5.4.1二项式定理 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

问题提出 根据多项式的乘法法则,容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,如果称等式的右边为左边的展开式,那么如何求出(a＋b)n的展开式? 4.1 二项式定理的推导 我们知道(a＋b)n=(a+b)(a+b) . ….· (a+b),下面分2步来求展开式中的项: 1．展开式每一项的特征. 根据多项式的乘法法则,在每个因式(a+b)中任选其中一项作为因子,只有α和b两种选择,即不选a,就选b，先从第1个因式(a+b)中选一项作为因子,再从第2个因式(a＋b)中选一项作为因子,依此类推,最后从第n个因式(a＋b)中选一项作为因子.比如a,b,b,b,a,a. ….b(并且a和b的总个数为n)这n个因子的乘积构成一个单项式. 由此可知;展开式的每一项由若干个“a”与若干个“b”的乘积构成,并且a和b的总个数为n,若b的个数为k,则α的个数为n-k,即 an-kbk(k=0,1,2,-, n). n个(a+b) 我们知道(a＋b)n=(a+b)(a+b) . ….· (a+b),下面分2步来求展开式中的项: 2. an-kbk同类项的个数. 从n个因式(a+b)中,若选出k个(a+b),在这k个(a+b)中只取“b”不取“a”,在余下的(n一k)个(a+b)中只取“a”不取“b”,这样得到的乘积都是an-kbk.因此,an-kbk的同类项个数为,即an-kbk的同类项个数就是从n个(a+b)中选出k个(a+b)的组合数. 此项为an-kbk (a＋b)n的展开式中共有(n＋1)种不同的同类项(an-kbk(k = 0,1.2,…,n)故共有(n＋1)种不同的同类项):an-kbk(k = 0,1.2,…,n) ,相应的个数为(k=0,1,2,-, n).因此,根据分类加法计数原理,其展开式为 (a＋b)n=anb0+an-1b1+an-2b2+…+an-kbk+a0bn 可简写成(a＋b)n= (a＋b)n=an+an-1b1+an-2b2+…+an-kbk+bn 公式①称为二项式定理,等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有(n＋1)项, 其中各项系数(k = 0,1,2，…,n)称为二项式系数, 式中的an-kbk用Tk+1表示,称为二项展开式中第(k＋1)项, 又称为二项式通项,记作Tk+1 =an-kbk . (a＋b)n=an+an-1b1+an-2b2+…+an-kbk+a0bn (a＋b)n= ① ① 可简写成 ①展开式的项数为(n+1) 项． ②展开式的指数的规律： ☆各项的次数都等于二项式的次数n； ☆按字母a的降幂顺序排列(也就是按字母b的升幂顺序排列) (a＋b)n=anb0+an-1b1+an-2b2+…+an-kbk+a0bn (a＋b)n= 判断正误并说明理由？ （1）an-kbk 是二项展开式的第k项． （2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． （3）(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． （4）(a＋b)99 的二项展开式共有100项． Tk+1 =an-kbk，称为二项展开式中第(k+1)项． 二项式系数最大的项为中间一项或中间两项． 二项展开式中，其中(k = 0,1,2…,n)称为二项式系数，确与a，b无关． (a＋b)n的二项展开式共有(n+1)项 求(1＋x)n 的展开式. 令a=1，b=x代入得 解： (a＋b)n=an+an-1b1+an-2b2+…+an-kbk+bn 求(x＋2)5的展开式. 解： (a＋b)n=an+an-1b1+an-2b2+…+an-kbk+bn 令a=x，b=2代入得 ． 求(2＋)n 的展开式. 解：法1： 解：法2： ． 求 展开式中 的系数. 根据二项式通项： 得 的展开通项式为 ，再根据指数确定项数，进而求解． 解： 因为 中y的次数为3，所以由二项式通项 ， 得k=3 ． ． 因此， 的系数是-280 ． 今天是星期三，计算8100 天后是星期几？ 解： 7的整数倍 而最后一项是 ，故 天后是星期四． 二项式 的展开式中X3的系数为多少？ 解： 通项为 ， 令 ，则 ， ． 1.二项式定理是初中乘法公式的推行，是排列与组合知识点的具体应用． 根据多项式的乘法法则，我们可以得到展开式的每一项为 ；根据计数原理，我们可以得出 的同类项个数为 ； 2.根据分类加法计数原理，二项展开式为 ； 3.会利用二项式定理求二项展开式，以及利用二项式通项求二项式系数． (a＋b)n=an+an-1b1+an-2b2+…+an-kbk+bn 课堂小结 作业：教材176页练习第1，2，3，4题． 已知在　　　　 （n∈N*）的展开式中，第6项为常数项． （1）求n；（2）求展开式中所有的有理项（只需说明第几项是有理项）． （1）　　　　　 的二项展开式的通项为 ∵第6项为常数项， ∴当k＝5时，有 　　　　　　　 ＝0， 即n＝10． 　　　　　　 及题意，得 （2）根据二项展开式的通项 已知在　　　　 （n∈N*）的展开式中，第6项为常数项． （1）求n；（2）求展开式中所有的有理项（只需说明第几项是有理项）． 令 　　 ＝r（r∈Z）， 则10－2k＝3r． 即k＝ ． ∵k∈N且0≤k≤10． ∴r可取2，0，－2， 即k可取2，5，8． 故展开式中的第3项，第6项与第9项为有理项． 展开式中系数和的求法 对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式中各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可； 对形如（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式中各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 一般地，令f（x）＝（ax＋b）n，即f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则（ax＋b）n的展开式中各项系数之和为f（1）； 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ 　　　　　 ； 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ 　　　　 ． 已知（3x－1）7＝a0x7＋a1x6＋a2x5＋a3x4＋a4x3＋a5x2＋a6x＋a7． （1）求a4的值； （2）求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|的值； （3）求a1＋a3＋a5＋a7的值． 令7－r＝3，得r＝4， 解析：（1）（3x－1）7的展开式的通项为 　　　　　 　　　　（r＝0，1，…，7）， 所以a4＝ ＝945． 已知（3x－1）7＝a0x7＋a1x6＋a2x5＋a3x4＋a4x3＋a5x2＋a6x＋a7． （1）求a4的值； （2）求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|的值； （3）求a1＋a3＋a5＋a7的值． 解析： （2）设（3x＋1）7＝b0x7＋b1x6＋b2x5＋b3x4＋b4x3＋b3x2＋b6x＋b7， 则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|＝b0＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7， 令x＝1，可得b0＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＝（3×1＋1）7＝16 384， 即|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a7|＝16 384． 解析：（3）令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝27， 令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝（－4）7， 则2（a1＋a3＋a5＋a7）＝27－47＝27－214， 所以a1＋a3＋a5＋a7＝26－213＝－8 128． 已知（3x－1）7＝a0x7＋a1x6＋a2x5＋a3x4＋a4x3＋a5x2＋a6x＋a7． （1）求a4的值； （2）求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|的值； （3）求a1＋a3＋a5＋a7的值． $