23.1图形的旋转（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 23.1图形的旋转（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1图形的旋转及其相关概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 要点诠释： （1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 题型1生活中的旋转现象 例1．下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 【答案】B 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】此题考查了旋转的意义及在实际当中的运用． 根据在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、风车的转动是旋转，故此选项不符合题意； B、国旗的升降是平移不是旋转，故此选项符合题意； C、钟表分针的运动是旋转，故此选项不符合题意； D、拧瓶盖是旋转，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】．视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．以上选项都不对 【答案】D 【知识点】生活中的平移现象、轴对称图形的识别、判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查平移、对称、旋转的区别，关键在于这项图形的大小不会发生变化． 根据图表观察，结合选项即可得到答案. 【详解】解：根据平移，旋转和轴对称的图形的大小不会发生改变，得到图形中开口向上的两个“E”之间，既不是平移，也不是旋转，也不是对称， 故选D 【变式1-2】．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．平移，旋转 B．旋转，旋转 C．轴对称，旋转 D．平移，轴对称 【答案】C 【知识点】图形的平移、轴对称图形的识别、判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：观察图片可知，第一幅图片和第二幅图片为轴对称变换， 第二幅图片和第三幅图片为旋转变换， 故变换顺序是轴对称，旋转． 故选：C． 4【变式1-3】．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【答案】A 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小．根据旋转变换的定义即可作出判断． 【详解】解∶A．钟表上的时针运动，属于旋转变换； B．升国旗的上升过程，不属于旋转变换； C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转变换； D．电梯的升降，不属于旋转变换， 故选∶A． 题型2 判断是否旋转的图形 例2．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题重点考查旋转的三要素即旋转中心，旋转角，旋转方向的应用． 根据旋转的性质，判断每个选项的图形是否可由原图形旋转得到。 【详解】解：A．该图形与原图形完全相同，可由原图形旋转（或）得到，故此选项不符合题意； B．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，因为形状、大小未变，只是方向改变，故此选项不符合题意；     C．图形不能由由原图形经过旋转得到，故此选项符合题意；     D．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，形状、大小不变，方向改变符合旋转性质，故此选项不符合题意；     故选：C． 【变式2-1】．下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形的平移、轴对称图形的识别、判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查图形变换中的“旋转”，理解旋转的概念是解题关键． 根据旋转定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形称为旋转，旋转前后两个图形形状和大小不变，即可判断． 【详解】解：A选项中，可看作“基本图案”经过旋转得到，符合题意； B选项中，可看作“基本图案”经过轴对称得到，不符合题意； C选项中，可看作“基本图案”经过平移缩放得到，不符合题意； D选项中，可看作“基本图案”经过平移得到，不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】．下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】．如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查了判断由一个图形旋转而成的图形，发挥自身的空间想象能力是解题的关键．根据旋转的定义即可直接得出答案．注意，要看清是顺时针旋转还是逆时针旋转． 【详解】 解：根据旋转的定义，将  按顺时针方向旋转后的图形是  ， 故选：． 知识点2、旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 要点诠释： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关 键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 题型3确定旋转中心 例3．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 【变式3-1】．如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 【答案】D 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转可得右边的阴影部分，此时； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转，将得到的四边形绕点C逆时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 故选：D． 【变式3-2】．如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式3-3】．如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，连接，线段的垂直平分线的交点就是旋转中心点P． 【详解】解：由图形可知，对应点的连线的垂直平分线的交点是点， 根据旋转变换的性质，点即为旋转中心． 故旋转中心坐标是． 故选：D． 题型4确定旋转的对应要素 例4．如图，与都是等腰直角三角形而且全等，，点E在边上，下列说法正确的是（    ） A．绕点A顺时针旋转与重合 B．绕点A顺时针旋转与重合 C．绕点A顺时针旋转与重合 D．绕点A顺时针旋转与重合 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键． 先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据旋转角的定义即可得． 【详解】解：与都是等腰直角三角形，， ， ∴绕点A顺时针旋转与45°重合 和都是旋转角，旋转角度是， 故选：D． 【变式4-1】．如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案． 【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意； B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意； C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意； D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】．如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，，可判断选项都不符合题意， 因为与不一定平行，所以符合题意，于是得到问题的答案，正确理解旋转角的概念及旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到， ∴，，，但与不一定平行， 故不符合题意， 符合题意， 故选：． 【变式4-3】．如图，若把绕点A旋转一定的角度得到，则 ，的对应角为 ，的对应边为 ． 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，根据把绕点A旋转一定的角度得到得出，的对应角为，的对应边为，即可作答． 【详解】解：∵把绕点A旋转一定的角度得到， ∴， ∴的对应角为，的对应边为， 故答案为：，，． 题型5 求旋转角 例5．如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式5-1】．两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．由旋转的性质和直角三角形的性质可证是等边三角形，可得，从而得出旋转的度数． 【详解】解：三角板是两块大小且含有的角， ， 将绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点恰好落在上， ， 是等边三角形， ， ； 故选：A． 【变式5-2】．如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ． 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，结合网格即可求得旋转角，即可求解． 【详解】解：如图， 旋转中心为点，旋转角为 故答案为：． 【变式5-3】．如图中，，，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到，且点A在边上，求旋转角的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 由旋转的性质可得，旋转角为，由等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵以点C为旋转中心顺时针旋转后得到， ∴ ，旋转角为， ∴， ∴ ； ∴旋转角的度数为：． 题型6 利用旋转的要素进行计算 例6．如图，在中，．将绕C按逆时针方向旋转角后得，此时点B在上，交AB于点D．则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，根据旋转可得，然后根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕C按逆时针方向旋转角后得， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故答案为． 【变式6-1】．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】由及旋转的性质可得、为等边三角形，进而得到，，，根据角度的关系求得，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解： ， ， ， 由及旋转的性质可知， 为等边三角形． ，， 为等边三角形，． ，， ， D为的中点， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，牢固掌握这些性质是解题关键． 【变式6-2】．如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为 ． 【答案】/40度 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】由题意得，由旋转得，则，即可知旋转角的度数为 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由旋转得， ， ， ， 旋转角的度数为 故答案为：． 【变式6-3】．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上． (1)求证：平分； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质以及角平分线的判定，解题的关键是利用旋转的性质得到相等的边和角，再结合等腰三角形的性质进行推理． （1）根据旋转的性质得到，利用等腰三角形的性质得，从而得出，进而证明平分； （2）先由旋转得到，，，然后得到，，最后利用三角形的内角和定理得证结果． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：由旋转得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型7确定旋转中心的个数 例7．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【知识点】求旋转中心的个数 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 【变式7-1】．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求旋转中心的个数 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 【变式7-2】．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【知识点】求旋转中心的个数 【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 【变式7-3】．如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【答案】（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3） 【知识点】成轴对称的两个图形的识别、求旋转中心的个数、求旋转对称图形的旋转角度 【分析】(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【详解】(1)∵和都是等边三角形， ∴和是全等三角形， ∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合. 故填AC; (2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可； （3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可. 题型8旋转中的规律问题 例8．小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】旋转中的规律性问题 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的知识是解题的关键，根据题意找到图形旋转后变换的规律即可求解． 【详解】解：由题意得图形每按一次旋转键，图形就会逆时针旋转， 那么连续按4次旋转键后，图形会旋转， 即旋转一周后图形会回到原来的位置， 由此可知，该图形的旋转是以4次为一个循环周期， ， 则第15次逆时针旋转变为： 故选：D． 【变式8-1】．如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】旋转中的规律性问题 【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 【变式8-2】．如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【知识点】旋转中的规律性问题 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 【变式8-3】．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号） 【答案】1 【知识点】图形类规律探索、旋转中的规律性问题 【分析】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置． 通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案． 【详解】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同． 故答案为：1． 例9．如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到 ， ； (2)进一步观察，我们还会发现，请证明这一结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、矩形性质理解、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、平行四边形的判定和性质，熟练掌握“旋转前后线段长度不变”、“矩形对边平行且相等”、“对边相等的四边形是平行四边形”、“平行四边形的对边平行且相等”是解题的关键． 【详解】（1）边固定后，矩形四条边的长度在推动中没有发生变化， 故答案为：，； （2）四边形是矩形， ，，， 由（1）得，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 【变式9-1】．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接． (1)求证：； (2)当点，，在同一条直线上时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（）由旋转的性质得，再根据三角形三边关系即可求证； （）由旋转可得，，即得，又可得，利用三角形内角和定理求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质等，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴； （2）解：由旋转可得，，， ∵点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式9-2】．如图，在正方形中，，E，F分别是边，上的点，满足，，分别与对角线交于点M，N． (1)求证： ①； ②； (2)求的最小值． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①延长至点，使，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论得证； ②把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接，由旋转的性质可得：，则，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用勾股定理解答即可得出结论； （2）以为斜边，作等腰直角三角形，连接，过点作于，利用等腰直角三角形的性质得到，利用两点之间线段最短的性质得到，利用不等式的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）（1）①证明：延长至点，使，连接， 如图， ∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． ②证明：把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接， 如图， ∵四边形为正方形， ， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）可知：， 以为斜边，作等腰直角三角形，连接，过点作于， 如图， ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象、判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查用数学知识解决问题，理解旋转定义、平移定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，原说法错误，不符合题意； B、“火箭冲向空中”属于平移现象，原说法错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，说法正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合,以及旋转对称图形的旋转特点进行判断．本题考查了旋转对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：A、本选项不是轴对称图形，也不是旋转对称图形，不符合题意； B、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意； C、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意． D、本选项是轴对称图形，也是旋转对称图形，符合题意； 故选：D． 3．如图，已知点，，将线段绕点M逆时针旋转到，点A与是对应点，则点M所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】此题考查了旋转的性质，准确分析作图是解题的关键． 作出对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接、，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，交点即为点M，由图可得，点M在第四象限． 故选：D 4．下列说法中正确的是（    ） A．旋转一定会改变图形的形状和大小 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用、旋转中的规律性问题 【分析】根据旋转的性质，A不正确；根据平行线的性质，B不正确；根据垂直公理判断C正确，根据平行公理，D不正确． 【详解】A选项中，旋转只改变图形的位置，不改变形状和大小，所以A不正确； B选项中，两条直线被第三条直线所截，若两直线平行，则同位角相等；所以B不正确； C选项正确； D选项中，在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D不正确； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质、平行线的性质、垂直公理、平行公理，熟练掌握相关性质和公理是解题的关键． 5．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（），点C的对应点E落在边上时，则旋转角θ的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了利用旋转的性质求角度，三角形内角和定理，等边对等角，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用等边对等角和三角形内角和定理求得，再根据旋转的性质得出，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求得旋转角θ． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（）， ∴，， ∴， ， 即， 故选：B． 6．在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】此题考查了等边三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线（旋转三角形）将分散的角和线段关系集中，利用等边三角形和直角三角形的性质建立等量关系求解． 将绕点A顺时针旋转得到利用旋转性质得到结合等边三角形性质证为等边三角形，得通过角度计算推出；在中用勾股定理求出的长，进而得到的长． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转，得到连接． ∵是等边三角形， ∴． 由旋转性质得：． ∴ ，即． 又∵ ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵ 是等边三角形，故． ∴． 在中，，， ∴斜边． 由勾股定理得：即 解得，． 故选：A． 7．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、证明四边形是平行四边形、旋转的性质及辨析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 8．如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】旋转中的规律性问题 【分析】本题主要考查旋转中的规律问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由周角的定义可知机器狗从P出发，按逆时针方向绕点O作匀速圆周运动，经过一周所需的时间为8分钟，然后根据可进行求解． 【详解】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为， ∴机器狗经过一周所需的时间为（分钟）， ∵， ∴， ∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了， 即选项D符合题意； 故选D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    【答案】 旋转 平移 【知识点】图形的平移、轴对称图形的识别、判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过旋转变换得到图形③； 图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 10．如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则 ．    【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：由绕点A逆时针旋转得到， ， 故答案为：． 11．如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查求旋转角，正确理解旋转的概念是解题的关键． 根据旋转的概念得到是旋转角，即可求解. 【详解】解：∵绕着点A顺时针旋转后，得到， ∴是旋转角， ∴， 故答案为：． 12．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 【答案】2． 【知识点】求旋转中心的个数 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 13．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】旋转中的规律性问题、坐标与旋转规律问题 【分析】根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可． 【详解】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是 依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，的横坐标是2020， 的坐标是， 故答案为． 【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到． (1)图中哪一个点是旋转中心？ (2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？ (3)如果．求的长？ 【答案】(1)旋转中心为C点 (2)逆时针；旋转角度为 (3) 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查找旋转中心，旋转方向和旋转角，旋转的性质： （1）根据图形确定旋转中心即可； （2）根据图形确定旋转方向和旋转角度即可； （3）根据旋转的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：旋转中心为C点； （2）解：由图可知：绕点C点逆时针旋转，可以得到； ∴旋转方向为：逆时针，旋转角度为； （3）解：∵旋转， ∴． 15．如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：．    【答案】证明见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转的性质得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明结论． 【详解】证明：将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到， ． ， ． 16．如图，和都是等边三角形，点在边上． (1)在图中找一对全等三角形，并说明理由； (2)在（1）中全等三角形中，其中一个是另一个经过怎样的图形变换得到的？ 【答案】(1)；理由见解析 (2)可以看作是由绕着点A逆时针旋转得到的（或可以看作是由绕着点A顺时针旋转得到的） 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质、判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，旋转的定义； （1）根据等边三角形的性质得出，，，根据证明即可； （2）根据旋转的定义进行判断即可； 解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和三角形全等的判定方法． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴； （2）解：根据解析（1）可知，可以看作是由绕着点A逆时针旋转得到的．（或可以看作是由绕着点A顺时针旋转得到的） 17．如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． (1)旋转中心是点 ，的长为 ； (2)求的度数． 【答案】(1)A， (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的相关知识点． （1）由“顺时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，根据旋转的性质得出，，据此可求得； （2）根据旋转的性质得出． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 即， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴，， ∵点D恰好成为的中点， ∴， ∴； 故答案为：A，； （2）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴， 故答案为：． 18．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 【答案】(1)见详解 (2)四边形是菱形，理由见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是菱形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转的性质可知，，则有，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵是由在平面内绕点B旋转而得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 19．是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)任选其中一个图形证明是等边三角形． (2)若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或14 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的判定可得结论； （2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）解：存在， ①当时， 根据解析（1）可知：是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，此时只能， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②当时，根据旋转可知：， ∴， ∴此时可能是直角三角形； ③时，点D与点B重合， ∴此时D、B、E不能构成三角形； ④ 当时，由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴中只能是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述：当或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 20．综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 达标检测 B 抓核心 三大题型提升练 A 夯基础 五大题型提分练 C 促拓展 能力提升拓展练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 23.1图形的旋转（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1图形的旋转及其相关概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 要点诠释： （1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 题型1生活中的旋转现象 例1．下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 【变式1-1】．视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．以上选项都不对 【变式1-2】．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．平移，旋转 B．旋转，旋转 C．轴对称，旋转 D．平移，轴对称 4【变式1-3】．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 题型2 判断是否旋转的图形 例2．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   知识点2、旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 要点诠释： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关 键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 题型3确定旋转中心 例3．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-1】．如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 【变式3-2】．如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式3-3】．如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型4确定旋转的对应要素 例4．如图，与都是等腰直角三角形而且全等，，点E在边上，下列说法正确的是（    ） A．绕点A顺时针旋转与重合 B．绕点A顺时针旋转与重合 C．绕点A顺时针旋转与重合 D．绕点A顺时针旋转与重合 【变式4-1】．如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【变式4-2】．如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】．如图，若把绕点A旋转一定的角度得到，则 ，的对应角为 ，的对应边为 ． 题型5 求旋转角 例5．如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ． 【变式5-3】．如图中，，，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到，且点A在边上，求旋转角的度数． 题型6 利用旋转的要素进行计算 例6．如图，在中，．将绕C按逆时针方向旋转角后得，此时点B在上，交AB于点D．则的度数为 ． 【变式6-1】．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为 ． 【变式6-2】．如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为 ． 【变式6-3】．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上． (1)求证：平分； (2)连接，求证：． 题型7确定旋转中心的个数 例7．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式7-1】．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-2】．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【变式7-3】．如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 题型8旋转中的规律问题 例8．小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【变式8-2】．如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 ． 【变式8-3】．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号） 例9．如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到 ， ； (2)进一步观察，我们还会发现，请证明这一结论． 【变式9-1】．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接． (1)求证：； (2)当点，，在同一条直线上时，求的度数． 【变式9-2】．如图，在正方形中，，E，F分别是边，上的点，满足，，分别与对角线交于点M，N． (1)求证： ①； ②； (2)求的最小值． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 2．下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 3．如图，已知点，，将线段绕点M逆时针旋转到，点A与是对应点，则点M所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．下列说法中正确的是（    ） A．旋转一定会改变图形的形状和大小 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（），点C的对应点E落在边上时，则旋转角θ的度数为（   ） A． B． C． D． 6．在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 7．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 8．如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    10．如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则 ．    11．如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 12．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 13．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到． (1)图中哪一个点是旋转中心？ (2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？ (3)如果．求的长？ 15．如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：．    16．如图，和都是等边三角形，点在边上． (1)在图中找一对全等三角形，并说明理由； (2)在（1）中全等三角形中，其中一个是另一个经过怎样的图形变换得到的？ 17．如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． (1)旋转中心是点 ，的长为 ； (2)求的度数． 18．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 19．是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)任选其中一个图形证明是等边三角形． (2)若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 20．综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． B 抓核心 三大题型提升练 C 促拓展 能力提升拓展练 达标检测 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $