5.1 第1课时 投影的概念与中心投影1（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

该初中数学教案聚焦“投影的概念与中心投影”，以皮影戏观赏、学生灯光下手影观察为导入，从生活现象抽象数学概念，构建“生活实例-概念辨析-性质应用”的学习支架。 本资料以合作探究为主线，通过辨析路灯与阳光影子差异培养数学眼光，借助影子作图、相似三角形计算影子长度发展推理意识与模型观念，助力学生建立空间观念，为教师提供结构化探究式教学方案。

5.1　投　影 第1课时　投影的概念与中心投影 1.了解投影和中心投影的含义，体会灯光下物体的影子在生活中的应用；（重点） 2.通过观察、想象，能根据灯光来辨别物体的影子，初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化.（难点） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情景导入 皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲，表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐. 学生在灯光下做不同的手势，观察映射到屏幕上的表象. 二、合作探究 探究点一：中心投影的概念 下列投影中，不属于中心投影的是（　　） A.晚上路灯下小孩的影子 B.汽车灯光照射下行人的影子 C.阳光下沙滩上人的影子 D.舞台上一束灯光下演员的影子 解析：A中晚上路灯的光线是从一个点发出的，故晚上路灯下小孩的影子是中心投影；B中汽车灯的光线也是从一点发出的，故在汽车照射下行人的影子是中心投影；C中阳光的光线是互相平行的，不是从一个点发出的，故不是中心投影；D中舞台上的一束灯光也是从一个点发出的，灯光下演员的影子是中心投影.故选C. 方法总结：形成中心投影的光线是从一点发出的，各光线相交于一点（即光源处）. 探究点二：中心投影的性质 【类型一】 中心投影的作图 一天晚上，小丽在路灯下玩，如图所示.你能画出小丽在路灯下的影子吗？（用线段表示） 解：光是沿直线传播的，以光源S为端点过点C作射线，交地面于点A，则线段AB即可看作是小丽的影子.如图所示. 方法总结：作一物体在路灯下的影子时，连接点光源和物体的顶端的点并延长，与地面相交，则与地面的交点和物体的底端之间的线段即为该物体的影子. 如图所示，由两根直立的木杆在一路灯下的影子判断路灯灯泡的位置. 解：如图所示，两条光线的交点O即为灯泡所在的位置. 方法总结：相交光线的交点即为点光源所在的位置.点光源下两个物体的影子可能在同一个方向，也可能不在同一个方向. 【类型二】 中心投影的变化规律 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（　　） 　　A.逐渐变短 B.先变短后变长 C.先变长后变短 D.逐渐变长 解析：在路灯下，路灯照人所形成的投影是中心投影.人的影子可以通过路灯和人的头顶作直线，该直线和地面的交点到人的距离即为他的影子的长度.因此人离路灯越远，他的影子就越长.由A到B这一过程中，人在地上的影子先逐渐变短，当他走到路灯正下方时，影子为一点，然后又逐渐变长.故选B. 方法总结：在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近时影子短，离点光源远时影子长. 【类型三】 中心投影的有关计算 如图所示，晚上，小明由路灯AD走向路灯BC，当他行至点P处时，发现他在路灯BC下的影长为2m，且影子的顶端恰好在A点，接着他又走了6.5m至点Q处，此时他在路灯AD下的影子的顶端恰好在B点（已知小明的身高为1.8m，路灯BC的高度为9m）. （1）计算小明站在点Q处时在路灯AD下影子的长度； （2）计算路灯AD的高度. 解析：由路灯、小明都垂直于地面，知AD∥PE∥QH∥BC，用相似三角形中的比例线段可求解. 解：（1）如图所示，∵EP⊥AB， CB⊥AB，∴EP∥BC， 　　∴∠AEP＝∠ACB，∠APE＝∠ABC， ∴△AEP∽△ACB. ∴＝，即＝， 解得AB＝10（m）. ∴QB＝AB－AP－PQ＝10－2－6.5＝1.5（m）， 即小明站在点Q时在路灯AD下影子的长度为1.5m； （2）同理可证△HQB∽△DAB， ∴＝，即＝，解得AD＝12（m）. 即路灯AD的高度为12m. 方法总结：解决本题的关键是构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求出对应线段的长度. 三、板书设计 影子是生活中常见的现象，在探索物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念.通过在灯光下摆弄小棒、纸片，体会、观察影子大小和形状的变化情况，总结规律，培养学生观察问题、分析问题的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $