1.1.2集合的基本关系课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.2 集合的基本关系 1，设某校高一(1)班全体35位同学组成集合P,其中女同学组成集合M, 2.用A表示所有矩形组成的集合,B表示所有平行四边形组成的集合, 即有:若a∈M,则a∈P. 即有:若a∈A,则a∈B. 3、所有的有理数都是实数,即有:若a∈Q,则aER 抽象概括 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集, 记作A⊆B(或B⊇A), 读作“A包含于B”(或“B包含A"). 实数中a≤b A⊆B(或B⊇A) 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即若a∈A,则a∈B, 那么称集合A是集合B的子集, 记作A⊆B(或B⊇A)读作“A包含于B”(B包含A) 比如,设某校高一(1)班全体35位同学组成集合P,其中女同学组成集合M,就是M⊆P. 显然,任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A. 子集的定义 规定;空集是任何集合的子集.也就是说,对于任意一个集合A,都有∅⊆A 为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图. 图1-1直观地表示了用A表示所有矩形组成的集合,B表示所有平行四边形组成的集合,集合A是集合B的子集, 图1-2直观地表示了有理数集Q是实数集R的子集. 对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素, 这时,我们就说集合A与集合B相等 (如图1-3), 记作A=B. 例如,A={x |(x—7)(x+5)=0},B={-5,7},不难看出， A=B. 等集 即对于两个集合A与B,若A⊆B,且B⊆A,则A=B. 类似于a≥b，b≥a，则a=b. 例：设x∈R，由实数x、－x、|x|、、－、－、所组成的集合M，最多含有元素的个数为(　　)A．3个 B．4个C．6个 D．7个 A 元素的互异性 练习1 若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求实数x的值． [解析]　∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等，∴两集合含有相同的元素 即{x，x2}一定含有－1这个元素 由于x2≥0，∴x＝－1. 2. 已知集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是________． 解：当a＝0时，A＝{－2}符合题意； 当a≠0时，则Δ≥0，即1－8a≥0， 解得a≤ 且a≠0. 综上可知，a的取值范围是{a|a≤ }． 4. 集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n ＋2，n∈Z}， C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}，对任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论． [正解]　设a＝3m＋1(m∈Z)， b＝3t＋2(t∈Z)， 则a＋b＝3(m＋t)＋3， 当m＋t是偶数时，设m＋t＝2k(k∈Z)， 有a＋b＝6k＋3(k∈Z)，则a＋b∈C； 当m＋t为奇数时，设m＋t＝2k－1(k∈Z)， 有a＋b＝6k(k∈Z)，则a＋b∉C 综上可知不一定有a＋b∈C. 对于两个集合A与B,如果A⊆B,并且A≠B, 我们就说集合A是集合B的真子集(如图), 记作A B(或B A). 真子集 读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 例如,{a,b} {a,b,c};N+ N Z Q R. {x |x-2} {x |x3} · · · -2 3 0 说说子集和真子集的区别？ (1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素 A的元素； (2)子集包括真子集和相等两种情况； (3)空集∅是任何 集合的真子集； (4)对于集合A,B,C,如果A B,B C,那么A___C; 如果A B,B⊆C,那么A___C;如果A⊆B,B C,那么A___C。 不是 非空 当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时, 记作A B(或B A). 例如,集合A={1,3,5},集合B={2,4,6}, 则A B（如图1-5); 集合A={1,3,5},集合B={5,7,9}, 则A B（如图1-6). 读作A不包含于集合B 知识 例3 某造纸厂生产练习本用纸,当纸的白度和不透明度都合格时,该产品才合格.若用A表示练习本用纸合格的产品组成的集合,B表示纸的白度合格的产品组成的集合,C表示纸的不透明度合格的产品组成的集合,则下列包含关系哪些成立? A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A. 试用Venn图表示这三个集合的关系. 解 由题意知,A⊆B,A⊆C成立,它们的关系可用Venn图(如图)表示. 又如,集合{x|x≥9}与集合{X|X≤3}的关系, 可以表示为{x|x≥9} {X|X≤3}(如图1-7); 数集的表示常借助于数轴. 又如,集合{x|x≥9}与集合{X|X≤12}的关系, 可以表示为{x|x≥9} {X|X≤12}(如图1-8); 例4写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. 解由子集的定义知,集合{0,1,2)的子集的元素个数最少为0个,最多为3个.按照子集中元素的个数,由少到多依次写出集合{0,1,2}的所有子集,得,Φ，{0}.{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}, {0,1,2}.显然,上述8个子集除了集合{0,1,2}以外,其余7个集合都是它的真子集. 小结:一个集合有n个元素，那么这个集合有2n个子集， 有2n-1个真子集(别忘记了空集） 非空真子集数为2n-2 易混符号 ①“”与“”： “”元素与集合之间是属于关系； “”集合与集合之间是包含于关系。 如：1  N，—1N，Φ  R，{1} {1，2，3} ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合， Φ是不含任何元素的集合。 如：Φ  {0}。不能写成Φ={0}，Φ∈{0} 但Φ {Φ}这个是对的，此时的Φ是一个元素 a与{a}的区别 一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合， 因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}⊆{1,2,3}，a∈{a，b，c}，{a}⊆{a，b，c}． (3)空集是集合中的特殊现象，A⊆B包括A＝∅的情形容易漏掉，解题时要特别留意．(空集优先) 不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A=∅时，A⊆B，但A中不含任何元素； 又当A=B时，也有A⊆B，但A中含有B中所有元素，这两种情况都有A⊆B. 下列各组集合M与N中，表示相等集合的是( ) A.M={(0,1)},N={0,1} B.M={(0,1)},N={(1,0)} C.M={(0,1)},N={(x,y)|x=0且y=1} D.M={π},N={3.14} 【解析】C.对A，由于集合M是点集，集合N是数集，故M和N不相等；对B，虽然都是点集，但元素表示不同的点，故M和N不相等；对D，由于π是无理数，3.14是有理数，故M和N不相等. C 2.同时满足： ①M⊆{1,2,3,4,5},②若a∈M,则6-a∈M的非空集合M有( ) A.16个 B.15个 C.7个 D.6个 【解析】选C.∵1+5=2+4=3+3=6,∴集合M可能为单元素集合：{3}； 二元素集合：{1,5},{2,4}； 三元素集合：{1,3,5}, {2,3,4}, 四元素集合:{1,2,4,5},五元素集合：{1,2,3,4,5}，共7个. 3.已知集合A={x|a＜x＜5},B={x|x≥2}，且满足A⊆B，求实数a的取值范围. 解 ①当a≥5时，A=∅，此时有A⊆B; ②当a＜5时，要使A⊆B，如图，需a≥2，所以2≤a＜5. 综上，a的取值范围为a≥2. 例：已知集合A={x|1<ax<2,},B={x|,-1<x<1,}是否存在实数a满足A⊆B.若存在,求出a的取值范围. 集合A中含有参数a ,在化简A时注意讨论.出现集合间的包含关系时应注意考虑集合是否是空集. 【规范解答】(1)当a=0时，A=∅,满足条件 (2)当a≠0时，分两种情况: ①a>0时，A={x| <x< },B={x|-1<x<1} ∵A⊆B,且a>0,∴ ∴a≥2. ②当a<0时，A={x| <x< }B={x|-1<x<1} ∵A⊆B,∴ 综上可知，a≤-2或a=0或a≥2. ∴a≤-2. 　1.已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}， B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 作业布置 [解]　 当B＝∅时，只需2a＞a＋3，即a＞3； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得 a＋3＜－1 a＋3≥2a， 解得a＜－4或2＜a≤3. 或 2a＞4 (a＋3≥2a) 综上可得，实数a的取值范围为a＜－4或a＞2. 2.设集合A={a|a=3n+2,n∈Z},集合B={b|b=3k-1,k∈Z} 证明：A=B. 解 ①对任意a∈A,则a=3n+2=3(n+1)-1(n∈Z)， ∵n∈Z,∴n+1∈Z, ②又对任意b∈B,则b=3k-1=3(k-1)+2(k∈Z), ∵k∈Z,∴k-1∈Z, ∴b∈A,故B⊆A 由①、②知，A=B. 3.若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且B⊇A，求p、q满足的条件． [解析]　因为B＝{1,2}，A⊆B，A≠∅. ∴A＝{1}，{2}或{1,2}． (1)A＝{1,2}时，Δ=0，p＝－3，q＝2； (2)A＝{1}时，Δ=0，p＝－2，q＝1； (3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4. 4.已知集合A={0.1},且集合B={xΙ x⊑A},求集合B. 解:因为A={0,l} , x⊑A， 所以x=∅或{0}或{1}或{0，1}， 所以B={{0}，{1}，{0，l} }. 5. 若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且B⊇A，求p、q满足的条件． 解：B＝{x|1，2}又B⊇A 当A＝∅时，△=p2-4q<0 当A＝{x|1} △=p2-4q=0 且1+p+q=0 q=1 p=-2 当A＝{x|2} △=p2-4q=0 且4+2p+q=0 p=-4 p=4 [解析]　由算术根的概念，|x|＝eq \r(x2)对任意的实数x都成立，所以在集合M中|x|与eq \r(x2)只能出现一个，又－eq \r(3,x3)＝－x也是恒成立的，所以集合M中－x与－eq \r(3,x3)也只能出现一个，又|x|必等于x与－x中的一个，而－eq \r(4,x4)＝－|x|，也必等于x与－x中的一个，且当x≠0时，x≠－x，一般地eq \r(x4)＝x2≠x，x2≠－x，所以集合M中的元素最多时有3个，故选A. 3. 数集A满足条件：若a∈A，则eq \f(1,1－a)∈A(a≠1)． (1)若2∈A，则集合A中必含有其它两个数，试求出这 两个数． (2)求证：若a∈A，则1－eq \f(1,a)∈A. 解: (1)由条件，若a∈A，则eq \f(1,1－a)∈A知，2∈A时，有eq \f(1,1－2)∈A 即－1∈A；再运用此条件有eq \f(1,1－(－1))∈A即eq \f(1,2)∈A； ∴eq \f(1,1－\f(1,2))＝2∈A 循环下去， 可知A中含有其它两个元素－1和eq \f(1,2). (2)∵a∈A，∴eq \f(1,1－a)∈A，∴eq \f(1,1－\f(1,1－a))∈A， 即1－eq \f(1,a)∈A. Multimedia Cloud Transcode (cloud.baidu.com) $