5.1投影 (1) 导学案 　2025—2026学年北师大版 数学九年级上册

5.1投影 (1) 导学案 【学习目标】了解投影、中心投影的含义. 【学习重难点】会进行中心投影的有关画图； 【导学过程】 一.探究新知： 1.引入：在日常生活中，我们可以看到各种各样的影子，比如，太阳光照射到窗框、石头等物体上时，会在墙壁或地面上留下影子，而皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子。 2.概念：(1)物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面称为投影面。(2)手电筒、路灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影.解： 二.典例与练习： 例1．确定图1路灯灯泡的位置． 图1 图2 练习：1.如图2是两棵小树在同一盏路灯下的影子． 请你在图中画出形成树影的光线． 2.如图3是两棵小树在同一盏路灯下的影子． （1）确定该路灯的灯泡的位置；图3 （2）画出图中婷婷影长的线段． 例2.如图4，一个广场中央有一盏路灯． （1）高矮相同的两个人在这盏灯下的影子一定一样长吗？图4 如果不一定，那么什么情况下他们的影子一样长？ （2）高矮不同的两个人在这盏灯下的影子有可能一样长吗？ 图5 （3）一个人在该路灯旁边走动，他在这盏路灯下影子的长度与他到 灯柱底部的距离有什么关系？ 练习：3.如图5，一个广告牌挡住了路灯的灯泡． （1）确定该路灯的灯泡的所在位置； （2）在图中画出表示小赵身高的线段． 4.如图6，甲、乙两盏路灯相距20米，一天晚上，当小刚从甲走到距路灯图6 乙底部4米处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身 高为1.6米，那么路灯甲的高为 米． 三.课堂小结：1.从一个点发出的光线所形成的投影称为_________. 2.由光源画出物体的影子，由物体的影子确定光源. 四.分层过关： 1.如图7，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，A B 这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短图7 2.如图8，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现 身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部A处，当他向前再步行20m到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部B处，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是( )图8 A．24m B．25m C．28m D．30m 3.大双、小双兄弟二人的身高相同，可是在灯光下，哥哥大双的影子比弟弟小双的影子短，这是因为　 　．图9 4.如图9，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=1.5m，CD=4.5m，点P到CD的距离为2.7m，则AB与CD间的距离是　 m． 5.一天晚饭后，姐姐小丽带着弟弟小刚出去散步，经过一盏路灯时，小刚突然高兴地对姐姐说：“我踩到你的‘脑袋’了”．（1）确定小刚此时所站的位置；（2）如果此时小刚的影子与姐姐小丽的影子一样长，在图中画出表示小刚身高的线段．图10 思考题：一圆柱形器皿在点光源P下的投影如图所示，已知AD为该器皿底面圆的直径，且AD=3，CD为该器皿的高，，，点D在点P下的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交界处，即点B处，点A在点P下的投影为，求点到CD的距离．图11 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1投影 (1) 导学案 【学习目标】了解投影、中心投影的含义. 【学习重难点】会进行中心投影的有关画图； 【导学过程】 一.探究新知 1.引入：在日常生活中，我们可以看到各种各样的影子，比如，太阳光照射到窗框、石头等物体上时，会在墙壁或地面上留下影子，而皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子。 2.概念：(1)物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面称为投影面。(2)手电筒、路灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影.解：如图，过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，两线相交于点O，点O就是路灯灯泡的位置。 二.典例与练习： 1．确定图1路灯灯泡的位置． 图1 图2 练习：1.如图2是两棵小树在同一盏路灯下的影子． 请你在图中画出形成树影的光线． 2.如图3是两棵小树在同一盏路灯下的影子．图3 P B A （1）确定该路灯的灯泡的位置；P点是灯泡的位置. （2）画出图中婷婷影长的线段．婷婷的影长是线段AB. 例2.如图4，广场中央有一盏路灯． （1）高矮相同的两个人在这盏灯下的影子一定一样长吗？图4 如果不一定，那么什么情况下他们的影子一样长？ 答：不一定；当他们到灯柱底部的距离相同时影子一样长. （2）高矮不同的两个人在这盏灯下的影子有可能一样长吗？ 答：有可能一样长；当较矮的人到灯柱底部的距离比较高的人到灯 柱底部的距离远时两人的影长有可能一样长.图5 P A B （3）一个人在该路灯旁边走动，他在这盏路灯下影子的长度与他到 灯柱底部的距离有什么关系？答：距离越远影子就越长. 练习：3.如图5，一个广告牌挡住了路灯的灯泡． （1）确定该路灯的灯泡的所在位置；答：P点是灯泡的所在位置. （2）在图中画出表示小赵身高的线段．答：AB是表示小赵身高的线段. 4.如图6，甲、乙两盏路灯相距20米，一天晚上，当小刚从甲走到距路灯图6 乙底部4米处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身 高为1.6米，那么路灯甲的高为 8 米． 3. 课堂小结： 1.从一个点发出的光线所形成的投影称为中心投影. 2.由光源画出物体的影子，由物体的影子确定光源. 四.分层过关： 1.如图7，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，A B 这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ A ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短图7 2.如图8，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现 身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部A处，当他向前再步行20m到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部B处，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是( D )图8 A．24m B．25m C．28m D．30m 3.大双、小双兄弟二人的身高相同，可是在灯光下，哥哥大双的影子比弟弟小双的影子短，这是因为　哥哥靠灯近　．图9 4.如图9，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=1.5m，CD=4.5m，点P到CD的距离为2.7m，则AB与CD间的距离是1.8m． 5.一天晚饭后，姐姐小丽带着弟弟小刚出去散步，经过一盏路灯时，小刚突然高兴地对姐姐说：“我踩到你的‘脑袋’了”．（1）确定小刚此时所站的位置；（2）如果此时小刚的影子与姐姐小丽的影子一样长，在图中画出表示小刚身高的线段．图10 解：(1)他在姐姐的身后；（2）AB即为姐姐的身高的位置. 思考题：一圆柱形器皿在点光源P下的投影如图所示，已知AD为该器皿底面圆的直径，且AD=3，CD为该器皿的高，，，点D在点P下的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交界处，即点B处，点A在点P下的投影为，求点到CD的距离． 解：由题得：△APD∽△PB,△PDE∽△PB,∴图11 又DE=C=1，AD=BC=3，∴∴B=12 ∴点到CD的距离是：B+BC=12+3=15. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$