专题03 圆柱与圆锥（知识必备+7大核心题型+分层验收）（期中复习讲义）六年级数学上学期新教材人教版五四制

专题03圆柱与圆锥（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆柱的认识 1．能准确识别圆柱，明确其由2个完全相同的圆形底面和1个曲面侧面组成，掌握“圆柱两个底面之间的距离为高（有无数条）”这一特征。 2．理解圆柱的形成：能描述“长方形以一边为轴旋转一周”或“圆面沿垂直方向平移”可形成圆柱。 1．常以选择题、填空题形式考查，如“判断给定图形是否为圆柱” “标注圆柱的底面、侧面和高”。 2．会结合图形考查圆柱的形成，例如“给定长方形旋转后形成圆柱，求底面半径和高”，需结合旋转轴分析边长与底面半径、高的对应关系。 圆柱的表面积 1．掌握圆柱表面积公式推导：明确圆柱表面积=侧面积+2个底面积，其中侧面积=底面周长×高（侧），底面积=，最终熟记公式表。 2．能解决实际问题，如计算无盖圆柱（水桶、笔筒）、无底圆柱（烟囱）的表面积，需根据实际情况取舍底面数量。 1．计算题为主，分两类：一是直接给出底面半径（或直径、周长）和高，求侧面积或表面积；二是结合生活场景的实际应用，如“制作厨师帽所需面料” “给圆柱物体贴彩纸的面积”。 2．易错点为忽略实际场景中底面的取舍，计算时需先明确“求几个面的面积和”。 圆柱的体积 1．理解体积推导逻辑：通过“圆柱切拼近似长方体”，掌握“圆柱体积=底面积×高”，熟记公式（已知半径和高）或（已知底面积和高）。 2．能灵活运用公式解决问题，包括求圆柱体积、容积（与体积计算方法相同，需结合内部测量数据），以及逆向计算（已知体积和底面积求高，或已知体积和高求底面积）。 1．必考计算题，常结合生活场景，如“求圆柱形钢材体积” “判断圆柱形杯子能否装下一定体积的液体” “计算圆柱形水池蓄水量”。 2．涉及“不规则圆柱体积”，如钢管（空心圆柱），需用“外圆柱体积-内圆柱体积”计算，核心仍围绕圆柱体积公式。 圆锥的认识 1．能准确识别圆锥，明确其由1个圆形底面和1个曲面侧面组成，掌握“从顶点到底面圆心的距离为高，且高只有1条”的特征。 2．理解圆锥的形成：知道“直角三角形以一条直角边为轴旋转一周”可形成圆锥。 1．多以选择题、填空题考查，如“判断图形是否为圆锥” “标注圆锥的底面、侧面和高”。 2．可能结合旋转问题考查，如“给定直角三角形旋转形成圆锥，分析底面半径和高与三角形直角边的关系”。 圆锥的表面积 1．掌握圆锥侧面积公式：明确侧面展开图为扇形，扇形弧长=底面圆周长，熟记侧面积公式侧（为母线长），表面积公式。 2．能解决简单实际问题，如计算圆锥形烟囱帽、帐篷顶部的用料面积。 1．考查频率低于圆柱表面积，以计算题为主，常给出底面半径（或直径）和母线长，求侧面积。 2．可能结合组合图形（如蒙古包：圆柱+圆锥）考查，需分别计算圆柱侧面积和圆锥侧面积，再求和。 圆锥的体积 1．牢记体积公式：明确“等底等高的圆锥体积是圆柱体积的”，熟记公式或。 2．能解决实际问题，包括求圆锥体积（如沙堆、铅锤体积），以及结合“等底等高”关系的体积换算。 1．计算题核心考点，常结合生活场景，如“求圆锥形纸杯的容积” “计算圆锥形煤堆的质量”。 2．易考“等底等高的圆柱与圆锥体积关系”，如“已知圆柱体积求圆锥体积” “已知圆锥体积求等底等高圆柱体积”，需特别注意“等底等高”这一前提条件。 圆柱与圆锥的综合应用 1．能解决组合图形问题：如由圆柱和圆锥组成的立体图形（蒙古包、粮仓），分别计算各部分的表面积（或侧面积）、体积，再求和。 2．掌握体积相关的逆向计算和实际应用，如“已知圆柱侧面积和底面半径求高” “已知圆锥体积和底面积求高” “根据物体浸没问题求不规则物体体积”。 1．以解答题为主，分值较高，常结合多个考点，如“先求圆柱体积，再判断能否容纳某物体” “计算组合图形的用料面积和体积”。 2．浸没问题是难点，需理解“不规则物体体积=容器底面积×水面变化高度”，核心是利用圆柱体积公式间接求解。 知识点01 圆柱的概念与特征 圆柱是由2个完全相同的圆形底面和1个曲面侧面围成的立体图形，两个底面之间的距离叫作高，圆柱有无数条高。从形成角度看，圆柱可由一个长方形以它的一边为轴旋转一周形成，也可由一个圆面沿与它垂直的方向平移形成。 示例：生活中的彩色铅笔盒、储罐、柱子等都是圆柱的实例；将一个长为5cm、宽为3cm的长方形以宽为轴旋转一周，形成的圆柱底面半径为5cm，高为3cm。 易错点：易误将圆柱侧面上任意两点的距离当作高，需注意高必须是两个底面之间的垂直距离；判断圆柱时，易忽略“两个底面完全相同且平行”这一条件，如上下底面大小不同的图形不是圆柱。 知识点02 圆柱的表面积公式及应用 圆柱的表面积是其展开图各部分面积的和，等于侧面积与两个底面面积之和。其中，圆柱侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高，因此侧面积公式为S侧（为底面半径，为高）；底面积为圆的面积，公式为S底，综上圆柱表面积公式为S表。 示例：一顶近似圆柱形的厨师帽，高30cm，帽顶直径20cm（半径10cm），因帽子无下底面，所需面料面积为侧面积加一个底面积，即S=23.14×10×30+3.14×102=1884+314=2198(cm2)。 易错点：解决实际问题时，易忽略“是否需要计算所有底面”，如烟囱、通风管等无底或无盖的圆柱，计算表面积时只需算侧面积；计算侧面积时，易混淆底面直径和半径，需注意公式中用的是半径，若已知直径，需先换算为。 知识点03 圆柱的体积公式及推导 圆柱的体积可通过转化思想推导，将圆柱的底面分成许多相等的扇形，沿扇形切开后拼成一个近似的长方体，分成的扇形越多，拼成的立体图形越接近长方体。近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高，因长方体体积V=底面积×高，故圆柱体积公式为（为底面积，为底面半径，为高）。 示例：一个圆柱形水杯，从里面量底面直径8cm（半径4cm），高10cm，其容积（与体积计算方法相同，忽略厚度）为V=3.14×42×10=502.4（cm3）=502.4（mL），可判断能否装下两袋240mL的牛奶（两袋共480mL，502.4mL>480mL，能装下）。 易错点：计算体积时，易将底面积算成底面周长，需牢记底面积是圆的面积（），而非底面周长（）；已知圆柱侧面积和底面半径求高时，需先通过侧面积公式推导，不可直接用体积公式逆推。 知识点04 圆锥的概念与特征 圆锥是由1个圆形底面和1个曲面侧面围成的立体图形，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作高，圆锥只有1条高。从形成角度看，圆锥可由一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周形成。 示例：生活中的斗笠、漏斗、圆锥形纸杯等都是圆锥的实例；将一个两条直角边分别为4cm和6cm的直角三角形，以4cm的直角边为轴旋转一周，形成的圆锥底面半径为6cm，高为4cm。 易错点：测量圆锥高时，易忽略“底面需放水平，测量工具需垂直于底面”，导致测量结果不准确；易误将圆锥侧面上顶点到底面圆周上任意一点的线段当作高，需注意高是顶点到底面圆心的垂直距离，而非到圆周的距离。 知识点05 圆锥的表面积公式 圆锥的表面积等于侧面积与底面积之和，其中圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长（连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段，用表示），扇形的弧长等于圆锥底面的周长（，为底面半径）。因此，圆锥侧面积公式为S侧=×弧长×母线长=，底面积公式为S底= ，表面积公式为S表。 示例：一个圆锥形烟囱帽，底面直径80cm（半径40cm），母线长50cm，因烟囱帽无底面，所需铁皮面积为侧面积，即S=3.14×40×50=6280（cm2），制作100个需6280×100=628000（cm2）=62.8（cm2）。 易错点：易混淆圆锥的高和母线长，公式中侧面积用的是母线长，而非高，需注意两者的区别（母线长是顶点到底面圆周的距离，高是顶点到底面圆心的距离）；计算侧面积时，若已知底面直径，需先换算为半径，再代入公式。 知识点06 圆锥的体积公式及应用 通过实验可知，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，因此圆锥体积公式为（为底面积，为底面半径，为高），且该公式仅适用于“等底等高”的圆柱与圆锥关系。 示例：一顶近似圆锥形的帐篷，底面直径6m（半径3m），高3m，其占地面积为底面积S=3.14×32=28.26（cm2），内部空间（体积）为V=×28.26×3=28.26（m3）。 易错点：易忽略公式中“”，直接用圆柱体积公式计算圆锥体积；使用“圆锥体积是圆柱体积的”这一结论时，易忘记“等底等高”的前提条件，若圆柱与圆锥底面积或高不同，该关系不成立。 知识点07 圆柱与圆锥的综合应用 1．组合图形（如圆柱与圆锥组成的蒙古包、粮仓）：计算表面积时，需分别计算各部分的侧面积（或表面积），再求和（注意重叠部分不重复计算）；计算体积时，分别计算各部分体积，再求和。 2．浸没问题：当物体完全浸没在圆柱形容器的水中时，物体的体积等于容器中水面上升（或下降）部分的体积，即V物体=S容器底×（为水面高度变化量）。 示例1：一个蒙古包由圆柱和圆锥组成，圆柱底面直径4m（半径2m），高1.8m，圆锥母线长2.45m，所需毛毡面积为圆柱侧面积加圆锥侧面积，圆柱侧面积=3.14×4×1.8=22.608（m2），圆锥侧面积=3.14×2×2.45=15.386（m2），20个蒙古包需20×(22.608+15.386)=759.88（m2）。 示例2：一个底面直径10cm（半径5cm）的圆柱形容器，放入铁块后水面升高2cm，铁块体积等于水面升高部分的体积，即V=3.14×52×2=157（cm3）。 易错点：计算组合图形表面积时，易误将圆柱的两个底面都计算在内（如蒙古包的圆柱部分只需算侧面积，与圆锥连接的底面无需计算）；解决浸没问题时，易混淆“水面上升高度”和“容器总高度”，只需关注水面变化的高度差，与容器总高度无关。 题型一 圆柱与圆锥的特征识别及形成问题 解｜题｜技｜巧 1．识别图形：抓住圆柱“2个完全相同的圆形底面+1个曲面侧面，无数条高”、圆锥“1个圆形底面+1个曲面侧面，1条高（顶点到底面圆心）”的核心特征。 2．形成问题：明确圆柱可由“长方形绕一边旋转”或“圆面垂直平移”形成，圆锥由“直角三角形绕一条直角边旋转”形成，关键是确定旋转轴对应的边长（为高），另一条边长（为底面半径）。 【典例1】下列图形中，哪些是圆柱？请简述理由，并指出圆柱的底面、侧面和高。 ①上下底面为大小不同的圆； ②上下底面为大小相同的圆，侧面为曲面； ③底面为圆，侧面为曲面，有一个顶点。 【答案】只有图形②是圆柱。 【解析】根据圆柱特征，需满足“上下底面为完全相同的圆，侧面为曲面”。图形①上下底面大小不同，图形③有顶点（为圆锥特征），均不符合；图形②符合圆柱特征，其上下两个相同的圆为底面，中间的曲面为侧面，两个底面之间的垂直距离为高。 解：图形①：上下底面圆大小不同，不满足“底面完全相同”，排除； 图形②：上下底面为大小相同的圆，侧面为曲面，符合圆柱特征，确定为圆柱； 图形③：有1个顶点，侧面为曲面，底面为圆，符合圆锥特征，排除。 图形②的上下两个圆为底面，中间曲面为侧面，两底面间的垂直距离为高。 【典例2】将一个长8cm、宽5cm的长方形，分别以长和宽为轴旋转一周，形成两个圆柱。分别求出两个圆柱的底面半径和高。 【答案】以长为轴旋转：底面半径5cm，高8cm；以宽为轴旋转：底面半径8cm，高5cm。 【解析】长方形旋转形成圆柱时，“旋转轴对应的边长为圆柱的高，另一条边长为圆柱的底面半径”。以长为轴时，长（8cm）固定为高，宽（5cm）绕轴旋转形成圆，即底面半径；以宽为轴时，宽（5cm）固定为高，长（8cm）绕轴旋转形成底面半径。 解：情况1：以长方形的长（8cm）为旋转轴 旋转轴对应的边长（长8cm）为圆柱的高； 另一条边长（宽5cm）绕轴旋转，形成圆柱的底面半径； 因此，该圆柱底面半径=5cm，高=8cm。 情况2：以长方形的宽（5cm）为旋转轴 旋转轴对应的边长（宽5cm）为圆柱的高； 另一条边长（长8cm）绕轴旋转，形成圆柱的底面半径； 因此，该圆柱底面半径=8cm，高=5cm。 【变式1】下列图形中，哪些是圆锥？请说明理由，并指出圆锥的底面、侧面和高。 ①底面为圆，侧面为平面； ②底面为圆，侧面为曲面，顶点到底面圆周的距离为5cm； ③底面为圆，侧面为曲面，顶点到底面圆心的距离为4cm。 【答案】图形③是圆锥。 【解析】圆锥需满足“1个圆形底面、1个曲面侧面，高为顶点到底面圆心的垂直距离”。图形①侧面为平面，不符合；图形②高的定义错误（应为顶点到底面圆心，非圆周）；图形③符合所有特征，底面为圆，侧面为曲面，顶点到底面圆心的4cm为高。 解：图形①：侧面为平面，不符合“侧面是曲面”，排除； 图形②：顶点到底面圆周的距离不是高，不符合高的定义，排除； 图形③：底面为圆，侧面为曲面，顶点到底面圆心的距离为高（4cm），符合圆锥特征。 图形③中圆形为底面，曲面为侧面，顶点到底面圆心的4cm线段为高。 【变式2】将一个两条直角边分别为6cm和9cm的直角三角形，以较短的直角边为轴旋转一周，形成一个圆锥。求该圆锥的底面半径和高。 【答案】底面半径9cm，高6cm。 【解析】直角三角形旋转形成圆锥时，“旋转轴对应的直角边为圆锥的高，另一条直角边为底面半径”。较短直角边为6cm，作为旋转轴即圆锥的高；较长直角边9cm绕轴旋转形成圆，即底面半径。 解：第一步：确定直角三角形的两条直角边长度：6cm（较短）、9cm（较长）。 第二步：明确旋转轴为较短直角边（6cm），根据圆锥形成规律： 旋转轴对应的直角边（6cm）为圆锥的高； 另一条直角边（9cm）绕轴旋转，形成圆锥的底面半径。 第三步：得出结论：圆锥底面半径=9cm，高=6cm。 题型二 圆柱表面积的计算 解｜题｜技｜巧 1．明确公式：圆柱表面积=侧面积+2个底面积，侧面积=底面周长×高=2πrh，底面积=πr²；若为无盖（如水桶）或无底（如通风管）圆柱，需减去对应底面面积。 2．关键步骤：先确定“是否需要计算所有底面”，再提取已知条件（半径或直径或周长、高），代入公式计算，注意单位统一。 【典例1】一个无盖圆柱形水桶，底面直径是4dm，高是5dm。制作这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？（π取3.14） 【答案】75.36dm² 【解析】无盖水桶需计算“侧面积+1个底面积”。先根据直径求出半径（r=4÷2=2dm），再分别计算侧面积（2πrh）和底面积（πr²），最后求和。 解：r=4÷2=2（dm） 侧面积=2πrh=2×3.14×2×5=62.8（dm²）。 底面积=πr²=3.14×2²=12.56（dm²） 所需铁皮面积=62.8+12.56=75.36（dm²）。 答：制作这个水桶至少需要75.36平方分米的铁皮。 【典例2】一根圆柱形通风管，底面周长是1.884m，高是3m。做10根这样的通风管，至少需要多少平方米的铁皮？（π取3.14） 【答案】56.52m² 【解析】通风管为“无底圆柱”，只需计算侧面积（底面周长×高）。先算1根通风管的侧面积，再乘10得到10根的总面积，无需计算底面积。 解：侧面积=C×h=1.884×3=5.652（m²）。 总面积=5.652×10=56.52（m²）。 答：至少需要56.52平方米的铁皮。 【变式1】一个圆柱形笔筒，底面半径是3cm，高是10cm。给笔筒的外侧面和外底面贴彩纸，至少需要多少平方厘米的彩纸？（π取3.14，结果保留整数） 【答案】217cm² 【解析】笔筒为无盖圆柱，需计算“侧面积+1个底面积”。先根据半径和高算侧面积（2πrh）和底面积（πr²），求和后保留整数。 解：侧面积：2×3.14×3×10=188.4（cm²）。 底面积：3.14×3²=28.26（cm²）。 总面积：188.4+28.26=216.66≈217（cm²）。 答：至少需要217平方厘米的彩纸。 【变式2】一个圆柱形礼盒，底面直径是10cm，高是8cm。给礼盒的侧面贴一圈彩纸，同时给上下底面贴圆形贴纸，求彩纸和贴纸的总面积。（π取3.14） 【答案】408.2cm² 【解析】完整圆柱，表面积=侧面积+2个底面积。先算侧面积（πdh，d为直径），再算2个底面积（2πr²，r=10÷2=5cm），两者之和即为总面积。 解：侧面积：πdh=3.14×10×8=251.2（cm²）。 2个底面积：2×πr²=2×3.14×5²=157（cm²）。 总面积=251.2+157=408.2（cm²）。 答：彩纸和贴纸的总面积为408.2cm²。 题型三 圆柱体积（容积）的计算 解｜题｜技｜巧 1．公式应用：体积V=Sh=πr²h（S为底面积，r为半径，h为高）；容积与体积计算方法相同，需用容器内部测量的数据。 2．关键步骤：若已知直径或周长，先换算为半径（r=d÷2或r=C÷2π），再代入公式计算；涉及“能否装下”问题，需先算容积（单位换算为mL或L），再与待装物体体积比较。 【典例1】一根圆柱形钢材，底面积是25cm²，长是60cm。这根钢材的体积是多少立方厘米？若每立方厘米钢材重7.8g，这根钢材重多少克？ 【答案】体积1500cm³，重量11700g。 【解析】圆柱体积=底面积×高（长即为高），直接用S×h计算体积；再用体积乘单位体积重量得到总重量。 解： 25×60=1500（cm³）。 1500×7.8=11700（g）。 答：这根钢材的体积是1500立方厘米，这根钢材重11700克。 【典例2】一个圆柱形保温杯，从里面量底面半径是4cm，高是18cm。这个保温杯能装多少毫升水？（1cm³=1mL，π取3.14）若每人每天需喝500mL水，这个保温杯的水够1人喝1天吗？ 【答案】能装904.32mL，够1人喝1天。 【解析】容积=πr²h（内部数据），先算容积并换算为mL，再与500mL比较。 解：V=πr²h=3.14×4²×18=3.14×16×18=904.32（cm³）。 904.32cm³=904.32mL。 904.32mL＞500mL，因此够1人喝1天。 答：这个保温杯能装904.32毫升水，够1人喝1天。 【变式1】一个圆柱形粮囤，从里面量底面直径是6m，高是3m。这个粮囤的容积是多少立方米？若每立方米玉米重750kg，粮囤能装多少吨玉米？（π取3.14，1吨=1000kg） 【答案】容积84.78m³，能装63.585吨玉米。 【解析】先由直径求半径（r=6÷2=3m），再用V=πr²h算容积；用容积乘750kg/m³得到总重量，换算为吨。 解： 6÷2=3（m）。 3.14×3²×3=3.14×9×3=84.78（m³）。 84.78×750=63585（kg）。 63585kg=63.585吨。 答：这个粮囤的容积是84.78立方米，粮囤能装63.585吨玉米。 【变式2】一个圆柱形水池，从里面量底面周长是12.56m，深是2m。这个水池能蓄水多少立方米？（π取3.14，1m³水重1吨）水池最多能装多少吨水？ 【答案】蓄水25.12m³，能装25.12吨水。 【解析】先由周长求半径：r=C÷2π=12.56÷(2×3.14)=2m，再算体积（容积）=πr²h；水的重量=容积×1吨/m³。 解：12.56÷(2×3.14)=2（m）。 3.14×2²×2=3.14×4×2=25.12（m³）。 25.12×1=25.12（吨）。 答：这个水池能蓄水25.12立方米，水池最多能装25.12吨水。 题型四 圆锥体积的计算 解｜题｜技｜巧 1．公式应用：圆锥体积V=Sh=πr²h（S为底面积，r为半径，h为高），必须牢记“”和“等底等高”的前提（仅当与圆柱等底等高时，体积才是圆柱的）。 2．关键步骤：若已知直径或周长，先换算为半径，再代入公式；涉及“质量”问题，先算体积，再乘单位体积质量。 【典例1】一堆圆锥形煤堆，底面半径是2m，高是1.5m。这堆煤的体积是多少立方米？（π取3.14）若每立方米煤重1.3吨，这堆煤重多少吨？（结果保留一位小数） 【答案】体积6.28m³，重量8.2吨。 【解析】直接用圆锥体积公式V=πr²h计算体积，再用体积乘1.3吨/m³得到重量，最后保留一位小数。 解：V=×3.14×2²×1.5=×3.14×4×1.5=6.28（m³）。 6.28×1.3≈8.2（吨）。 答：这堆煤的体积是6.28立方米，这堆煤重8.2吨。 【典例2】一个圆锥形铅锤，底面积是15.7cm²，高是9cm。这个铅锤的体积是多少立方厘米？（π取3.14）若每立方厘米铅重11.3g，铅锤重多少克？ 【答案】体积47.1cm³，重量532.23g。 【解析】用V=Sh（S=15.7cm²，h=9cm）计算体积，再乘11.3g/cm³得到重量。 解：×15.7×9=47.1（cm³）。 47.1×11.3=532.23（g）。 答：这个铅锤的体积是47.1立方厘米g，铅锤重532.23克。 【变式1】一个圆锥形帐篷，底面直径是8m，高是3m。帐篷内部的空间有多大？（π取3.14）若要在帐篷内部铺一层防潮垫，防潮垫的面积是多少平方米？ 【答案】内部空间50.24m³，防潮垫面积50.24m²。 【解析】“内部空间”即圆锥体积（V=πr²h，r=8÷2=4m）；“防潮垫面积”即圆锥的底面积（πr²）。 解：8÷2=4（m）。 ×3.14×4²×3=×3.14×16×3=50.24（m³）。 3.14×4²=50.24（m²）。 答：帐篷内部的空间有50.24m³，防潮垫的面积是50.24平方米？ 【变式2】一个圆锥形纸杯，底面周长是18.84cm，高是10cm。这个纸杯最多能装多少毫升水？（1cm³=1mL，π取3.14） 【答案】94.2mL 【解析】先由周长求半径r=18.84÷(2×3.14)=3cm，再用V=πr²h算容积，换算为mL。 解：18.84÷(2×3.14)=3（cm）。 ×3.14×3²×10=×3.14×9×10=94.2（cm³）。 94.2cm³=94.2mL。 答：这个纸杯最多能装94.2毫升的水。 题型五 圆柱与圆锥的综合应用（组合图形） 解｜题｜技｜巧 1．拆分图形：组合图形（如圆柱+圆锥）需拆分为独立的圆柱和圆锥，分别计算各部分的“表面积（或侧面积）”或“体积”。 2．注意重叠：计算表面积时，两部分连接的底面（重叠部分）不重复计算；计算体积时，直接求和即可。 【典例1】一个蒙古包由圆柱形和圆锥形两部分组成，从外面量，圆柱的底面直径是6m，高是2m；圆锥的母线长是4m，底面直径与圆柱相同。搭建这个蒙古包至少需要多少平方米的毛毡？（π取3.14，只算侧面积，忽略底面） 【答案】75.36m² 【解析】毛毡面积=圆柱侧面积+圆锥侧面积。圆柱侧面积=πdh（d=6m，h=2m）；圆锥侧面积=πrl（r=6÷2=3m，l=4m），两者求和。 解：6÷2=3（m） 3.14×6×2=37.68（m²） 3.14×3×4=37.68（m²） 37.68+37.68=75.36（m²） 答：搭建这个蒙古包至少需要75.36平方米的毛毡。 【典例2】一个景观柱由下方的圆柱和上方的圆锥组成，圆柱的底面半径是1m，高是4m；圆锥的底面半径与圆柱相同，高是1.5m。这个景观柱的总体积是多少立方米？（π取3.14） 【答案】14.13m³ 【解析】总体积=圆柱体积+圆锥体积。圆柱体积=πr²h1（h1=4m），圆锥体积=πr²h2（h2=1.5m），代入数据求和。 解：3.14×1²×4=12.56（m³） ×3.14×1²×1.5=1.57（m³） 12.56+1.57=14.13（m³） 答：这个景观柱的总体积是14.13立方米。 【变式1】一个粮仓由圆柱形的粮囤和圆锥形的顶组成，粮囤的底面直径是8m，高是5m；圆锥顶的高是3m，底面直径与粮囤相同。这个粮仓的总容积是多少立方米？（π取3.14） 【答案】301.44m³ 【解析】总容积=圆柱容积+圆锥容积。圆柱容积=πr²h1（r=4m，h1=5m），圆锥容积=πr²h2（h2=2m），求和即可。 解：8÷2=4（m） 3.14×4²×5=3.14×16×5=251.2（m³） ×3.14×4²×3=×3.14×16×3=50.24（m³） 251.2+50.24=301.44（m³） 答：这个粮仓的总容积是301.44立方米。 【变式2】一个玩具模型由一个圆柱和一个圆锥拼接而成，圆柱的底面半径是2cm，高是3cm；圆锥的底面半径是2cm，母线是3cm。给这个模型的表面刷油漆（拼接处不刷），刷油漆的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】69.08cm² 【解析】刷油漆面积=圆柱表面积（侧面积+2个底面积）+圆锥侧面积-2×圆柱底面积（拼接处，即圆锥底面与圆柱顶面重叠，各减1个底面积，共减2个）。简化为“圆柱侧面积+1个圆柱底面积+圆锥侧面积”。圆柱侧面积=2πrh（h=3cm），圆柱底面积=πr²，圆锥侧面积=πrl（l为母线长，由r=2cm，l=3cm）。 解：2×3.14×2×3=37.68（cm²） 3.14×2²=12.56（cm²） 3.14×2×3=18.84（cm²） 37.68+12.56+18.84=69.08（cm²） 答：刷油漆的面积是69.08平方厘米。 题型六 体积相关的逆向计算 解｜题｜技｜巧 1．公式逆推：根据圆柱或圆锥体积公式，已知体积和其中一个量（底面积或高或半径），求另一个量。如圆柱：h=V÷S=V÷(πr²)；圆锥：h=3V÷S=3V÷(πr²)，S=3V÷h。 2．关键步骤：明确已知量和未知量，代入公式时注意“圆锥需乘3”，单位统一。 【典例1】一个圆柱的侧面积是150.72dm²，底面半径是4dm。这个圆柱的高是多少分米？（π取3.14） 【答案】6dm 【解析】圆柱侧面积=2πrh，逆推求高h=侧面积÷(2πr)，代入数据计算。 解：150.72÷(2×3.14×4)=150.72÷25.12=6（dm）。 答：这个圆柱的高是6分米。 【典例2】一个圆锥的体积是62.8cm³，底面半径是2cm。这个圆锥的高是多少厘米？（π取3.14） 【答案】15cm 【解析】圆锥体积=πr²h，逆推求高h=3V÷(πr²)，代入数据计算，注意“乘3”。 解：3×62.8÷(3.14×2²)=188.4÷(3.14×4)=188.4÷12.56=15（cm） 答：这个圆锥的高是15厘米。 【变式1】一个圆柱的体积是502.4m³，高是10m。这个圆柱的底面积是多少平方米？若底面是圆形，底面半径是多少米？（π取3.14） 【答案】底面积50.24m²，半径4m。 【解析】圆柱体积V=Sh，变形为S=V÷h；再由S=πr²变形为r2=S÷π，代入数据计算即可得出答案。 解：502.4÷10=50.24（m²） r2=50.24÷3.14=16 r=4（m） 答：这个圆柱的底面积是50.24平方米，底面半径是4米。 【变式2】一个圆锥的体积是84.78dm³，高是9dm。这个圆锥的底面积是多少平方分米？若底面是圆形，底面直径是多少分米？（π取3.14） 【答案】底面积28.26dm²，直径6dm。 【解析】由圆锥体积V=Sh可得S=3V÷h；再由S=πr²得r2=S÷π可求出r，直径d=2r，代入数据计算。 3×84.78÷9=254.34÷9=28.26（dm²） r2=28.26÷3.149（dm） r=3（dm） 3 答：这个圆锥的底面积是28.26平方分米，底面直径是6分米。 题型七 浸没问题 解｜题｜技｜巧 1．核心原理：当不规则物体完全浸没在圆柱形容器的水中时，“物体体积=容器中水面上升（或下降）部分的圆柱体积”，即V物=S容×Δh（S容为容器底面积，Δh为水面高度变化量）。 2．关键步骤：先算容器底面积，再乘水面上升或下降的高度，得到物体体积。 【典例1】一个底面直径是10cm的圆柱形容器中装有水，将一个铁块完全浸没在水中后，水面上升了2cm。这个铁块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】157cm³ 【解析】铁块体积=水面上升部分的圆柱体积，先算容器底面积（S=πr²，r=10÷2=5cm），再乘上升高度（2cm）。 解：10÷2=5（cm） 3.14×5²=78.5（cm²） 78.5×2=157（cm²） 答：这个铁块的体积是157立方厘米。 【典例2】一个底面周长是18.84cm的圆柱形容器中装有水，水中浸没一个塑料块，将塑料块取出后，水面下降了3cm。这个塑料块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】84.78cm³ 【解析】塑料块体积=水面下降部分的圆柱体积，先由周长求半径，再算底面积，乘下降高度。 解：18.84÷(2×3.14)=3（cm） 3.14×3²=28.26（cm²） 28.26×3=84.78（cm³） 答：这个塑料块的体积是84.78立方厘米。 【变式1】一个底面半径是6cm的圆柱形容器中装有水，水深10cm。将一个小石块完全浸没后，水深变为12cm。这个小石块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】226.08cm³ 【解析】水面上升高度Δh=12-10=2cm，石块体积=S容×Δh，代入数据计算即可。 解： 12-10=2（cm） 3.14×6²=113.04（cm²） 113.04×2=226.08（cm³） 答：这个小石块的体积是226.08立方厘米。 【变式2】一个底面直径是8cm的圆柱形容器中装有水，将一个圆锥形零件完全浸没后，水面上升了4cm。这个圆锥形零件的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】200.96cm³ 【解析】圆锥形零件体积=水面上升部分的圆柱体积，先算容器底面积（r=4cm，S=πr²），再乘上升高度（4cm）。 解：8÷2=4（cm） S=3.14×4²=50.24（cm²） 50.24×4=200.96（cm³） 答：这个圆锥形零件的体积是200.96立方厘米。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下图圆柱沿虚线剪开的侧面展开图是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，根据圆柱的侧面展开图的特征即可得到结果． 【详解】解：由题意得圆柱的侧面展开图是一个长方形，且长方形的长比宽大很多，即展开图为 ， 故选：B． 2．圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积（      ） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的27倍 D．体积不变 【答案】A 【分析】本题考查学生对圆柱体积公式的灵活运用． 根据圆柱的体积公式，以及因数与积的变化规律，圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，底面积就扩大到原来的倍，高不变，体积就扩大到原来的倍．据此解答． 【详解】解： 所以圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积扩大到原来的9倍． 故选：A． 3．(24-25六上·黑龙江省大庆市·期中)把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段，表面积增加了（     ）平方厘米． A．240 B．80 C．120 D．160 【答案】B 【分析】把圆柱形木料平行于底面截成3段会增加4个底面，由此即可得． 【详解】解：因为把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段会增加4个底面， 所以表面积增加了（平方厘米）， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆柱的表面积，熟练掌握把圆柱形木料平行于底面截成3段会增加4个底面是解题关键． 二、填空题 4．一个底面直径是40厘米的圆柱形玻璃杯装有一些水，一个底面直径是20厘米，高为15厘米的圆锥形铅锥完全没入水中，当取出铅锥后，水面下降了 厘米． 【答案】5 【分析】此题考查了圆柱的体积和圆锥的体积，解答此题的关键是理解铅锤的体积等于下降部分水的体积． 先利用圆锥的体积公式求出圆锥形铅锥的体积，下降部分水的体积等于此铅锤的体积，再利用此体积除以圆柱形玻璃杯的底面积即可． 【详解】解：（厘米） （厘米） 答：水面下降了5厘米． 故答案为：5． 5．(24-25六上·黑龙江大庆·期中)将一张长5厘米，宽2厘米的长方形纸，以一条边为轴旋转一周得到圆柱，则该圆柱的体积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查关于圆柱体积计算的题目，关键是判断出以不同的直角边为轴旋转所成的圆柱的高与底面半径．以5厘米的边为轴旋转时，它的底面半径是2厘米，高是5厘米，再根据圆柱的体积公式可求出它的体积；或以2厘米的边为轴旋转时，它的底面半径是5厘米，高是2厘米，再根据圆柱的体积公式可求出它的体积． 【详解】解：以5厘米为轴旋转，得到的是底面半径为2厘米，高为5厘米的圆柱． （立方厘米）； 以2厘米为轴旋转，得到的是底面半径为5厘米，高为2厘米的圆柱． （立方厘米）． 故答案为：或 三、解答题 6．一个圆锥形沙堆，底面周长是25.12米，高是3米． (1)如果每立方米沙子重1.5吨，这堆沙子重多少吨？ (2)用这堆沙子在10米宽的公路上均匀铺2厘米，能铺多少米？ 【答案】(1)42.39 (2)141.3 【分析】（1）先求得底面半径，再根据圆锥体积公式计算体积，进一步计算重量； （2）等积变形，圆锥体积等于铺设形成的长方体的体积，求得长度； 【详解】（1）解：底面半径为：（米）， 沙堆体积（立方米） 重（吨）． （2）解：（米） 【点睛】本题考查圆锥体积计算，长方体体积计算；掌握圆锥、长方体的体积公式是解题的关键． 7．六年二班学生在课上做沉浮实验，将一个长10厘米、横截面直径16毫米圆柱形积木放进水箱中正好一半露出水面． (1)这个积木的体积是多少立方厘米？ (2)积木露出水面部分的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查圆柱的体积及表面积的计算，理解题意是解题关键． （1）先确定截面的半径，然后求体积即可； （2）根据表面积的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：半径：（厘米）     体积：（立方厘米）； （2） （平方厘米）． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．(24-25六下·上海市第四中学·期中)如图，将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了截一个几何体，圆柱的计算和几何体的表面积，掌握几何体的特点是关键．根据表面积增加了两个边长为和h的长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加． 故选：B． 2．下图圆锥形玻璃容器内装满了水，将这些水倒入（     ）圆柱形玻璃容器中正好倒满． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是圆柱、圆锥体积公式，熟记圆柱、圆锥的体积公式是解答关键． 根据圆锥体积=×底面积×高、圆柱体积=底面积×高，然后代入数值计算判断即可． 【详解】解：（立方厘米）； A.（立方厘米），与圆锥体积不相等，不符合题意； B. （立方厘米），与圆锥体积相等，符合题意； C. （立方厘米），与圆锥体积不相等，不符合题意； D. （立方厘米），与圆锥体积不相等，不符合题意． 故选：B． 3．一个圆柱体和一个圆锥体，底面直径之比是，他们的体积之比是，圆柱和圆锥高之比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积公式，根据题意结合圆柱和圆锥的体积公式即可得到，再求出即可． 【详解】解：圆柱体和圆锥体的底面直径之比是， 它们的底面半径之比也是， 它们的体积之比是， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 4．(24-25七下·黑龙江大庆庆新中学·期中)如图所示，正方体的体积是120立方厘米，把它削成一个最大的圆柱．圆柱体积是 立方厘米． 【答案】94.2 【分析】本题主要考查了圆柱的体积计算，正确理解题意得到圆柱体的高与正方体的高相同，圆柱体的底面圆直径与正方体的棱长相同时，圆柱最大是解题的关键．设正方体的边长为厘米，要想削成一个最大的圆柱体，则圆柱体的高与正方体的高相同，圆柱体的底面圆直径与正方体的棱长相同，由此列式求解即可． 【详解】解：设正方体的边长为厘米， ∵正方体的体积是120立方厘米， ∴， ∴圆柱的体积为：（立方厘米）， 故答案为：94.2． 5．(24-25六下·黑龙江哈尔滨第十七中学·期中)如图所示，将等腰三角形沿着对折，使点与点重合，把对折后得到的直角三角形，以它的一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到一个立体图形，则这个立体图形的体积是 立方厘米.（结果保留） 【答案】或 【分析】本题考查了圆锥的计算以及点、线、面、体等知识点，解答本题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．根据旋转后得到的圆锥的高是，底面半径是或圆锥的高是，底面半径是．据此解答． 【详解】解：，，， ， ①旋转后得到的圆锥的高是，底面半径是， 圆锥的体积为， ②旋转后得到的圆锥的高，底面半径是， 圆锥的体积为， 答：这个立体图形的体积是立方厘米或立方厘米． 故答案为：或． 三、解答题 6．(2024·湖北省襄阳市·开学考)一个底面半径为，高为的圆柱形水桶装满水，另一个圆锥形空水桶的上口周长是，现在把圆柱形水桶里的水倒进圆锥形水桶里，当圆锥形水桶装满时，圆柱形水桶里还剩下高的水，求圆锥形水桶的高．（结果保留一位小数） 【答案】 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积，根据题意先求出圆锥形水桶的容积，再求出圆锥形水桶的底面积，进而根据圆锥的体积公式解答即可，掌握圆柱和圆锥的体积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥形水桶的容积为：， 圆锥形水桶的底面积为：， 圆锥形水桶的高为：， 答：圆锥形水桶的高为． 7．在学习了圆柱与圆锥的体积之后，王华做了一个圆柱形容器和一些圆锥形容器，并进行了下面两个实验．（单位：厘米） (1)实验一：王华在圆柱形容器里装了一些水（如下图），再将这些水倒入下面一个圆锥形的容器中，倒入____圆锥形容器中能恰好倒满． (2)实验二：王华按照下面步骤测量了一个土豆的体积．根据下面测量结果，这个土豆的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)丙 (2)这个土豆的体积是立方厘米 【分析】本题考查了等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系以及圆柱体积公式的灵活运用； （1）因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆柱与圆锥体积相等，底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答． （2）根据上面的测量结果，水下降的体积就是这个土豆的体积，根据圆柱的体积公式解答即可． 【详解】（1）解：， 答：倒入丙圆锥形容器中能恰好倒满； （2）解： （立方厘米） 答：这个土豆的体积是立方厘米． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03圆柱与圆锥（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆柱的认识 1．能准确识别圆柱，明确其由2个完全相同的圆形底面和1个曲面侧面组成，掌握“圆柱两个底面之间的距离为高（有无数条）”这一特征。 2．理解圆柱的形成：能描述“长方形以一边为轴旋转一周”或“圆面沿垂直方向平移”可形成圆柱。 1．常以选择题、填空题形式考查，如“判断给定图形是否为圆柱” “标注圆柱的底面、侧面和高”。 2．会结合图形考查圆柱的形成，例如“给定长方形旋转后形成圆柱，求底面半径和高”，需结合旋转轴分析边长与底面半径、高的对应关系。 圆柱的表面积 1．掌握圆柱表面积公式推导：明确圆柱表面积=侧面积+2个底面积，其中侧面积=底面周长×高（侧），底面积=，最终熟记公式表。 2．能解决实际问题，如计算无盖圆柱（水桶、笔筒）、无底圆柱（烟囱）的表面积，需根据实际情况取舍底面数量。 1．计算题为主，分两类：一是直接给出底面半径（或直径、周长）和高，求侧面积或表面积；二是结合生活场景的实际应用，如“制作厨师帽所需面料” “给圆柱物体贴彩纸的面积”。 2．易错点为忽略实际场景中底面的取舍，计算时需先明确“求几个面的面积和”。 圆柱的体积 1．理解体积推导逻辑：通过“圆柱切拼近似长方体”，掌握“圆柱体积=底面积×高”，熟记公式（已知半径和高）或（已知底面积和高）。 2．能灵活运用公式解决问题，包括求圆柱体积、容积（与体积计算方法相同，需结合内部测量数据），以及逆向计算（已知体积和底面积求高，或已知体积和高求底面积）。 1．必考计算题，常结合生活场景，如“求圆柱形钢材体积” “判断圆柱形杯子能否装下一定体积的液体” “计算圆柱形水池蓄水量”。 2．涉及“不规则圆柱体积”，如钢管（空心圆柱），需用“外圆柱体积-内圆柱体积”计算，核心仍围绕圆柱体积公式。 圆锥的认识 1．能准确识别圆锥，明确其由1个圆形底面和1个曲面侧面组成，掌握“从顶点到底面圆心的距离为高，且高只有1条”的特征。 2．理解圆锥的形成：知道“直角三角形以一条直角边为轴旋转一周”可形成圆锥。 1．多以选择题、填空题考查，如“判断图形是否为圆锥” “标注圆锥的底面、侧面和高”。 2．可能结合旋转问题考查，如“给定直角三角形旋转形成圆锥，分析底面半径和高与三角形直角边的关系”。 圆锥的表面积 1．掌握圆锥侧面积公式：明确侧面展开图为扇形，扇形弧长=底面圆周长，熟记侧面积公式侧（为母线长），表面积公式。 2．能解决简单实际问题，如计算圆锥形烟囱帽、帐篷顶部的用料面积。 1．考查频率低于圆柱表面积，以计算题为主，常给出底面半径（或直径）和母线长，求侧面积。 2．可能结合组合图形（如蒙古包：圆柱+圆锥）考查，需分别计算圆柱侧面积和圆锥侧面积，再求和。 圆锥的体积 1．牢记体积公式：明确“等底等高的圆锥体积是圆柱体积的”，熟记公式或。 2．能解决实际问题，包括求圆锥体积（如沙堆、铅锤体积），以及结合“等底等高”关系的体积换算。 1．计算题核心考点，常结合生活场景，如“求圆锥形纸杯的容积” “计算圆锥形煤堆的质量”。 2．易考“等底等高的圆柱与圆锥体积关系”，如“已知圆柱体积求圆锥体积” “已知圆锥体积求等底等高圆柱体积”，需特别注意“等底等高”这一前提条件。 圆柱与圆锥的综合应用 1．能解决组合图形问题：如由圆柱和圆锥组成的立体图形（蒙古包、粮仓），分别计算各部分的表面积（或侧面积）、体积，再求和。 2．掌握体积相关的逆向计算和实际应用，如“已知圆柱侧面积和底面半径求高” “已知圆锥体积和底面积求高” “根据物体浸没问题求不规则物体体积”。 1．以解答题为主，分值较高，常结合多个考点，如“先求圆柱体积，再判断能否容纳某物体” “计算组合图形的用料面积和体积”。 2．浸没问题是难点，需理解“不规则物体体积=容器底面积×水面变化高度”，核心是利用圆柱体积公式间接求解。 知识点01 圆柱的概念与特征 圆柱是由2个完全相同的圆形底面和1个曲面侧面围成的立体图形，两个底面之间的距离叫作高，圆柱有无数条高。从形成角度看，圆柱可由一个长方形以它的一边为轴旋转一周形成，也可由一个圆面沿与它垂直的方向平移形成。 示例：生活中的彩色铅笔盒、储罐、柱子等都是圆柱的实例；将一个长为5cm、宽为3cm的长方形以宽为轴旋转一周，形成的圆柱底面半径为5cm，高为3cm。 易错点：易误将圆柱侧面上任意两点的距离当作高，需注意高必须是两个底面之间的垂直距离；判断圆柱时，易忽略“两个底面完全相同且平行”这一条件，如上下底面大小不同的图形不是圆柱。 知识点02 圆柱的表面积公式及应用 圆柱的表面积是其展开图各部分面积的和，等于侧面积与两个底面面积之和。其中，圆柱侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高，因此侧面积公式为S侧（为底面半径，为高）；底面积为圆的面积，公式为S底，综上圆柱表面积公式为S表。 示例：一顶近似圆柱形的厨师帽，高30cm，帽顶直径20cm（半径10cm），因帽子无下底面，所需面料面积为侧面积加一个底面积，即S=23.14×10×30+3.14×102=1884+314=2198(cm2)。 易错点：解决实际问题时，易忽略“是否需要计算所有底面”，如烟囱、通风管等无底或无盖的圆柱，计算表面积时只需算侧面积；计算侧面积时，易混淆底面直径和半径，需注意公式中用的是半径，若已知直径，需先换算为。 知识点03 圆柱的体积公式及推导 圆柱的体积可通过转化思想推导，将圆柱的底面分成许多相等的扇形，沿扇形切开后拼成一个近似的长方体，分成的扇形越多，拼成的立体图形越接近长方体。近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高，因长方体体积V=底面积×高，故圆柱体积公式为（为底面积，为底面半径，为高）。 示例：一个圆柱形水杯，从里面量底面直径8cm（半径4cm），高10cm，其容积（与体积计算方法相同，忽略厚度）为V=3.14×42×10=502.4（cm3）=502.4（mL），可判断能否装下两袋240mL的牛奶（两袋共480mL，502.4mL>480mL，能装下）。 易错点：计算体积时，易将底面积算成底面周长，需牢记底面积是圆的面积（），而非底面周长（）；已知圆柱侧面积和底面半径求高时，需先通过侧面积公式推导，不可直接用体积公式逆推。 知识点04 圆锥的概念与特征 圆锥是由1个圆形底面和1个曲面侧面围成的立体图形，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作高，圆锥只有1条高。从形成角度看，圆锥可由一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周形成。 示例：生活中的斗笠、漏斗、圆锥形纸杯等都是圆锥的实例；将一个两条直角边分别为4cm和6cm的直角三角形，以4cm的直角边为轴旋转一周，形成的圆锥底面半径为6cm，高为4cm。 易错点：测量圆锥高时，易忽略“底面需放水平，测量工具需垂直于底面”，导致测量结果不准确；易误将圆锥侧面上顶点到底面圆周上任意一点的线段当作高，需注意高是顶点到底面圆心的垂直距离，而非到圆周的距离。 知识点05 圆锥的表面积公式 圆锥的表面积等于侧面积与底面积之和，其中圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长（连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段，用表示），扇形的弧长等于圆锥底面的周长（，为底面半径）。因此，圆锥侧面积公式为S侧=×弧长×母线长=，底面积公式为S底= ，表面积公式为S表。 示例：一个圆锥形烟囱帽，底面直径80cm（半径40cm），母线长50cm，因烟囱帽无底面，所需铁皮面积为侧面积，即S=3.14×40×50=6280（cm2），制作100个需6280×100=628000（cm2）=62.8（cm2）。 易错点：易混淆圆锥的高和母线长，公式中侧面积用的是母线长，而非高，需注意两者的区别（母线长是顶点到底面圆周的距离，高是顶点到底面圆心的距离）；计算侧面积时，若已知底面直径，需先换算为半径，再代入公式。 知识点06 圆锥的体积公式及应用 通过实验可知，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，因此圆锥体积公式为（为底面积，为底面半径，为高），且该公式仅适用于“等底等高”的圆柱与圆锥关系。 示例：一顶近似圆锥形的帐篷，底面直径6m（半径3m），高3m，其占地面积为底面积S=3.14×32=28.26（cm2），内部空间（体积）为V=×28.26×3=28.26（m3）。 易错点：易忽略公式中“”，直接用圆柱体积公式计算圆锥体积；使用“圆锥体积是圆柱体积的”这一结论时，易忘记“等底等高”的前提条件，若圆柱与圆锥底面积或高不同，该关系不成立。 知识点07 圆柱与圆锥的综合应用 1．组合图形（如圆柱与圆锥组成的蒙古包、粮仓）：计算表面积时，需分别计算各部分的侧面积（或表面积），再求和（注意重叠部分不重复计算）；计算体积时，分别计算各部分体积，再求和。 2．浸没问题：当物体完全浸没在圆柱形容器的水中时，物体的体积等于容器中水面上升（或下降）部分的体积，即V物体=S容器底×（为水面高度变化量）。 示例1：一个蒙古包由圆柱和圆锥组成，圆柱底面直径4m（半径2m），高1.8m，圆锥母线长2.45m，所需毛毡面积为圆柱侧面积加圆锥侧面积，圆柱侧面积=3.14×4×1.8=22.608（m2），圆锥侧面积=3.14×2×2.45=15.386（m2），20个蒙古包需20×(22.608+15.386)=759.88（m2）。 示例2：一个底面直径10cm（半径5cm）的圆柱形容器，放入铁块后水面升高2cm，铁块体积等于水面升高部分的体积，即V=3.14×52×2=157（cm3）。 易错点：计算组合图形表面积时，易误将圆柱的两个底面都计算在内（如蒙古包的圆柱部分只需算侧面积，与圆锥连接的底面无需计算）；解决浸没问题时，易混淆“水面上升高度”和“容器总高度”，只需关注水面变化的高度差，与容器总高度无关。 题型一 圆柱与圆锥的特征识别及形成问题 解｜题｜技｜巧 1．识别图形：抓住圆柱“2个完全相同的圆形底面+1个曲面侧面，无数条高”、圆锥“1个圆形底面+1个曲面侧面，1条高（顶点到底面圆心）”的核心特征。 2．形成问题：明确圆柱可由“长方形绕一边旋转”或“圆面垂直平移”形成，圆锥由“直角三角形绕一条直角边旋转”形成，关键是确定旋转轴对应的边长（为高），另一条边长（为底面半径）。 【典例1】下列图形中，哪些是圆柱？请简述理由，并指出圆柱的底面、侧面和高。 ①上下底面为大小不同的圆； ②上下底面为大小相同的圆，侧面为曲面； ③底面为圆，侧面为曲面，有一个顶点。 【典例2】将一个长8cm、宽5cm的长方形，分别以长和宽为轴旋转一周，形成两个圆柱。分别求出两个圆柱的底面半径和高。 【变式1】下列图形中，哪些是圆锥？请说明理由，并指出圆锥的底面、侧面和高。 ①底面为圆，侧面为平面； ②底面为圆，侧面为曲面，顶点到底面圆周的距离为5cm； ③底面为圆，侧面为曲面，顶点到底面圆心的距离为4cm。 【变式2】将一个两条直角边分别为6cm和9cm的直角三角形，以较短的直角边为轴旋转一周，形成一个圆锥。求该圆锥的底面半径和高。 题型二 圆柱表面积的计算 解｜题｜技｜巧 1．明确公式：圆柱表面积=侧面积+2个底面积，侧面积=底面周长×高=2πrh，底面积=πr²；若为无盖（如水桶）或无底（如通风管）圆柱，需减去对应底面面积。 2．关键步骤：先确定“是否需要计算所有底面”，再提取已知条件（半径或直径或周长、高），代入公式计算，注意单位统一。 【典例1】一个无盖圆柱形水桶，底面直径是4dm，高是5dm。制作这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？（π取3.14） 【典例2】一根圆柱形通风管，底面周长是1.884m，高是3m。做10根这样的通风管，至少需要多少平方米的铁皮？（π取3.14） 【变式1】一个圆柱形笔筒，底面半径是3cm，高是10cm。给笔筒的外侧面和外底面贴彩纸，至少需要多少平方厘米的彩纸？（π取3.14，结果保留整数） 【变式2】一个圆柱形礼盒，底面直径是10cm，高是8cm。给礼盒的侧面贴一圈彩纸，同时给上下底面贴圆形贴纸，求彩纸和贴纸的总面积。（π取3.14） 题型三 圆柱体积（容积）的计算 解｜题｜技｜巧 1．公式应用：体积V=Sh=πr²h（S为底面积，r为半径，h为高）；容积与体积计算方法相同，需用容器内部测量的数据。 2．关键步骤：若已知直径或周长，先换算为半径（r=d÷2或r=C÷2π），再代入公式计算；涉及“能否装下”问题，需先算容积（单位换算为mL或L），再与待装物体体积比较。 【典例1】一根圆柱形钢材，底面积是25cm²，长是60cm。这根钢材的体积是多少立方厘米？若每立方厘米钢材重7.8g，这根钢材重多少克？ 【典例2】一个圆柱形保温杯，从里面量底面半径是4cm，高是18cm。这个保温杯能装多少毫升水？（1cm³=1mL，π取3.14）若每人每天需喝500mL水，这个保温杯的水够1人喝1天吗？ 【变式1】一个圆柱形粮囤，从里面量底面直径是6m，高是3m。这个粮囤的容积是多少立方米？若每立方米玉米重750kg，粮囤能装多少吨玉米？（π取3.14，1吨=1000kg） 【变式2】一个圆柱形水池，从里面量底面周长是12.56m，深是2m。这个水池能蓄水多少立方米？（π取3.14，1m³水重1吨）水池最多能装多少吨水？ 题型四 圆锥体积的计算 解｜题｜技｜巧 1．公式应用：圆锥体积V=Sh=πr²h（S为底面积，r为半径，h为高），必须牢记“”和“等底等高”的前提（仅当与圆柱等底等高时，体积才是圆柱的）。 2．关键步骤：若已知直径或周长，先换算为半径，再代入公式；涉及“质量”问题，先算体积，再乘单位体积质量。 【典例1】一堆圆锥形煤堆，底面半径是2m，高是1.5m。这堆煤的体积是多少立方米？（π取3.14）若每立方米煤重1.3吨，这堆煤重多少吨？（结果保留一位小数） 【典例2】一个圆锥形铅锤，底面积是15.7cm²，高是9cm。这个铅锤的体积是多少立方厘米？（π取3.14）若每立方厘米铅重11.3g，铅锤重多少克？ 【变式1】一个圆锥形帐篷，底面直径是8m，高是3m。帐篷内部的空间有多大？（π取3.14）若要在帐篷内部铺一层防潮垫，防潮垫的面积是多少平方米？ 【变式2】一个圆锥形纸杯，底面周长是18.84cm，高是10cm。这个纸杯最多能装多少毫升水？（1cm³=1mL，π取3.14） 题型五 圆柱与圆锥的综合应用（组合图形） 解｜题｜技｜巧 1．拆分图形：组合图形（如圆柱+圆锥）需拆分为独立的圆柱和圆锥，分别计算各部分的“表面积（或侧面积）”或“体积”。 2．注意重叠：计算表面积时，两部分连接的底面（重叠部分）不重复计算；计算体积时，直接求和即可。 【典例1】一个蒙古包由圆柱形和圆锥形两部分组成，从外面量，圆柱的底面直径是6m，高是2m；圆锥的母线长是4m，底面直径与圆柱相同。搭建这个蒙古包至少需要多少平方米的毛毡？（π取3.14，只算侧面积，忽略底面） 【典例2】一个景观柱由下方的圆柱和上方的圆锥组成，圆柱的底面半径是1m，高是4m；圆锥的底面半径与圆柱相同，高是1.5m。这个景观柱的总体积是多少立方米？（π取3.14） 【变式1】一个粮仓由圆柱形的粮囤和圆锥形的顶组成，粮囤的底面直径是8m，高是5m；圆锥顶的高是3m，底面直径与粮囤相同。这个粮仓的总容积是多少立方米？（π取3.14） 【变式2】一个玩具模型由一个圆柱和一个圆锥拼接而成，圆柱的底面半径是2cm，高是3cm；圆锥的底面半径是2cm，母线是3cm。给这个模型的表面刷油漆（拼接处不刷），刷油漆的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 题型六 体积相关的逆向计算 解｜题｜技｜巧 1．公式逆推：根据圆柱或圆锥体积公式，已知体积和其中一个量（底面积或高或半径），求另一个量。如圆柱：h=V÷S=V÷(πr²)；圆锥：h=3V÷S=3V÷(πr²)，S=3V÷h。 2．关键步骤：明确已知量和未知量，代入公式时注意“圆锥需乘3”，单位统一。 【典例1】一个圆柱的侧面积是150.72dm²，底面半径是4dm。这个圆柱的高是多少分米？（π取3.14） 【典例2】一个圆锥的体积是62.8cm³，底面半径是2cm。这个圆锥的高是多少厘米？（π取3.14） 【变式1】一个圆柱的体积是502.4m³，高是10m。这个圆柱的底面积是多少平方米？若底面是圆形，底面半径是多少米？（π取3.14） 【变式2】一个圆锥的体积是84.78dm³，高是9dm。这个圆锥的底面积是多少平方分米？若底面是圆形，底面直径是多少分米？（π取3.14） 题型七 浸没问题 解｜题｜技｜巧 1．核心原理：当不规则物体完全浸没在圆柱形容器的水中时，“物体体积=容器中水面上升（或下降）部分的圆柱体积”，即V物=S容×Δh（S容为容器底面积，Δh为水面高度变化量）。 2．关键步骤：先算容器底面积，再乘水面上升或下降的高度，得到物体体积。 【典例1】一个底面直径是10cm的圆柱形容器中装有水，将一个铁块完全浸没在水中后，水面上升了2cm。这个铁块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【典例2】一个底面周长是18.84cm的圆柱形容器中装有水，水中浸没一个塑料块，将塑料块取出后，水面下降了3cm。这个塑料块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【变式1】一个底面半径是6cm的圆柱形容器中装有水，水深10cm。将一个小石块完全浸没后，水深变为12cm。这个小石块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【变式2】一个底面直径是8cm的圆柱形容器中装有水，将一个圆锥形零件完全浸没后，水面上升了4cm。这个圆锥形零件的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下图圆柱沿虚线剪开的侧面展开图是（    ）． A． B． C． D． 2．圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积（    ） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的27倍 D．体积不变 3．(24-25六上·黑龙江省大庆市·期中)把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段，表面积增加了（    ）平方厘米． A．240 B．80 C．120 D．160 二、填空题 4．一个底面直径是40厘米的圆柱形玻璃杯装有一些水，一个底面直径是20厘米，高为15厘米的圆锥形铅锥完全没入水中，当取出铅锥后，水面下降了 厘米． 5．(24-25六上·黑龙江大庆·期中)将一张长5厘米，宽2厘米的长方形纸，以一条边为轴旋转一周得到圆柱，则该圆柱的体积为 ． 三、解答题 6．一个圆锥形沙堆，底面周长是25.12米，高是3米． (1)如果每立方米沙子重1.5吨，这堆沙子重多少吨？ (2)用这堆沙子在10米宽的公路上均匀铺2厘米，能铺多少米？ 7．六年二班学生在课上做沉浮实验，将一个长10厘米、横截面直径16毫米圆柱形积木放进水箱中正好一半露出水面． (1)这个积木的体积是多少立方厘米？ (2)积木露出水面部分的面积是多少？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．(24-25六下·上海市第四中学·期中)如图，将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（  ） A． B． C． D． 2．下图圆锥形玻璃容器内装满了水，将这些水倒入（    ）圆柱形玻璃容器中正好倒满． A． B． C． D． 3．一个圆柱体和一个圆锥体，底面直径之比是，他们的体积之比是，圆柱和圆锥高之比是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25七下·黑龙江大庆庆新中学·期中)如图所示，正方体的体积是120立方厘米，把它削成一个最大的圆柱．圆柱体积是 立方厘米． 5．(24-25六下·黑龙江哈尔滨第十七中学·期中)如图所示，将等腰三角形沿着对折，使点与点重合，把对折后得到的直角三角形，以它的一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到一个立体图形，则这个立体图形的体积是 立方厘米.（结果保留） 三、解答题 6．(2024·湖北省襄阳市·开学考)一个底面半径为，高为的圆柱形水桶装满水，另一个圆锥形空水桶的上口周长是，现在把圆柱形水桶里的水倒进圆锥形水桶里，当圆锥形水桶装满时，圆柱形水桶里还剩下高的水，求圆锥形水桶的高．（结果保留一位小数） 7．在学习了圆柱与圆锥的体积之后，王华做了一个圆柱形容器和一些圆锥形容器，并进行了下面两个实验．（单位：厘米） (1)实验一：王华在圆柱形容器里装了一些水（如下图），再将这些水倒入下面一个圆锥形的容器中，倒入____圆锥形容器中能恰好倒满． (2)实验二：王华按照下面步骤测量了一个土豆的体积．根据下面测量结果，这个土豆的体积是多少立方厘米？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $