专题14.2 三角形全等的判定 讲义 2025～2026学年人教版（2024）数学八年级上册

专题14.2 三角形全等的判定 (知识梳理及题型总结) ·模块一 非直角三角形全等的判定 ·模块二 直角三角形全等的判定 ·模块三 课后作业 模块一 非直角三角形全等的判定 1. 边边边的判定方法 （1） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） （2） 数学余元表达：如图所示，AB=DE，AC=DF，BC=EF，则△ABC≌△DEF。 2. 边角边的判定方法 （1） 两边和它们夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） （2） 数学语言表达：如上图所示，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，则△ABC≌△DEF。 3. 角边角的判定方法 （1） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”） （2） 数学语言表达：如上图所示，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF。 4. 角角边的判定方法 （1） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2） 数学语言表达：如上图所示，∠A=∠D，∠B=∠E ，AC=DF，则△ABC≌△DEF。 【考点1 边边边的判定方法】 【例1.1】如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ． 【例1.2】如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【变式1.1】如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的理由是 ． 【变式1.2】如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【考点2 边角边的判定方法】 【例2.1】如图，是全等三角形的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅰ和Ⅲ 【例2.2】能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】如图，已知，，要说明，若以“”为依据，还需添加的一个条件为 ． 【变式2.2】已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【考点3 角边角及角角边的判定方法】 【例3.1】如图，已知，，要利用“”判定，应添加的条件是 ． 【例3.2】如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是 ． 【变式3.1】如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)延长至点E，使，求证：． 【变式3.2】如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 模块二 直角三角形全等的判定 1. 斜边、直角边的判定法： （1） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） （2） 数学语言表达：如图表示，AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF。 【考点1 直角三角形的判定】 【例1.1】如图，在中，，点是边上的一点，于点，若，则 ． 【例1.2】如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】如图，已知，证明，则应添加的条件是 ． 【变式1.2】已知在与中，若，，，若则 度． 模块三 课后作业 1．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 2．如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 6．如图，与相交于点O，，若用“”来判定，则还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 7．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是（ ） A． B． C． D． 8．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（    ） A． B． C． D． 9. 如图，已知，垂足为，且，，，则 ． 10. 如图，点是的中点，若，，，可以判定与全等，则这两个三角形全等的判定依据是 （填字母）． 11. 如图，已知在和中，，求证： (1)； (2)． 12. 如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 13. 如图，已知，． 求证： (1)； (2)． 14． 如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 15. 如图，，，，求证：． 16. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 17． 如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.2 三角形全等的判定 (知识梳理及题型总结) ·模块一 非直角三角形全等的判定 ·模块二 直角三角形全等的判定 ·模块三 课后作业 模块一 非直角三角形全等的判定 1. 边边边的判定方法 （1） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） （2） 数学余元表达：如图所示，AB=DE，AC=DF，BC=EF，则△ABC≌△DEF。 2. 边角边的判定方法 （1） 两边和它们夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） （2） 数学语言表达：如上图所示，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，则△ABC≌△DEF。 3. 角边角的判定方法 （1） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”） （2） 数学语言表达：如上图所示，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF。 4. 角角边的判定方法 （1） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2） 数学语言表达：如上图所示，∠A=∠D，∠B=∠E ，AC=DF，则△ABC≌△DEF。 【考点1 边边边的判定方法】 【例1.1】如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据定理即可得． 【详解】解：①根据还需要添加一个条件是， ∴，即， 在和中， ， ∴． ②根据还需要添加一个条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（或）． 【例1.2】如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵和推不出， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【变式1.1】如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的理由是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图——基本作图，全等三角形的判定，由作图痕迹可知，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：从作图可知，， ， 的理由是， 故答案为：． 【变式1.2】如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； C．满足三角形全等的判定定理，符合题意； D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； 故选：． 【考点2 边角边的判定方法】 【例2.1】如图，是全等三角形的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅰ和Ⅲ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 利用两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形进行判定即可． 【详解】根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，可得Ⅰ和Ⅲ是全等三角形． 故选：D． 【例2.2】能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定条件逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、B、C中的条件都是，不能判定两个三角形是否全等，故不符合题意 D、满足“”，所以，符合题意， 故选：D． 【变式2.1】如图，已知，，要说明，若以“”为依据，还需添加的一个条件为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 分析由证明所需的条件，结合已知，即可得需要添加的条件． 【详解】 解：还需添加的一个条件为或，理由如下： 添加时， 在和中， ， ∴， 添加时， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 【变式2.2】已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，求出，根据得到两三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 【考点3 角边角及角角边的判定方法】 【例3.1】如图，已知，，要利用“”判定，应添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：在和中 ∴． 故答案为：． 【例3.2】如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定（），解题关键是掌握全等三角形的判定（）． 根据全等三角形的判定（），添加条件即可． 【详解】解：，， 添加或， 可根据“”， 判断， 故答案为：或． 【变式3.1】如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)延长至点E，使，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的定义是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据角平分线的定义可进行求解； （2）由题意易得，然后可知，进而问题可求证． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴． 又∵平分， ∴； （2）证明：∵，且， ∴， ∴． 在与中，， ∴， ∴． 【变式3.2】如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）由可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴． 模块二 直角三角形全等的判定 1. 斜边、直角边的判定法： （1） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） （2） 数学语言表达：如图表示，AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF。 【考点1 直角三角形的判定】 【例1.1】如图，在中，，点是边上的一点，于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据可证． 【详解】解：，，， 在和中， ， 故答案为：． 【例1.2】如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 【变式1.1】如图，已知，证明，则应添加的条件是 ． 【答案】答案不唯一，如． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定．根据全等三角形的判定求解． 【详解】解：∵， ∴， 又， 添加条件，可根据证明； 添加条件，可根据证明； 添加，可根据证明； 添加，可根据证明， 故答案为：答案不唯一，如． 【变式1.2】已知在与中，若，，，若则 度． 【答案】130或50 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，作一个角等于已知角，作三角形，根据题意作，，再作交于点，点，作于点G，作于点H，易证，再根据三角形全等的性质即可解答． 【详解】解：如图，作，，再作交于点，点，作于点G，作于点H， 当为锐角， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当为钝角时， 同理得， ∴； ∴； 综上，的角度为或． 故答案为：130或50． 模块三 课后作业 1．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 2．如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的判定及性质，关键利用全等三角形的判定定理证明，然后利用全等三角形的性质求解的度数． 【详解】在和中， ， ∴， ∴， 故选： D． 3．如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，进而得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 4．如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明，再运用三角形外角性质得，最后由三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 6．如图，与相交于点O，，若用“”来判定，则还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定：判定一般三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”，需熟练掌握．要用“”判定，根据已知条件，有和，因此需要或． 【详解】解：∵，， ∴用“”判定，要补充． 故选：D． 7．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察作图痕迹，确定两个三角形的对应角和对应边，依据全等三角形判定定理来判断．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的“ASA”判定定理是解题的关键． 【详解】解：由作图痕迹可知，，，， ，，， ． 故选：B． 8．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“角边角”证明，可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，已知，垂足为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，即可求出 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 同理可证 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 10. 如图，点是的中点，若，，，可以判定与全等，则这两个三角形全等的判定依据是 （填字母）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 11. 如图，已知在和中，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定（SSS）与性质，解题的关键是通过线段和差得到全等所需的边，再利用全等性质推导角相等． （1）通过推导出，结合三组对边相等，用“”证三角形全等． （2）利用全等三角形对应角相等，得出． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中，， ∴（） （2）证明：∵， 12. 如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定有关知识，根据等式的性质可得，运用证明与全等，得到，利用同位角相等，两直线平行得到结论． 【详解】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 13. 如图，已知，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线的性质得，从而利用判定； （2）根据全等三角形的性质得，由等角的补角相等可得，再由平行线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ． 14． 如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形,熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．根据已知易得：，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 15. 如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 根据线段的和差可得，再结合运用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，得，即可根据“”证明，根据全等三角形的性质即可得证． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ， 即． 17． 如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，                                     在和中， ， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $