第2章有理数的运算讲义（19知识点回顾+37题型巩固） 2025-2026学浙教版年七年级数学上册同步讲义与测试

第2章 有理数的运算 章节（19知识点回顾+37题型巩固） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数加法运算律 3.有理数的减法法则 4.省略和式中的括号和加号 5.有理数的加减混合运算 6.有理数的乘法法则 7.有理数的乘法法则的推广 8.倒数 9.有理数的乘法运算律 10.有理数的除法法则 11.有理数的混合运算 12.有理数的乘方的意义 13.有理数的乘方运算 14.乘除和乘方的混合运算 15.科学记数法 16.有理数混合运算的法则 17.准确数与近似数的概念 18.近似数的精确度 19.计算器的使用 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法中的符号问题 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数加法运算律 五、有理数的减法运算 六、有理数减法的实际应用 七、有理数的加减混合运算 八、有理数加减中的简便运算 九、有理数加减混合运算的应用 十、省略加法和括号的形式 十一、两个有理数的乘法运算 十二、多个有理数的乘法运算 十三、有理数乘法的实际应用 十四、倒数 十五、有理数乘法运算律 十六、有理数的除法运算 十七、有理数除法的应用 十八、有理数乘除混合运算 十九、有理数乘除中的简便运算 二十、有理数四则混合运算 二十一、有理数四则混合运算的实际应用 二十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 二十三、数轴上的翻折 二十四、有理数幂的概念理解 二十五、有理数的乘方运算 二十六、有理数乘方逆运算 二十七、乘方运算的符号规律 二十八、乘方的应用 二十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 三十、将用科学记数法表示的数变回原数 三十一、程序流程图与有理数计算 三十二、算“24”点 三十三、含乘方的有理数混合运算 三十四、求一个数的近似数 三十五、求近似数的精确度 三十六、近似数推断取值范围 三十七、计算器——有理数 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 类型 加法法则 示例 同号相加 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 异号相加 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。 同0相加 一个数同0相加，仍得这个数。 2.有理数加法运算的关键步骤 知识点2.有理数加法运算律 运算律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 易错： 利用有理数的加法交换律时，要连同加数的符号一起交换，必要时需加括号，如(−6.6)+2+(−3.4)=2+(−6.6)+(−3.4)。 说明： 有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上的有理数相加。 知识点3.有理数的减法法则 1.有理数的减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用字母表示： 。 2.将减法转化为加法时要注意“两变一不变”：“两变”是指运算符号“-”需要变成“+ ”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变。 说明： （1）任何数减去0，仍得这个数；0减去一个数，得这个数的相反数。 （2）减法没有交换律，被减数与减数的位置不能改变。 知识点4.省略和式中的括号和加号 我们可以把算式 +(− )+(+ ) 中各个加数的括号和括号前面的加号省略，写成 − + ，这个算式仍可看作和式，读作“正 、负 与正 的和”（按式子表示的意义读），或者读作“ 减加 ”（按运算的意义读）。这样给算法的选择和书写带来方便。 知识点5.有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤： （1）遇减化加：利用减法法则，将减法转化为加法； （2）运用加法交换律和结合律，简化运算； （3）求出结果。 知识点6.有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，积为零。 说明： 一个数与1相乘等于它本身，与−1 相乘等于它的相反数。 知识点7.有理数的乘法法则的推广 1.多个不为0的有理数相乘时，积的符号由负乘数的个数决定。 （1）当负乘数的个数为奇数时，积的符号为负； （2）当负乘数的个数为偶数时，积的符号为正。 可简记为“奇负偶正”。 2.多个有理数相乘，若其中有一个乘数为0，则积为0，即“有0得0”。 3.多个有理数相乘的步骤： （1）看：看乘数是否有“0”，若有，则积为0。 （2）定：按照负乘数的个数（“奇负偶正”）确定积的符号。 （3）求：把几个乘数的绝对值相乘。 知识点8.倒数 1.倒数的定义：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。0没有倒数。 注意： 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫作另一个数的倒数，单独的一个数不能称为倒数。 2.倒数的性质：如果,b互为倒数，那么×b=1 。 3.倒数的判定：若×b=1，则，b 两数互为倒数。 4.求倒数的方法： 类型 方法 示例 非零整数 的倒数 用这个数作分母，1作分子，即直接写成 。 3的倒数是 ，−3 的倒数是− 。 分数 的倒数 把这个分数的分子和分母交换位置， 即的倒数是 。 − 的倒数是− , 的倒数是 。 带分数的倒数 先把带分数化成假分数，再交换分子和分母 的位置。 −1=−，所以−1 的倒数是− 。 小数的倒数 先把小数化成分数，再求其倒数。 −0.5=− ，所以−0.5的倒数是−2 。 知识点9.有理数的乘法运算律 在有理数运算中，乘法的交换律、结合律和分配律同样成立。 运算律 文字叙述 用字母表示 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因 数的位置，积不变。 ×b=b× 。 5×(−6)=(−6)×5 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (×b)×c=× (b×c) 。 [7×(−6)]×5=7×[(−6)×5] 。 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 ×(b+c)=× b+×c 。 5×(−6+7)=5×(−6)+ 5×7 。 分配律也可以逆用：×b+×c=×(b+c)。 知识点10.有理数的除法法则 有理数的除法法则（一）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 说明：（1）0不能作为除数。 （2）两个有理数相除，若商为1，则这两个数相等；若商为−1 ，则这两个数互为相反数。 有理数的除法法则（二）： 除以一个数（不等于零），等于乘 这个数的倒数。 用字母表示：÷b=a×=(b≠0) 。 知识点11.有理数的混合运算 1.有理数的乘除混合运算： （1）计算顺序：按照从左往右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的。 （2）计算方法：先把除法转化为乘法，然后按照有理数的乘法法则求出结果。 注意： 将乘除运算统一为乘法运算后，可以运用乘法交换律、结合律或分配律简化运算。 2.有理数的加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算中，按照从左往右的顺序计算。 知识点12.有理数的乘方的意义 概念 示例 乘方 求几个相同因数的积的运算，叫作乘方。 （乘方是一种运算，幂是乘方的结果） n个相乘的积记作： 幂 乘方的结果叫作幂。 指数（相同的因数的个数） 底数（相同的因数） 底数 在中， 叫作底数。 指数 在中，n 叫作指数。 说明：底数可以是任意有理数，指数n是正整数。 知识点13.有理数的乘方运算 1. 幂的符号法则： 说明：任何有理数的偶次幂都是非负数，即无论 取何值，都有≥0(为有理数，n为正整数) 。 2.有理数的乘方运算： 在计算有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，然后根据幂的符号法则确定结果的符号，再确定结果的绝对值。 示例1 有理数的乘方运算 知识点14.乘除和乘方的混合运算 对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。乘除和乘方的混合运算 乘除的混合运算 乘法运算 知识点15.科学记数法 1.科学记数法的概念：把一个较大的数表示成(1≤||<10) 与10的幂相乘的积的形式，叫作科学记数法。 2.科学记数法中的和n ： （1）的确定方法： 将原数的小数点移动到左起第一个不为0的数字的后面即可得到 的值。 （2）n的确定方法： ①原数的整数位数减去1即为n 的值；②小数点向左移动几位，n 就为几。 3.把用科学记数法表示的数还原： （1）×中的指数n 加上1就得到原数的整数位数，从而确定原数。 （2）把×中的小数点向右移动n 位即可，若向右移动的位数不够，则用“0”补足。 知识点16.有理数混合运算的法则 一般地，有理数混合运算的法则是： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 注意： 若属于同级运算，则按照从左往右的顺序进行计算。 说明： 进行混合运算时，可以灵活运用运算律，但应注意符号的确定以及运算顺序和方法的选择.例如，可以根据算式的结构特征，巧用整体思想、拆分消除等技巧，从而使运算准确、快捷。 示例4 有理数的混合运算 知识点17.准确数与近似数的概念 1.准确数与近似数： 概念 示例 准确数 与实际完全符合的数。 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级。 近似数 与实际接近的数。 某同学的身高约为156 cm ，体重约为53 kg 。 2.判断准确数与近似数的方法：一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数。 注意：有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数。例如，人口普查。 知识点18.近似数的精确度 1.近似数的精确度：是指与准确数的接近程度。 2.近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等。 注意：一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度。例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位。 3.近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一位。 示例5 确定近似数的精确度 说明： 对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位。 4.用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍。例如，2.55 精确到十分位为2.6。 知识点19.计算器的使用 计算近似数时，我们一般可用计算器作为辅助计算工具。常用的计算器有简易计算器、科学计算器和图形计算器等。用科学计算器进行混合运算的按键顺序与书写顺序基本相同。按精确度要求，将用计算器算得的结果取近似值，即可得到近似数。 注意： 不同型号计算器的按键顺序不一定相同，具体使用方法可参照计算器的说明书。 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算的结果是 ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)＋＋＋＋． 题型二、有理数加法中的符号问题 3．如果两个数的和是正数，那么（　　） A．这两个加数都是正数 B．一个加数为正数，另一个加数为0 C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上皆有可能 题型三、有理数加法在生活中的应用 4．2023年国庆，全国从29日到6日放假八天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中，闻名于世的某风景区，在9月29日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化 （万人） (1)10月3日的人数为_____万人． (2)八天假期里，游客人数最多的是_____日，达到_____万人．游客人数最少的是_____日，达到______万人． (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万位） 题型四、有理数加法运算律 5．在计算时，佳佳的板演过程如下： 解：原式． 老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？” 甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”； 乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”； 丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”． 下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对 题型五、有理数的减法运算 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列算式中计算结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，，且，求的值为 ． 题型六、有理数减法的实际应用 8．（24-25七年级·浙江温州·期末）如图是2025年温州市5月1日至5日每天最高、最低气温的折线统计图，在这5天中，日温差最小的一天是(　　) 2025年温州市5月1日至5日最高、最低气温统计图    A．1日 B．2日 C．4日 D．5日 题型七、有理数的加减混合运算 9．阅读理解下题的计算方法，并解决问题： 计算：． 解：原式 ． 上面的方法叫作拆项法，按此方法计算： ． 题型八、有理数加减中的简便运算 10．计算： (1)； (2)； (3)． (4)． 题型九、有理数加减混合运算的应用 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某公司去年每季度盈亏情况如下：“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：万元．第一季度；第二季度；第三季度，第四季度，则这个公司去年一年共 （填“盈利”或“亏损”） 万元． 题型十、省略加法和括号的形式 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十一、两个有理数的乘法运算 13．计算： (1)； (2)． 题型十二、多个有理数的乘法运算 14．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十三、有理数乘法的实际应用 15．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表所示（进库为正，出库为负，单位；吨）， 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 合计    表中星期四的进出数被墨水涂污了 (1)请算出星期四货品的进出数； (2)如果进出货品的装卸费都是每吨20元，那么这一周要付多少元装卸费？ 题型十四、倒数 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十五、有理数乘法运算律 17．（24-25七年级上·浙江·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型十六、有理数的除法运算 18．算式中的括号内应填（   ） A． B． C． D． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数． ，，，，，． 题型十七、有理数除法的应用 20．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 题型十八、有理数乘除混合运算 21．阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） 第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 题型十九、有理数乘除中的简便运算 22．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 题型二十、有理数四则混合运算 23．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 24．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值； (3)直接写出的值． 题型二十一、有理数四则混合运算的实际应用 25．（24-25七年级·浙江杭州·期末）规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 题型二十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 26．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二十三、数轴上的翻折 27．如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合． (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？ 题型二十四、有理数幂的概念理解 28．计算（    ） A． B． C． D． 题型二十五、有理数的乘方运算 29．若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 题型二十六、有理数乘方逆运算 30．平方等于121的数是 ． 题型二十七、乘方运算的符号规律 31．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二十八、乘方的应用 32．细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 题型二十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 33．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）2023年国家人口普查结果出炉：中国总人口达到了亿，将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 题型三十、将用科学记数法表示的数变回原数 34．整数68100…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．10个 题型三十一、程序流程图与有理数计算 35．按如图所示的运算程序，当输入，时，则输出的结果是 ． 题型三十二、算“24”点 36．“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 题型三十三、含乘方的有理数混合运算 37．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）对于正整数a、b，定义一种新运算，． (1)计算的值为______； (2)求的所有可能的值； (3)下列说法中正确的是______． ①                ② ③                ④ 题型三十四、求一个数的近似数 38．（2025七年级上·浙江·专题练习）中国国家图书馆是世界上最大、最先进的国家图书馆之一．截至年底，馆藏文献共计四千五百二十四万九千九百册，横线上的数写作 册；此数用“四舍五入”法省略“万”后面的尾数约是 万册． 题型三十五、求近似数的精确度 39．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 题型三十六、近似数推断取值范围 40．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一个数a精确到十分位的结果是，那么这个数a的范围满足（    ） A． B． C． D． 题型三十七、计算器——有理数 41．若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入：    表示的计算式正确的是(    ) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算 章节（19知识点回顾+37题型巩固） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数加法运算律 3.有理数的减法法则 4.省略和式中的括号和加号 5.有理数的加减混合运算 6.有理数的乘法法则 7.有理数的乘法法则的推广 8.倒数 9.有理数的乘法运算律 10.有理数的除法法则 11.有理数的混合运算 12.有理数的乘方的意义 13.有理数的乘方运算 14.乘除和乘方的混合运算 15.科学记数法 16.有理数混合运算的法则 17.准确数与近似数的概念 18.近似数的精确度 19.计算器的使用 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法中的符号问题 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数加法运算律 五、有理数的减法运算 六、有理数减法的实际应用 七、有理数的加减混合运算 八、有理数加减中的简便运算 九、有理数加减混合运算的应用 十、省略加法和括号的形式 十一、两个有理数的乘法运算 十二、多个有理数的乘法运算 十三、有理数乘法的实际应用 十四、倒数 十五、有理数乘法运算律 十六、有理数的除法运算 十七、有理数除法的应用 十八、有理数乘除混合运算 十九、有理数乘除中的简便运算 二十、有理数四则混合运算 二十一、有理数四则混合运算的实际应用 二十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 二十三、数轴上的翻折 二十四、有理数幂的概念理解 二十五、有理数的乘方运算 二十六、有理数乘方逆运算 二十七、乘方运算的符号规律 二十八、乘方的应用 二十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 三十、将用科学记数法表示的数变回原数 三十一、程序流程图与有理数计算 三十二、算“24”点 三十三、含乘方的有理数混合运算 三十四、求一个数的近似数 三十五、求近似数的精确度 三十六、近似数推断取值范围 三十七、计算器——有理数 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 类型 加法法则 示例 同号相加 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 异号相加 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。 同0相加 一个数同0相加，仍得这个数。 2.有理数加法运算的关键步骤 知识点2.有理数加法运算律 运算律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 易错： 利用有理数的加法交换律时，要连同加数的符号一起交换，必要时需加括号，如(−6.6)+2+(−3.4)=2+(−6.6)+(−3.4)。 说明： 有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上的有理数相加。 知识点3.有理数的减法法则 1.有理数的减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用字母表示： 。 2.将减法转化为加法时要注意“两变一不变”：“两变”是指运算符号“-”需要变成“+ ”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变。 说明： （1）任何数减去0，仍得这个数；0减去一个数，得这个数的相反数。 （2）减法没有交换律，被减数与减数的位置不能改变。 知识点4.省略和式中的括号和加号 我们可以把算式 +(− )+(+ ) 中各个加数的括号和括号前面的加号省略，写成 − + ，这个算式仍可看作和式，读作“正 、负 与正 的和”（按式子表示的意义读），或者读作“ 减加 ”（按运算的意义读）。这样给算法的选择和书写带来方便。 知识点5.有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的步骤： （1）遇减化加：利用减法法则，将减法转化为加法； （2）运用加法交换律和结合律，简化运算； （3）求出结果。 知识点6.有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，积为零。 说明： 一个数与1相乘等于它本身，与−1 相乘等于它的相反数。 知识点7.有理数的乘法法则的推广 1.多个不为0的有理数相乘时，积的符号由负乘数的个数决定。 （1）当负乘数的个数为奇数时，积的符号为负； （2）当负乘数的个数为偶数时，积的符号为正。 可简记为“奇负偶正”。 2.多个有理数相乘，若其中有一个乘数为0，则积为0，即“有0得0”。 3.多个有理数相乘的步骤： （1）看：看乘数是否有“0”，若有，则积为0。 （2）定：按照负乘数的个数（“奇负偶正”）确定积的符号。 （3）求：把几个乘数的绝对值相乘。 知识点8.倒数 1.倒数的定义：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。0没有倒数。 注意： 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫作另一个数的倒数，单独的一个数不能称为倒数。 2.倒数的性质：如果,b互为倒数，那么×b=1 。 3.倒数的判定：若×b=1，则，b 两数互为倒数。 4.求倒数的方法： 类型 方法 示例 非零整数 的倒数 用这个数作分母，1作分子，即直接写成 。 3的倒数是 ，−3 的倒数是− 。 分数 的倒数 把这个分数的分子和分母交换位置， 即的倒数是 。 − 的倒数是− , 的倒数是 。 带分数的倒数 先把带分数化成假分数，再交换分子和分母 的位置。 −1=−，所以−1 的倒数是− 。 小数的倒数 先把小数化成分数，再求其倒数。 −0.5=− ，所以−0.5的倒数是−2 。 知识点9.有理数的乘法运算律 在有理数运算中，乘法的交换律、结合律和分配律同样成立。 运算律 文字叙述 用字母表示 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因 数的位置，积不变。 ×b=b× 。 5×(−6)=(−6)×5 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (×b)×c=× (b×c) 。 [7×(−6)]×5=7×[(−6)×5] 。 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 ×(b+c)=× b+×c 。 5×(−6+7)=5×(−6)+ 5×7 。 分配律也可以逆用：×b+×c=×(b+c)。 知识点10.有理数的除法法则 有理数的除法法则（一）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 说明：（1）0不能作为除数。 （2）两个有理数相除，若商为1，则这两个数相等；若商为−1 ，则这两个数互为相反数。 有理数的除法法则（二）： 除以一个数（不等于零），等于乘 这个数的倒数。 用字母表示：÷b=a×=(b≠0) 。 知识点11.有理数的混合运算 1.有理数的乘除混合运算： （1）计算顺序：按照从左往右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的。 （2）计算方法：先把除法转化为乘法，然后按照有理数的乘法法则求出结果。 注意： 将乘除运算统一为乘法运算后，可以运用乘法交换律、结合律或分配律简化运算。 2.有理数的加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算中，按照从左往右的顺序计算。 知识点12.有理数的乘方的意义 概念 示例 乘方 求几个相同因数的积的运算，叫作乘方。 （乘方是一种运算，幂是乘方的结果） n个相乘的积记作： 幂 乘方的结果叫作幂。 指数（相同的因数的个数） 底数（相同的因数） 底数 在中， 叫作底数。 指数 在中，n 叫作指数。 说明：底数可以是任意有理数，指数n是正整数。 知识点13.有理数的乘方运算 1. 幂的符号法则： 说明：任何有理数的偶次幂都是非负数，即无论 取何值，都有≥0(为有理数，n为正整数) 。 2.有理数的乘方运算： 在计算有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，然后根据幂的符号法则确定结果的符号，再确定结果的绝对值。 示例1 有理数的乘方运算 知识点14.乘除和乘方的混合运算 对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。乘除和乘方的混合运算 乘除的混合运算 乘法运算 知识点15.科学记数法 1.科学记数法的概念：把一个较大的数表示成(1≤||<10) 与10的幂相乘的积的形式，叫作科学记数法。 2.科学记数法中的和n ： （1）的确定方法： 将原数的小数点移动到左起第一个不为0的数字的后面即可得到 的值。 （2）n的确定方法： ①原数的整数位数减去1即为n 的值；②小数点向左移动几位，n 就为几。 3.把用科学记数法表示的数还原： （1）×中的指数n 加上1就得到原数的整数位数，从而确定原数。 （2）把×中的小数点向右移动n 位即可，若向右移动的位数不够，则用“0”补足。 知识点16.有理数混合运算的法则 一般地，有理数混合运算的法则是： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 注意： 若属于同级运算，则按照从左往右的顺序进行计算。 说明： 进行混合运算时，可以灵活运用运算律，但应注意符号的确定以及运算顺序和方法的选择.例如，可以根据算式的结构特征，巧用整体思想、拆分消除等技巧，从而使运算准确、快捷。 示例4 有理数的混合运算 知识点17.准确数与近似数的概念 1.准确数与近似数： 概念 示例 准确数 与实际完全符合的数。 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级。 近似数 与实际接近的数。 某同学的身高约为156 cm ，体重约为53 kg 。 2.判断准确数与近似数的方法：一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数。 注意：有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数。例如，人口普查。 知识点18.近似数的精确度 1.近似数的精确度：是指与准确数的接近程度。 2.近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等。 注意：一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度。例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位。 3.近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一位。 示例5 确定近似数的精确度 说明： 对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位。 4.用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍。例如，2.55 精确到十分位为2.6。 知识点19.计算器的使用 计算近似数时，我们一般可用计算器作为辅助计算工具。常用的计算器有简易计算器、科学计算器和图形计算器等。用科学计算器进行混合运算的按键顺序与书写顺序基本相同。按精确度要求，将用计算器算得的结果取近似值，即可得到近似数。 注意： 不同型号计算器的按键顺序不一定相同，具体使用方法可参照计算器的说明书。 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】6 【知识点】有理数加法运算 【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果． 本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：6． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)＋＋＋＋． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数加法运算律及加法运算法则，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． （1）先将分数化为小数，再由加法结合律恒等变形，最后由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （2）先由加法交换律与结合律恒等变形，再由有理数的加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ． 题型二、有理数加法中的符号问题 3．如果两个数的和是正数，那么（　　） A．这两个加数都是正数 B．一个加数为正数，另一个加数为0 C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上皆有可能 【答案】D 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数的加法法则分析判断即可． 【详解】解：如果两个数的和是正数，可能这两个加数都是正数，如； 一个数为正数，另一个加数为0，两个数的和是正数，如； 一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则两个数的和为正数，如． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法法则，理解并熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 题型三、有理数加法在生活中的应用 4．2023年国庆，全国从29日到6日放假八天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中，闻名于世的某风景区，在9月29日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化 （万人） (1)10月3日的人数为_____万人． (2)八天假期里，游客人数最多的是_____日，达到_____万人．游客人数最少的是_____日，达到______万人． (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万位） 【答案】(1) (2)10月1；；10月6；． (3)该风景区在这八天内一共接待了26万游客． 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数的加法的实际应用： （1）将加上9月30日，10月1，2，3的变化量可求解； （2）分别计算每天的游客数量，再求和可得结果； （3）把（2）中每天的数的绝对值相加，即可求解． 【详解】（1）解：万人， 即10月3日的人数为万人； （2）解：9月30日的人数为万人， 10月1日的人数为万人， 10月2日的人数为：万人， 10月3日的人数为：万人， 10月4日的人数为：万人， 10月5日的人数为：万人， 10月6日的人数为：万人， 所以七天假期里，游客人数最多的是10月1日，达到万人． 游客人数最少的是10月6日，达到万人． （3）解：万人， 所以该风景区在这八天内大约一共接待了万游客． 题型四、有理数加法运算律 5．在计算时，佳佳的板演过程如下： 解：原式． 老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？” 甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”； 乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”； 丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”． 下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（    ） A．甲同学说的对 B．乙同学说的对 C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】根据加法运算律的定义进行解答即可． 【详解】解：由到既运用了加法交换律，也运用了加法结合律，所以丙同学说的对，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了加法的交换律和结合律，熟记加法交换律和结合律，，，是解题的关键． 题型五、有理数的减法运算 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列算式中计算结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据加减运算的法则，进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，结果为负数，不符合题意； B、，结果为正数，符合题意； C、，结果为负数，不符合题意； D、，结果为负数，不符合题意； 故选B． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，，且，求的值为 ． 【答案】50或10 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的减法，判断出的对应值是解本题的关键． 根据绝对值的性质求出，再判断出的对应情况，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可． 【详解】，， ， 时，，， ，， 综上所述：的值为50或10． 故答案为：50或10． 题型六、有理数减法的实际应用 8．（24-25七年级·浙江温州·期末）如图是2025年温州市5月1日至5日每天最高、最低气温的折线统计图，在这5天中，日温差最小的一天是(　　) 2025年温州市5月1日至5日最高、最低气温统计图    A．1日 B．2日 C．4日 D．5日 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查有理数减法的应用，分析统计图中每天的温差即可求出答案． 【详解】解：1日的温差为：， 2日的温差为：， 3日的温差为：， 4日的温差为：， 5日的温差为：， 所以4日的温差最小． 故选：C． 题型七、有理数的加减混合运算 9．阅读理解下题的计算方法，并解决问题： 计算：． 解：原式 ． 上面的方法叫作拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数加法运算，理解阅材料内容中的做拆项法，按照拆项法应用有理数的混合运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型八、有理数加减中的简便运算 10．计算： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．熟练掌握加法的交换律和结合律是解答本题的关键． 题型九、有理数加减混合运算的应用 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某公司去年每季度盈亏情况如下：“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：万元．第一季度；第二季度；第三季度，第四季度，则这个公司去年一年共 （填“盈利”或“亏损”） 万元． 【答案】 盈利 4 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（万元）， 即这个公司去年一年共盈利4万元， 故答案为：盈利；4． 题型十、省略加法和括号的形式 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 利用去括号法则省略括号后即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 题型十一、两个有理数的乘法运算 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二、多个有理数的乘法运算 14．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数的乘法法则计算可判断A、C、D三项，根据乘法分配律计算可判断B项，进而可得答案． 本题考查了有理数的乘法运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A．，故错误， B．，故错误， C．,故错误， D. ，故正确． 故选D． 题型十三、有理数乘法的实际应用 15．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表所示（进库为正，出库为负，单位；吨）， 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 合计    表中星期四的进出数被墨水涂污了 (1)请算出星期四货品的进出数； (2)如果进出货品的装卸费都是每吨20元，那么这一周要付多少元装卸费？ 【答案】(1)星期四货品的进出数为吨； (2)这一周要付2940元装卸费． 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查有理数的符号表示的实际意义以及有理数的加减和乘法运算． （1）用合计减去其它天数即可推断出星期四的进出数． （2）先求出总的装卸货物的重量，再根据总价等于单价乘以总重量，故可解决此题． 【详解】（1）解：（吨） 答：星期四货品的进出数为吨； （2）解：（元） 答：这一周要付2940元装卸费． 题型十四、倒数 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此解答各题即可． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据倒数的定义求解即可； （3）根据倒数的定义求解即可； （4）根据倒数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的倒数是； （2）∵， ∴的倒数是； （3）∵，， ∴的倒数是； （4）∵， ∴的倒数是． 题型十五、有理数乘法运算律 17．（24-25七年级上·浙江·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律： （1）根据乘法分配律求解即可； （2）先把原式变形为，再根据根据乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十六、有理数的除法运算 18．算式中的括号内应填（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算 【分析】此题主要考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据有理数的除法运算法则即可求解． 【详解】解：括号内应填． 故选：D． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）把下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数． ，，，，，． 【答案】见解析 【知识点】有理数的除法运算 【分析】此题主要考查了分数和小数的互化，掌握分数与除法的关系是解题关键． 直接利用有理数的除法运算法则计算的，进而得出答案． 【详解】解：； ； ； ； ； ． 题型十七、有理数除法的应用 20．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 【答案】(1)67； (2)元 【知识点】有理数除法的应用、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据图形列出算式是解决本题的关键． （1）先求出每个卧室的边长，再根据图形求出客厅和卧室的面积之和即可； （2）根据题意列出算式即可求解． 【详解】（1）解：∵主卧与次卧是两个面积相等的正方形， ∴卧室的边长为m， ∴客厅的长为m， ∴两个卧室和客厅的面积总和； （2）解：（元） 题型十八、有理数乘除混合运算 21．阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） 第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错 (2)见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查了有理数的乘除运算． （1）根据有理数的乘除运算法则即可进行判断； （2）根据有理数的乘除运算法则写出解答过程即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算， 第二处是第三步，错误原因是符号弄错， 故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错； （2）解：原式 ． 题型十九、有理数乘除中的简便运算 22．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 题型二十、有理数四则混合运算 23．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 24．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值； (3)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可； （2）根据（1）中的等式相加，计算即可得到答案； （3）根据（2）的方法，计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ． （3）解： ． 题型二十一、有理数四则混合运算的实际应用 25．（24-25七年级·浙江杭州·期末）规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)4，8 (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，根据新运算的定义进行有关计算是解题的关键． （1）分别根据新运算的定义计算即可． （2）分别根据新运算的定义计算即可． （3）分别根据新运算的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 题型二十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 26．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了数轴上两数比较大小及有理数运算，解题关键是正确得出a，b的信息并熟练掌握有理数的加法法则和乘法法则. 先观察数轴可知：，根据得，然后然后对四个选项逐一分析即可. 【详解】观察数轴可知：， ∵， ∴， A．，，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； D．，所以，，此选项的结论正确，故此选项符合题意； 故选：D． 题型二十三、数轴上的翻折 27．如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合． (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？ 【答案】(1) (2)或3 (3)点M表示的数是1011，点N表示的数是 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查有理数与数轴，折叠问题，计算出折叠处的点表示的数是解题的关键． （1）计算出折叠处的点表示的数，即可求解； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或，分两种情况计算即可； （3）先计算出所在点到点M或点N的距离，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上数表示的点与数1表示的点重合， 折叠处的点表示的数为：， ，， 数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：由（1）知折叠处的点表示的数为：， 若点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或， 点A所表示的数为5时，，， 点B表示的数是； 点A所表示的数为时，，， 点B表示的数是3； 故答案为：或3； （3）解： M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合， 所在点到点M或点N的距离为：， 点M表示的数比点N表示的数大， 点M表示的数为：， 点N表示的数为：． 题型二十四、有理数幂的概念理解 28．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数幂，根据相同的数相加，用乘法，相同的数相乘用乘方，进行作答即可． 【详解】解：； 故选D． 题型二十五、有理数的乘方运算 29．若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 题型二十六、有理数乘方逆运算 30．平方等于121的数是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】根据有理数的乘方进行求解即可． 【详解】解：， 故平方等于121的数是； 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟记常见数字的平方是解题的关键． 题型二十七、乘方运算的符号规律 31．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）已知，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律 【分析】由非负数的性质可得：，，从而可得答案. 【详解】解：∵ 而， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值和偶次幂的非负性，能理解绝对值和偶次幂的非负性并灵活运用是解本题的关键． 题型二十八、乘方的应用 32．细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查乘方的应用．先根据题意求出分裂的次数，再根据有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解：分裂次数为：（次）， 1个这种细菌经过5个小时可以分裂成的细胞为：个， 故答案为：． 题型二十九、用科学记数法表示绝对值大于1的数 33．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）2023年国家人口普查结果出炉：中国总人口达到了亿，将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：亿． 故选：B 题型三十、将用科学记数法表示的数变回原数 34．整数68100…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．10个 【答案】B 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可． 【详解】解：用科学记数法表示为6.81×109的原数为6810000000， 所以原数中“0”的个数为7， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示形式a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 题型三十一、程序流程图与有理数计算 35．按如图所示的运算程序，当输入，时，则输出的结果是 ． 【答案】25 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，理解题目所提供的运算程序是解答本题的关键．首先理解图示，然后再代入求值． 【详解】解：，，， ， 故答案为：25． 题型三十二、算“24”点 36．“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．根据题意列式求解即可． 【详解】根据题意得，． 故答案为：． 题型三十三、含乘方的有理数混合运算 37．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）对于正整数a、b，定义一种新运算，． (1)计算的值为______； (2)求的所有可能的值； (3)下列说法中正确的是______． ①                ② ③                ④ 【答案】(1)0 (2)当a、b两数都是偶数时，原式；当a、b两数都是奇数时，原式；当a、b两数中一个是奇数，一个是偶数时，原式 (3)①③④ 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则、运算顺序以及对新定义的理解是解答此题的关键． （1）直接根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分三种情况进行讨论：①均为偶数；②中一个奇数一个偶数；③均为奇数；即可得出答案； （3）根据新定义的运算，一一进行判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0； （2）解：分三种情况进行讨论： ①当均为偶数时， ； ②当中一个奇数一个偶数时， ； ③当均为奇数时， ， 综上所述，的所有可能的值为2，0，； （3）解：①、，，故原式计算正确； ②、取，则，，故故原式计算错误； ③、，故原式计算正确； ④、，故原式计算正确； 综上计算正确的有：①③④； 故答案为：①③④． 题型三十四、求一个数的近似数 38．（2025七年级上·浙江·专题练习）中国国家图书馆是世界上最大、最先进的国家图书馆之一．截至年底，馆藏文献共计四千五百二十四万九千九百册，横线上的数写作 册；此数用“四舍五入”法省略“万”后面的尾数约是 万册． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写； 省略 “万” 后面的尾数求近似数时，需要看千位上的数字，千位上数字小于直接舍去尾数，大于等于向万位进再舍去尾数，最后加上“万”字．“四千五百二十四万九千九百”，万级上是，个级上是，所以写作； 【详解】解：“四千五百二十四万九千九百”，万级上是，个级上是， 写作：； ，千位数字是，， 要向万位进，， 然后把万位后面的数都舍去，再加上 “万” 字， 万． 故答案为：；4525 题型三十五、求近似数的精确度 39．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 【答案】D 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据题意利用近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：精确到十分位，故选项错误； 万精确到千位，故B选项错误； 精确到十位，故C选项错误； 精确到万位，故D选项正确． 故选：D． 题型三十六、近似数推断取值范围 40．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一个数a精确到十分位的结果是，那么这个数a的范围满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】此题考查了由近似数推断真值范围．根据四舍五入的近似法则，应看百分位上的数字，即可得到答案． 【详解】解：把a精确到十分位的近似数是，则a的取值范围是， 故选：D． 题型三十七、计算器——有理数 41．若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入：    表示的计算式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算器——有理数 【分析】根据科学计算器的按键意义回答即可． 【详解】解：依题意得：表示的计算式为：． 故选：A． 【点睛】 本题考查科学计算器的使用，掌握科学计算器的常用操作是解题的关键．注意：前面输入的数字是分子，后面输入的数字是分母；是前面数字的平方，不含符号；当然如果加了括号，需要把括号内的计算结果看成一个数． 学科网（北京）股份有限公司 $