊圈的占地面积是多少平方米（取3.14）？ 【典例2】一台压路机的前轮直径是1.7m，前轮每分钟转动6周，这台压路机10分钟能前进多远（取3.14）？ 【变式1】一个扇形花坛的半径是8m，圆心角是，要在花坛周围围一圈栅栏（包括两条半径），求栅栏的总长度，以及花坛的面积（取3.14）。 【变式2】用10m长的铁条做直径是50cm的圆形铁环，最多可以做多少个（取3.14，铁条不拼接）？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25六上·河南商丘·期中)如图是一个圆形的花坛，在花坛周围每隔摆一盆花，刚好能摆盆花，这个花坛的半径是（   ）． A．3 B． C． D． 3．把一个周长是厘米的圆分成两个半圆后，每个半圆的面积是（ ）平方厘米． A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25七上·黑龙江庆新中学·期中)甲圆半径是乙圆半径的3倍，甲圆的周长是乙圆周长的 倍． 5．(24-25六上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中)如图，正方形边长是，则围成阴影部分的周长 ．（取） 6．(24-25六上·黑龙江大庆·期中)李师傅想把3根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起(如图)，捆一圈(接头处不计)至少需铁丝 厘米． 三、解答题 7．(24-25六上·黑龙江大庆肇源县西部四校·期中)一个运动场跑道的形状与大小如下图．两边是半圆形，半径是40米．中间是长方形． (1)绕运动场一周是多少米？ (2)这个运动场的占地面积是多少平方米？ 8．(24-25六上·哈尔滨第六十九中学校·期中)刘大爷用篱笆围一个半圆形养鸡小院（如图所示，半圆和直径整个封闭图形外围都围上篱笆），养鸡小院的直径是．（） (1)修这个小院需要多长的篱笆？ (2)如果要扩建这个小院，把它的直径增加，这个小院的周长增加了多少米？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．(24-25六上·黑龙江大庆肇源县西部四校·期中)圆的半径由增加到，面积增加了（    ） A． B． C． D． 2．(23-24六上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·期中)一只挂钟的分针长，经过分钟后，分针的尖端所走的路程是（    ）．（取） A． B． C． D． 3．(23-24七上·江苏无锡梁溪区·期中)如图，有两个相同的小圆，一个在大圆内，一个在大圆外，大圆直径是小圆的倍．如果两个小圆各自沿着大圆滚动周，那么两个小圆各自围绕自身圆心转动的圈数（    ） A．圆外的是圆内的倍 B．圆外的是圆内的倍 C．相同 D．圆内的是圆外的倍 二、填空题 4．(24-25六上·黑龙江绥化明水县第二中学·期中)一个圆的周长是，这个圆的直径是 ，如果将这个圆的半径增加，增加部分的面积是 ． 5．(24-25六上·黑龙江大庆肇源县东部五校·期中)儿童乐园要修建一个圆形的旋转木马场地，木马旋转范围的直径是，周边还要留出宽的小路，并在外侧围上栏杆，所需栏杆是 ． 二、解答题 6．(24-25六上·黑龙江绥化明水县第二中学·期中)计算阴影部分的面积． (1)如图： (2)如图： 7．(24-25六上·黑龙江绥化·期中)（1）如图1，正方形的面积是16平方厘米，求圆的周长和面积？ （2）如图2，正方形的面积是7平方厘米，你能不先求出圆的半径而直接求出圆的面积吗？若能，请求出圆的面积？ （3）如图3，正方形的面积是200平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？ （4）如图4，正方形的面积是2024平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（圆周率取值为3.14） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $