第02讲 有理数的乘除法（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版2024）

第02讲 有理数乘除法 知识点1：有理数乘法法则 知识点2：有理数乘法运算定律 知识点3：有理数除法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【典例1】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1】计算：（1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）． （2）． （3）． （4）． 【分析】本题考查的知识点为有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算法则； （1）根据同号得正的法则进行计算即可； （2）根据异号得负先确定符号然后进行约分化简求值； （3）将小数和分数进行统一后进行计算； （4）先确定符号，然后将代分数化为假分数进行计算. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解题的关键． (1)根据两数相乘，异号得负，先确定符号，再把绝对值相乘即可； （2）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可； （3）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据绝对值的性质和有理数的乘法法则计算即可； 本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 【典例2】计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据有理数的乘法运算进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式3】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)24 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法的法则及运算律． （1）先确定符号，再用绝对值相乘即可； （2）先确定符号，再用乘法结合律计算即可； （3）先确定符号，把小数化为分数，再按照法则计算即可； （4）先确定符号，把小数化为分数计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型3 有理数乘法的运算定律】 【典例3】简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律， （1）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加法即可得到答案； （2）将变形为，再利用乘法分配律进行简便计算即可得答案. 【详解】（1）解： ． （2） 【变式1】计算： 【答案】38 【分析】该题考查了有理数的混合运算，将分数化为小数后，根据乘法分配律解答即可． 【详解】解： ． 【变式2】利用运算律简便运算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的简便运算． 先将分数和百分数化为小数，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握运算法则，准确计算，是解题的关键． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【题型4 有理数的除法运算】 【典例4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)0 【分析】根据有理数的除法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案． 本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则进行解题． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式1】计算：． 【答案】182 【分析】化除法为乘法，利用分配律计算即可． 本题考查了有理数的除法，乘法，分配律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练运算法则． （1）利用有理数的除法法则进行计算即可； （2）利用有理数的除法法则进行计算即可； （3）利用有理数的除法法则进行计算即可； （4）利用有理数的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式3】计算：（1）． （2）． （3）． 【答案】 （1）；（2）；（3）. 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键； （1）将除法化为乘法进行计算； （2）将带分数换为假分数，将除法换为乘法进行计算； （3）将分数和小数进行统一后把除法化为乘法进行计算. 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【题型5 有理数乘除混合运算】 【典例5】计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2)39 (3) (4)8 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解决此题的关键是注意计算的正确性；根据有理数的运算步骤先乘除后加减，有括号的先算括号里面的，一步步进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】先化带分数为假分数，再化除为乘，最后用有理数乘法的法则计算即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，化带分数为假分数，化除为乘，是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题关键是注意运算顺序． 先计算括号里面的，再计算乘法． 【详解】解： ． 【变式3】计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，多个有理数乘法，有理数乘法运算律，解题关键是注意运算顺序． 先将除法转化为乘法，再利用乘法运算律计算． 【详解】解：原式 ． 【题型6有理数四则混合运算】 【典例6】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，化简绝对值，然后根据有理数加减运算法则计算即可； （2）根据有理数除法法则，乘法的分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式1】计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加减运算法则即可求解； （2）根据有理数的加减运算法则即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： （2） = （3） ． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1241 (2)101 (3)2 (4)20 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先乘除，再进行加法运算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先进行乘法运算，再进行加减运算即可； （4）根据混合运算法则和运算顺序，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 ． 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数的除法计算，根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．已知六个有理数相乘，积为0，下列说法一定正确的是（    ） A．这六个有理数一定都为0 B．这六个有理数中只有一个为0 C．这六个有理数中至少有一个为0 D．这六个有理数中有两个数互为倒数 【答案】C 【分析】该题考查了有理数的乘法，根据0乘以任何数都为0即可解答． 【详解】解：∵六个有理数相乘，积为0， 故这六个有理数中至少有一个为0， 故选：C． 3．计算 的结果是（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减乘除的法则，并熟练计算． 先算括号里的减法，再将除法转化为乘法，再按照从左到右计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．这里运用了乘法的（　　）律． A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．分配和结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法分配律的理解，熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键．根据乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再将所得的积相加（或相减），结果不变，由此进行解答即可． 【详解】解：根据乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，依此可判断运用了乘法分配律的逆向运算． 故选：C． 二、填空题 5．计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，除以一个数等于乘以一个数的倒数，据此把原式可变形为，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 6．如果，那么 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的有理数的混合运算，解决本题的关键是理解已知信息． 根据已知信息的计算规则，列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 三、解答题 7．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数加减法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算乘法，再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减法的运算法则分别计算即可； （2）先求绝对值，根据有理数加减法的运算法则计算即可； （3）根据有理数乘除法的运算法则计算即可； （4）根据有理数乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数加减法的简便计算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先将分数化成小数，再利用交换律与结合律计算即可得； （2）先利用交换律与结合律计算、带分数化成假分数，再计算加减法即可得； （3）先去括号，再将每一项拆成两项的差，然后计算加减法即可得； （4）将原式化成，再计算加减法与乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 10．一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【答案】(1)B地在A地东边距离A地10千米处 (2)右边，97千米 (3) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）将行驶路程记录的数据相加，根据结果进行判断即可； （2）求出每次与出发地的距离，然后进行判断即可； （3）先求出需要的燃油，然后求出需要补充的燃油即可． 【详解】（1）解：∵（千米）， ∴B地在A地东边距离A地10千米处． （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米． （3）解： ， ， 答：检修车在检修过程中至少还需补充燃油． 11．某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示． 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1.5 2 箱数 4 2 4 3 6 1 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额． 【答案】(1)千克 (2)千克； (3)元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的减法进行列式计算，即可作答． （2）根据题意，结合平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）结合（2）的结论，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（千克）， ∴在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：（千克）， ∴每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； （3）解：由（2）得每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； 依题意，（元）， ∴售完这20箱萝卜泡菜的销售总额为元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $第02讲 有理数乘除法 知积导航 知识点1：有理数乘法法则 知识点2：有理数乘法运算定律 知识点3：有理数除法法则 ◆知识点梳理·题型精讲 知识点 有理数柔法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 (2)任何数同0相乘，都得0。 (3)多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为 负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 (4)多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点 有理数乘法运算定律 (1)乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b=ba (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b Xc=(aXb)Xc=aX(bXc)。 (3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加 即aX(b十c)=aXb十aXc。 典例分析 题型分类举一反三 【题型1两个有理数的乘法运算】 【典例1】计算： (1)(-0.125)×(-8). (2(-23)×（-) (3) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： :答‘4身章考诚凶性索鄞世阳当巴 ?×(ε-)×(？-)×（红-）【z卧雠】 【点买铁￥州喉面其↓多乙谕】 (I-)×s-k9) (亿T-)×s) (击+)×（昌-） :(S8-)×0(E) (e-)×(9T-)z) (6-)×() :点1【E平企】 (台-)×（是-)e) (z-)×(-)) (I-)×8) :点1【Z年企】 (I-)×(I-)() Z×(9Z-)(e) (器-)×（告+）() (是-)×（品-）()减【t】 ·(要+)×(9z8-) 【变式1】计算： 1(-2)××(-品8)×(-号)；(2) (-3)×(+)×(-1)×(-)×(+1号) 【变式2】计算：(-4)×克×(-25)×14. 【变式3】计算下列各式： (1)(-2)×4×(-3): (2(-6)×(-25)×(-0.04): 3)-0.75×(-0.4)×1号； 40.6×（-)×(-)×(-2). 【题型3有理数乘法的运算定律】 【典例3】简便运算： 1(-言-音)×(-24) 249×器 【变式1】计算：3.8×2品+3.8×8.3-3 【变式2】利用运算律简便运算： -3.61×0.75+0.61×+(-0.2)×75%. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 【变式3】用简便方法计算： (1)(1毫-2号+0.75)×(-24) (2(号--是)×(-4) 知识点 有理数除法法则 (1)除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 (2)两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 (3)0除以任何一个不等于0的数，都得0。 典例分析 题型分类举一反三 【题型4有理数的除法运算】 【典例4】计算： (1)-42÷(-6): (2)0÷(-5)÷100. 【变式1】计算：（-克-3+君-五)÷（-竞)： 【变式2】计算： 1)(-36)÷(-12): 224÷（-吉)： 3)(-1)÷日： (4)(-1克)÷0.5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 【变式3】计算：(1)(-5)÷（-2). (2)（+5)÷（-3). (3)（-3)÷(-2.25). 【题型5有理数乘除混合运算】 【典例5】计算，能简算的要用简便方法计算 (1)560÷16÷5 (2)4×0.39×25 3×是+6÷13 (4唱÷[×（品-）] 【变式1】计算：（-3)×(-2)÷(-1) 【变式2】计算：56×[(-器)÷(（-)]×号. 【变式3】计算：(-3)÷（-1)×0.75×2待÷3. 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 【题型6有理数四则混合运算】 【典例6】计算： (1)-32-(-17)-|-23+(-15)(2) (-是)÷品-(3+号-)×(-24) 【变式1】计算 (1)(+16)+(-18)+5+(-16)；(2) 章+（-3)-（-4)+（-6号)； 3)(-12)÷4+(+青)×12. 【变式2】计算： (1)28×43+703÷19 (210.1×6.8+10.1×3.2 33-是×8-号 (438÷[(星+)÷] 达标测试 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 6 一、单选题 1.计算(-16)÷8的结果是() A.吉 B.-2 C.3 D.-1 2.已知六个有理数相乘，积为0，下列说法一定正确的是() A.这六个有理数一定都为0 B.这六个有理数中只有一个为0 C.这六个有理数中至少有一个为0 D.这六个有理数中有两个数互为倒数 3.计算（-3)×（待-吉）÷言的结果是() A.-3 B.3 C.-6 D.6 4.?×哥+×=×（得+哥）这里运用了乘法的()律. A.交换律 B.结合律 C.分配律 D.分配和结合律 二、填空题 5.计算：（-3)÷（-)= 132 6.如果6l=d-bc.那么= 三、解答题 7.计算题： (1)12-（-8)+（-11): (2(8+号-)×(-12)· 8.计算： 1)-9+5-（-12)+(-3):(2)--3-音+3.25-(-号)： 3)-2÷（-2)×(-0.5): 4(-32)×(品-司+)： ⊙δ原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： > 9.用简便方法计算： 1(-3.25)+3.75-主+2.5+3+（-4号)： (2)（-2)+(3)+(-3号)+(+2)+(-1)+(-1)： 3)(-)+(-)+(-立)+…+（-)： (4)1+(-2)+3+(-4)+…+2025+(-2026). 10.一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向 东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： -70,+120,-38,+75,-90,+100,-107,+20. (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有 多少千米？ (3)若检修车每千米耗油0.08L,检修车油箱容量为45L,问检修车在检修过程中至少还 需补充多少升燃油？ 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 11.某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或 不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示， 与标准重量的差值（单位：千克） -2.5 -2 -1.5 0 1.5 2 箱数 4 2 6 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量： (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额. ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权：必究： 9 0