1.2一元二次方程的解法 （基础提升练习）2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年苏科版数学九年级上册 1.2一元二次方程的解法 （基础提升练习） 【题型一】直接开平方法解方程 【例1】一元二次方程＝0的根为（　　） A． B． C．， D．， 【例2】用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　） A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝ C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝ 【例4】方程x2- =0的根为_______． 【例5】如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是_______． 【例6】解方程： （1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0． 【题型二】配方法解方程 【例1】用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A. B． C． D． 【例2】某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例3】用配方法解关于的一元二次方程，此方程可变形为　　 A． B． C． D． 【例4】填空： （1）______． （2）______． （3）___________． 【例5】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例6】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次系数化为1，得第一步 移项得：第二步 配方得：，即第三步 由此可得：第四步 所以，第五步 （1）小明同学解题过程中，从第　　步开始出现错误． （2）请给出正确的解题过程． 【题型三】公式法解方程 【例1】下列一元二次方程没有实数根的是（   ） A． x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0 【例2】关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【例3】关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【例4】方程的根的判别式Δ＝_____，其根的情况 _____． 【例5】用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【例6】已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【题型四】因式分解法解方程 【例1】方程x（x﹣2）＝3x的解为（    ） A． x＝5 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣5 【例2】下列方程能用因式分解法求解的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A.x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【例4】若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【例5】用因式分解法解方程： （1）3x（2x+1）＝2（2x+1）； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． 【例6】阅读下面的例题． 解方程： ． 解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． （2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． ∴原方程的解是 ， ． 请参照上述方法解方程 ． 【题型五】换元法解方程 【例1】若，则的值为(       ) A．7 B．-3 C．7或-3 D．21 【例2】已知，则的值是（       ） A．3或 B．或2 C．3 D． 【例3】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【例4】已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 　 　． 【例5】请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知，求的值． 解：设，则原方程变形为， 即 ∴ 得t1＝﹣2，t2＝1 ∴或 已知，求的值． 【例6】解方程：． 解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设， 则原方程可化为，∴，∴，∴， ∴或， ∴方程的解为，． 任务： (1)上述小论文的解析过程中，解方程的过程主要用了______． A．直接开平方法　　　B．配方法　　C．因式分解法　　　D．公式法 (2)解方程：． 答案解析 【题型一】直接开平方法解方程 【例1】一元二次方程＝0的根为（　　） A． B． C．， D．， 【答案】A 【例2】用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【例3】计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　） A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝ C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝ 【答案】D 【例4】方程x2- =0的根为_______． 【答案】x=± 【例5】如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是_______． 【答案】 【例6】解方程： （1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0． 【答案】解：（1）4x2＝49， x2＝， ∴， ∴x1＝，x2＝﹣； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0， （2x﹣1）2＝25， ∴2x﹣1＝±5， ∴x1＝3，x2＝﹣2． 【题型二】配方法解方程 【例1】用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A. B． C． D． 【答案】B 【例2】某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【例3】用配方法解关于的一元二次方程，此方程可变形为 　　 A． B． C． D． 【答案】C 【例4】填空： （1）______． （2）______． （3）___________． 【答案】 16 36 6 【例5】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】（1）解：， ， ， ∴， 解得：； （2）解：， ， 即， ∴， 解得：； （3）解：， ∴， ∴， 即， 解得：； （4）解：， ， ， ， ∴， 解得：． 【例6】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次系数化为1，得第一步 移项得：第二步 配方得：，即第三步 由此可得：第四步 所以，第五步 （1）小明同学解题过程中，从第　　步开始出现错误． （2）请给出正确的解题过程． 【答案】解：（1）小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故本题答案为：三； （2）， ， ， ，即，， 所以，． 【题型三】公式法解方程 【例1】下列一元二次方程没有实数根的是（   ） B． x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0 【答案】C 【例2】关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【例3】关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【例4】方程的根的判别式Δ＝_____，其根的情况 _____． 【答案】     12     有两个不相等的实数根 【例5】用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】（1）解： 化为一般式得：， ∴， ∴， ∴原方程无解； （2）解：， 化为一般式得， ∴， ∴， ∴原方程无解． 【例6】已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【答案】（1）证明：由题意知：Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2， ∵（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根； （2） 解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2， 方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2， ∴△ABC的周长＝2+2+1＝5； 当b＝a＝1或c＝a＝1时， 把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1， 方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去， ∴△ABC的周长为5． 【题型四】因式分解法解方程 【例1】方程x（x﹣2）＝3x的解为（    ） B． x＝5 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣5 【答案】B 【例2】下列方程能用因式分解法求解的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【例3】在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A.x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【例4】若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【答案】 【例5】用因式分解法解方程： （1）3x（2x+1）＝2（2x+1）； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． 【答案】（1）∵3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（3x﹣2）＝0， 则2x+1＝0或3x﹣2＝0， 解得x1＝﹣，x2＝； （2）∵（x﹣3）2＝（5﹣2x）2， ∴x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5， 解得x1＝，x2＝2． 【例6】阅读下面的例题． 解方程： ． 解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． （2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． ∴原方程的解是 ， ． 请参照上述方法解方程 ． 【答案】（1）当 时，原方程化为 ， 解得 ， （不合题意，舍去）． （2）当 时，原方程化为 ， 解得 ， （不合题意，舍去）． 故原方程的解是 ， ． 【题型五】换元法解方程 【例1】若，则的值为(       ) A．7 B．-3 C．7或-3 D．21 【答案】A 【例2】已知，则的值是（       ） A．3或 B．或2 C．3 D． 【答案】C 【例3】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【例4】已知（a2+b2）（a2+b2﹣6）＝16，则a2+b2的值为 　 　． 【答案】8 【例5】请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知，求的值． 解：设，则原方程变形为， 即 ∴ 得t1＝﹣2，t2＝1 ∴或 已知，求的值． 【答案】设 ∴ 即， ∴， 解得：，（舍去） ∴ 即的值为． 【例6】解方程：． 解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设， 则原方程可化为，∴，∴，∴， ∴或， ∴方程的解为，． 任务： (1)上述小论文的解析过程中，解方程的过程主要用了______． A．直接开平方法　　　B．配方法　　C．因式分解法　　　D．公式法 (2)解方程：． 【答案】（1）解：由解题过程可知，上述小论文的解析过程中，解方程的过程主要用了配方法， 故答案为：B； （2）解：设，则原方程可化为， 即， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 经检验是原方程的解， 所以原方程的解是． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $