第一章集合与常用逻辑用语、第二章一元二次函数、方程和不等式章末综合测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A C D D C D CD ACD ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【解析】D 集合，， 则. 2. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由命题否定的概念可知， 命题：的否定是：. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【解析】A 由，得，解得， 因为当时，成立，而当时， 不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故. 5. 已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 由，得到，所以， 由，得到，所以， 又，得到或， 由图可知阴影部分对应的集合是集合，又， 所以. 6. 若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【解析】D 一元二次不等式的解集为， 即为的两实数根， 故，即， 则，当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为4. 7. 已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】C 若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 8. 设，，为实数，记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【解析】D 若时有一个解，有两个解，且的解不是的解， ，即， 的解不是的解， 又有两个解，故， 有两个不等的根， 有3个解，即， 故D不可能成立， 对于，则时至少有一个根， 当时还有一根，只要时就有个根， 当时只有个根， 当时只有个根， 当时有个根或个根， 当时且，故A正确； 当，，时且，故B正确； 当，时且，故C正确. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【解析】CD 因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【解析】ACD 对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 11. 若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图.下列四个图为偶图的是（    ） A. B．   C．   D．   【解析】ABD    对于选项A，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，A正确. 对于选项B，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，B正确. 对于选项C，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点在一个子集内，这显然不符合偶图的定义，C错误. 对于选项D，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，D正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，，若，则_______ ． 【解析】，，，，， ，，，，； 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 【解析】命题“，使得”是假命题， 等价于“命题"，使得”是真命题. 当时，可化为，解得， 不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得. 综上，所以实数的取值集合是. ,即，综上,得或. 14. 已知，则的最小值为________. 【解析】由，得， 令，得，且， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以， 因为 所以，所以 （2）①当，即时，此时，满足，符合题意； ②当，即时，， 要满足，则， 则解得， 16. 已知命题，；命题， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与均为假命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为命题，， 若命题为真命题，则且， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. （2）因为命题，；命题，， 则，，，， 若命题与均为假命题，则和都是真命题， 由是真命题，得或，解得：， 由是真命题，得或，解得：， 联立，得， 所以实数的取值范围为. 17. 求下列关于x的不等式的解集： （1）； （2） 【解析】（1）由不等式，可得，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，可得化为， 若，不等式可化为，解得，即解集为； 若，不等式可化为 当时，不等式即为，解得或，即不等式的解集为或； 当时，不等式即为， ①当时，即时，解得，解集为； ②当时，即时，解得，解集为； ③当当时，即时，解得，解集为 综上， 当时，不等式的解集为或； 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为. （1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 【解析】（1）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，， 所以，又矩形面积，解得， 故的取值范围为. （2）（i）设地板面积为，解不等式组，解得， 故当时，窗户面积最小，此时由（1）可得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. （ii）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，，则. 因为，，所以. 又，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 19. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时， 当时，函数有最大值，最大值为2. （2）设，，由题知，是方程的两个相异根， 则，得到， 由韦达定理知，，令，得到， 所以，又， 所以，解得，故的值为1或. （3）因为，则，当且仅当时取等号 由题有在恒成立，即恒成立， 又，则，即，解得， 故的取值范围为. ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8. 设，，为实数，记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 11. 若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图.下列四个图为偶图的是（    ） A. B．   C．   D．   第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，，若，则_______ ． 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 14. 已知，则的最小值为________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知命题，；命题， （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与均为假命题，求实数的取值范围. 17. 求下列关于x的不等式的解集： （1）； （2） 18. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为. （1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 19. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $