5.2.2排列数公式课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版数学选择性必修第一册

5.2.2 排列数公式 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n，且m，n ∈N+) 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 我们把从n个不同元素中取出m (m≤n，且m，n ∈N+) 个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 ． 不是数 是数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的排列数（mn）是 求排列数吗？ 假定从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，每一种放法就对应一个排列． n n-1 n-2 n-m+1 … 第1步，从n个球中任选一个放入第1个盒子； 共有n种方法 第2步，从剩下的(n-1)个球中任选1个放入第2个盒子； 共有(n-1)种方法 第3步，从剩下的(n-2)个球中任选1个填在第3个盒子； 共有(n-2)种方法 第m步，从剩下的[n-(m-1)]个球中任选1个填在第m个盒子； 共有(n-m+1)种方法 根据分步乘法计数原理， m个空位的填法种数为n (n-1) (n-2) (n-m+1) . 盒子 方法数 1 2 3 m … 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的排列数（mn）是 1.有m个因数； 2.各因数从n开始依次减小1． 排列数公式 我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．这时mn，即有 ． 叫做n的阶乘，用n!表示，即 !． 我们规定，1, ! 1． 计算下列排列数（1）； （2）； （3）； （4）． 解：根据排列数公式，可得 （1）； （2）； （3）； （4） ． 利用1，2，3，4这4个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ ① 1，2，3，4这4数字中，选择三个不同的数字 ②对选出的数字进行排列 解：因为，所以利用1，2，3，4这4个数字，可以组成24个没有重复数字的三位数． 现有红、黄、蓝3种颜色的旗子各一面，如果用它们其中的若干面挂在一个旗杆上发出信号，那么一共可以组成多少种信号？ 旗杆上可以挂1面旗子，也可以挂2面、3面旗子，因此，需要分类计数． 挂出的旗子顺序不同表示的信号也不同，因此，对每一类来说是一个排列问题． 解：根据分析，可知需要分3类进行： 第1类，旗杆上挂1面旗子，可以组成种信号； 第2类，旗杆上挂2面旗子，可以组成种信号； 第3类，旗杆上挂3面旗子，可以组成种信号． 因此，根据分类加法计数原理，一共可以组成++种信号．   求排列问题的方法可以归纳为以下几步： ①判断排列问题； ②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子； ③利用排列数公式求出结果． 课堂小结 作业：教材168页，练习1，2 先计算，然后用计算工具检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：根据排列数公式，可得 （1）； （2）； （3）； （4）． 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ 分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列． 解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队． 按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为 6×5＝30． （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 分析： 3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列； 而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列． 5×4×3＝60． 5×5×5＝125． 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素． 一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题． 解法1：如图所示， 由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有 种取法； 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法． ＝9×9×8＝648． 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法2：如图所示， 符合条件的三位数可以分成三类： 第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有种取法； 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有 种取法； 第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法． ××＝9×8×7＋9×8＋9×8＝648． 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 从0～9这10个数字中选取3个的排列数为 ， 其中0在百位上的排列数为 ， 它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为 ＝10×9×8－9×8＝648． 含有数字“0”的排列问题中，有些隐含了数字“0”不能在首位的条件，应将其视为有限制条件的元素优先进行排列．若在一个题目中，除了数字“0”以外还有其他受限制的数字，则应考虑受限制的数字对位置的选择会不会影响数字“0”对位置的选择，若有影响，则应分类讨论． 数字排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类排列问题的主要方法是按照“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论． 从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数．若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数． 若卡片9被抽取，且0未被抽取，百位，十位与个位有种，9又可当6，共2种，则这样的三位数有 ×2（9或6）＝36个； 分三种情况：若卡片9没有被抽取，第一步百位数字种，十位与个位有种，有则这样的三位数有 ×＝18个； 若卡片9被抽取，且0被抽取，第一步9又可当6共2种，第二步3，5，7选一个数字出来共3种，第三步9，0，和被选出来的数字，组成三位数，共有2种，则这样的三位数有2×3×2＝24个． 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个： （1）无重复数字且个位数字不是5的六位数？ （2）无重复数字且比1 325大的四位数？ （3）无重复数字的六位数？若这些六位数按从小到大的顺序排成一列，则240 135是该列数的第几项？ 解析：（1）解法一：间接法． 0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有 个， 0在十万位且5在个位的六位数有 个． 故符合题意的六位数共有 ＝504个． 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个： （1）无重复数字且个位数字不是5的六位数？ （2）无重复数字且比1 325大的四位数？ （3）无重复数字的六位数？若这些六位数按从小到大的顺序排成一列，则240 135是该列数的第几项？ 解法二：直接法． 第一类：当个位数字为0时，符合题意的六位数有 个； 第二类：当个位数字不为0时，符合题意的六位数有 个． 故符合题意的六位数共有 ＝504个． 十万位数字的排法因个位上数字为0与不为0而有所不同，因此需分两类： 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个： （1）无重复数字且个位数字不是5的六位数？ （2）无重复数字且比1 325大的四位数？ （3）无重复数字的六位数？若这些六位数按从小到大的顺序排成一列，则240 135是该列数的第几项？ 解析：（2）符合题意的四位数可分为三类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共 个； 第二类：形如14□□，15□□，共有 个； 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有 第三类：形如134□，135□，共有 个． ＝270个． 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个： （1）无重复数字且个位数字不是5的六位数？ （2）无重复数字且比1 325大的四位数？ （3）无重复数字的六位数？若这些六位数按从小到大的顺序排成一列，则240 135是该列数的第几项？ 由于是六位数，故十万位不能为0，则十万位为1的有 个，十万位为2， 万位上为0或1或3的共有 个， ∵ ＝193， 解析：（3）符合题意的六位数共有 ＝600个． ∴240 135是该列数的第193项． $