专项突破1 圆中常见的辅助线的6种作法专项训练-2025-2026学年苏科版九年级数学上册【知识点过关+ 知识拓展+探究创新】

专项突破1 圆中常见的辅助线的6种作法 第一部分 专题典例剖析+针对训练 方法1 连半径——构造等腰三角形 名师指导：遇到弦时，连半径。作用：①链接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形。②连接圆周上一点和弦的两个端点们根据圆周角的性质得到相等的圆周角。 【典例1】（2024秋•沛县校级期中）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，延长AB，CD相交于点P，且AB＝2DP，∠P＝19°，则∠AOC＝ 　57　 °． 【分析】连接OD，由AB＝2DP＝2OD可得出OD＝DP，故可得出∠DOP的度数，根据三角形外角的性质求出∠ODC的度数，由三角形内角和定理求出∠COD的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接OD， ∵AB＝2DP＝2OD，∠P＝19°， ∴OD＝DP， ∴∠DOP＝∠P＝19°． ∴∠ODC＝∠P+∠DOP＝38°． ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC＝38°， ∴∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝180°﹣38°﹣38°＝104°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠DOP＝180°﹣104°﹣19°＝57°． 故答案为：57． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键． 【针对训练】 1．（2025•曲阜市二模）如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（　　） A．120° B．130° C．100° D．125° 【分析】连接OC，则∠1＝2∠A＝50°，由平行线的性质以及等腰三角形得到∠2＝∠3＝∠1＝50°，再由三角形内角和定理求出∠COD，再由角度和差计算即可． 【详解】解：连接OC， ∵∠A＝25°， ∴∠1＝2∠A＝50°， ∵BO∥CD， ∴∠2＝∠1＝50°， ∵OC＝OD， ∴∠2＝∠3＝50°， ∵∠2+∠3+∠COD＝180°， ∴∠COD＝180°﹣∠2﹣∠3＝80°， ∴∠BOD＝∠1+∠COD＝130°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 方法2 作弦心距——构造直角三角形 名师指导：解决有关弦的问题，长作弦心距，或者垂直于弦的半径，再连接过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦、弦心距的关系；③利用弦的一半，弦心距和半径组成的直角三角形，根据勾股定理求有关量。 【典例2】（2024秋•许昌期中）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（　　） A． B．2π C． D． 【分析】过点O作OD⊥BC，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作OD⊥BC，如图所示， 由折叠性质可知， ∴， 在Rt△OBD中， ∵OD， ∴∠OBD＝30°， ∴， ∵OD⊥BC，OD经过圆心， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【针对训练】 1．（2023秋•西丰县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长． 【详解】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CMCD， ∵BE＝1，AE＝5， ∴OCAB3， ∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2， ∵Rt△OME中，∠AEC＝30°， ∴OMOE2＝1， 在Rt△OCM中， ∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2， ∴CD＝2CM＝2×24． 故选：A． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解． 方法3 作圆周角——构造直角三角形 名师指导：遇到直径时，常添加直径所对的圆周角作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【典例3】（2025•滨湖区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【分析】连接AD，由圆周角定理可得∠ADE＝∠ACE，再根据直径所对的圆周角是直角即可解答． 【详解】解：连接AD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADE与∠ACE是同弧所对的圆周角， ∴∠ADE＝∠ACE， ∴∠ACE+∠BDE＝∠ADB＝90°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【针对训练】 1．（2023秋•扬州校级月考）如图，半圆O的直径AB＝20，弦AC＝12，弦AD平分∠BAC，AD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB＝∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE＝AF＝6，根据勾股定理，得DE＝8，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长． 【详解】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∴∠DEO＝∠AFO＝90°，AF＝FC， ∵AC＝12， ∴， 由角平分线可知， ∵， ∴∠BAC＝∠DOB， ∵AO＝DO， ∴△AOF≌△ODE（ASA）， ∴OE＝AF＝6， ∴AE＝AO+OE＝10+6＝16， 在Rt△DOE中，DE8， 在Rt△ADE中，AD8． 故选：C． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质、勾股定理．引辅助线构造全等三角形是解题的关键． 方法4 作直径——转移思想 名师指导：遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【典例4】（2024•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 　3　 cm． 【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可求出∠ADB＝60°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接AO并延长交⊙O于点D， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ADB＝∠ACB＝60°， 在Rt△ABD中，AD＝6cm， ∴AB＝63（cm）， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　） A．4 B．8 C．4 D．4 【分析】连接AB，可得△ABC是直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，利用三角函数可求出BC的长． 【详解】解：连接AB，如图所示， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°． ∵∠ADC＝30°， ∴∠ABC＝∠ADC＝30°． ∴在Rt△ABC中， ∵AC＝4， ∴BC4． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角相等”是解题的关键． 方法5 作弦——构造圆内接四边形 【典例5】（2024•市北区二模）如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为 　128　 度． 【分析】连接AD，关键圆周角定理得到∠ADC＝∠ADE，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，进而求出∠CDE． 【详解】解：连接AD， ∵， ∴∠ADC＝∠ADE， ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣116°＝64°， ∴∠CDE＝2×64°＝128°， 故答案为：128． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 针对训练 1．（2024秋•鼓楼区期中）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为40°，则∠B+∠D的度数为 　160　 °． 【分析】连接AB、DE，先求得∠ABE＝∠ADE＝20°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，即可求得∠B+∠D＝160°． 【详解】解：连接AB、DE，则∠ABE＝∠ADE， ∵为40°， ∴∠ABE＝∠ADE＝20°， ∵点A、B、C、D在⊙O上， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°， ∴∠B+∠D＝180°﹣∠ABE＝180°﹣20°＝160°． 故答案为：160． 【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键． 方法6 证切线的两种常见辅助线 题型1 有公共点——连半径，证垂直 名师指点：有切点，连半径，证垂直。 当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理。讲该点与圆心连接，再证明该半径与直线垂直。 【典例1】（2024秋•建邺区期中） 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 【分析】连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE为⊙O的切线． 【详解】证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD为⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE为⊙O的切线． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024•泗阳县模拟）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由； （2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长． 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得出∠EDO＝90°，根据平行线的性质求出∠ODA＝∠DOE，∠OAD＝∠BOE，求出∠DOE＝∠BOE，根据全等三角形的判定定理得出△DOE≌△BOE，根据全等三角形的性质得出∠EBO＝∠EDO＝90°，根据切线的判定定理证明即可； （2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理得出OD2+CD2＝OC2，求出r，根据AD∥OE推出，代入求出DE即可． 【详解】解：（1）直线BE与⊙O相切， 理由是：连接OD， ∵CD切⊙O于D， ∴OD⊥CE， 即∠EDO＝90°， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD∥OE， ∴∠ODA＝∠DOE，∠OAD＝∠BOE， ∴∠DOE＝∠BOE， 在△DOE和△BOE中， ， ∴△DOE≌△BOE（SAS）， ∴∠EBO＝∠EDO＝90°， 即OB⊥BE， ∵OB过圆心O， ∴直线BE与⊙O相切； （2）设⊙O的半径为r， 在Rt△ODC中，由勾股定理得：OD2+CD2＝OC2， 42+r2＝（r+2）2， 解得：r＝3， ∵AD∥OE， ∴， ∵CD＝4，CA＝2，AO＝3， ∴， 解得：DE＝6， 答：DE的长是6． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，直线与圆的位置关系，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理等知识点，能熟记切线的判定和性质定理是接此题的关键． 题型二 无公共点——作垂直，证半径 名师指点：无切点，作垂线，证相等。 需证明的切线，条件中为告知与圆有切点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径。 【典例7】（2025•南昌二模）如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D． （1）求证：AC是⊙O的切线． 【分析】连接OD，OA，作OE⊥AC于E，根据圆的切线的性质得出OD⊥AB，根据等腰三角形的性质得出AO平分∠BAC，从而OE＝OD，从而得出AC是⊙O的切线； 【详解】证明：如图1， 连接OD，OA，作OE⊥AC于E， ∵腰AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB， ∵AB＝AC，O是BC 的中点， ∴AO平分∠BAC， ∴OE＝OD， ∴AC是⊙O的切线； 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【针对训练】 1．（2023秋•华阴市期末）如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数． 【分析】（1）连接OM，过点O作ON⊥BC于N，先根据切线的性质得OM⊥AB，再由角平分线的性质得ON＝OM，进而根据切线的判定可得出结论； （2）设∠ABE＝α，根据角平分线的定义得ABE＝∠CBE＝α，∠ABC＝2α，再由EM∥BC得∠MEB＝∠CBE＝α，由OE＝OM得∠MEB＝∠OME＝α，由此得∠MOB＝2α，然后根据∠MOB+∠MBE＝90°求出α＝30°，进而可得∠ABC的度数． 【详解】（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥BC于N，如图所示： ∵点O为⊙O的圆心，AB为⊙O的切线，切点为M， ∴OM为⊙O的半径，且OM⊥AB， ∵BD为∠ABC平分线，点O为BD上的点，且OM⊥AB，ON⊥BC， ∴ON＝OM， 即ON为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：设∠ABE＝α， ∵BD为∠ABC平分线， ∴∠ABE＝∠CBE＝α，∠ABC＝2∠ABE＝2α， ∵EM∥BC， ∴∠MEB＝∠CBE＝α， ∵OE＝OM， ∴∠MEB＝∠OME＝α， ∴∠MOB＝∠MEB+∠OME＝2α， ∵OM⊥AB， ∴∠MOB+∠MBE＝90°， 即2α+α＝90°， ∴α＝30°， ∴∠ABC＝2α＝60°． 【点睛】此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和判定，等腰三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键． 第二部分 专题提升训练 1．（2024•黑龙江）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【分析】设圆心为O，连接OA、OB，如图，先证∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数． 【详解】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图， ∵弦AB的长度等于圆半径的倍， 即ABOA， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴∠ASB∠AOB＝45°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2．（2024•葫芦岛）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A．70° B．55° C．45° D．35° 【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA＝OB，可求出∠ABO的度数 【详解】解：连接OA、OC， ∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°， ∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°， ∵OA＝OB（都是半径）， ∴∠ABO＝∠OAB（180°﹣∠AOB）＝55°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．（2024•双柏县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得圆心角为90°，根据勾股定理求出AC，再根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出CD． 【详解】解：如图，连接OA，OC． ∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°， 在Rt△AOC中，根据勾股定理得： AC2． ∵CD⊥AB，∠CAB＝30°， ∴CDAC． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30°角的直角三角形，其中构造圆心角，利用圆周角定理是解题的关键． 4．（2023•白碱滩区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D，求AD的长 　　 ． 【分析】过C作CE⊥AB于E，根据垂径定理得出AD＝2AE，根据勾股定理求AB，根据三角形面积公式求出CE，根据勾股定理求出AE即可． 【详解】解：过C作CE⊥AB于E， ∵CE⊥AB，CE过圆心C， ∴AD＝2AE． ∵△ABC中，∠C是直角，AC＝9，BC＝12， ∴AB15， 由三角形的面积公式得：AC×BC＝AB×CE，即9×12＝15CE， ∴CE， 在△AEC中，由勾股定理得：AE， ∴AD＝2AE． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出AE的长，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中． 5．（2023•灞桥区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝2，DE＝5，则AE+CE＝（　　） A．5+5 B．5+4 C．5+3 D．7+3 【分析】过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，根据垂径定理解答即可． 【详解】解：过点O作OM⊥CD于点M，连接OD， ∴CM＝DM， ∵∠CEA＝30°， ∴∠OEM＝∠CEA＝30°， 在Rt△OEM中，∵OE＝2， ∴OMOE＝1，EM＝OE•cos30°＝2， ∵DE＝5， ∴DM＝DE﹣EM＝54， ∵OM过圆心，OM⊥CD， ∴CD＝2DM， ∴CD＝8， ∴CE＝CD﹣DE＝3， ∵OM＝1，DM＝4， ∴在Rt△DOM中，OD7， ∴OA＝OD＝7， ∴AE＝OA﹣OE＝7﹣2＝5， ∴AE+CE＝5+3． 故选：C． 【点睛】此题考查了垂径定理和直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法． 6．（2024秋•汉阳区期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点C，AE＝6，AD⊥CD于D，F为半圆弧AB的中点，EF交AC于点G． （1）求CD为长； （2）求EG的长． 【分析】（1）连接EB，OC交于M，根据角平分线定义得到∠DAC＝∠BAC，根据垂径定理得到OC⊥BE，推出四边形MCDE是矩形，根据勾股定理即可得到结论； （2）过G作GR⊥AD于R，GS⊥BE于S，设GR＝x，由F为半圆弧AB的中点，得到∠AEF＝∠BEF，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）连接EB，OC交于M， ∵AC平分∠DAB交⊙O于点E， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴， ∴OC⊥BE， ∵AB为⊙O的直径， ∴BE⊥AD， ∵AD⊥CD于D， ∴四边形MCDE是矩形， ∵OM＝CM，AO＝BO， ∴OMAE＝3， ∵OB＝5， ∴BM＝EM＝CD4； （2）过G作GR⊥AD于R，GS⊥BE于S，设GR＝x， ∵F为半圆弧AB的中点， ∴∠AEF＝∠BEF， ∴GR＝GS， ∵S△AEB6×8＝24， ∴（6+8+10）•x＝24， ∴x＝2， ∴EG＝2． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦，矩形的判定和性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键． 7．（2025•绵竹市模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求证：AB+BE＝AC． （3）若BE＝8，且BD：DC＝3：5，求AD的长． 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）根据HL先证明Rt△BDE≌Rt△DCF，再根据全等三角形对应边相等及切线的性质得出AB＝AF，即可得出AB+BE＝AC． （3）由（2）可知，BD＝DF，在Rt△DFC中，利用勾股定理可求出DF和DC，CF的长，易证△CDF∽△CAB，进而可求出AB的长，可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90° ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC ∴BD＝DF ∴AC与⊙D相切； （2）证明：在△BDE和△DCF中， ∵BD＝DF，DE＝DC， 在Rt△BDE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB＝FC． ∵AB＝AF， ∴AB+EB＝AF+FC， 即AB+EB＝AC． （3）由（2）可知，BD＝DF，CF＝BE＝8， ∵BD：DC＝3：5， ∴DF：DC＝3：5， 在Rt△CDF中，由勾股定理可知，DF＝6，DC＝10， ∴DF：CF＝3：4，BC＝BD+CD＝16， ∵∠CFD＝∠ABC＝90°， ∴△CDF∽△CAB， ∴DF：CF＝AB：CB＝3：4， ∴AB＝12， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD＝6． 【点睛】本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等． 8．（2024秋•临邑县期末）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C． （1）求证：AE与⊙O相切于点A； （2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求⊙O的直径． 【分析】（1）连接半径OA，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠OAE＝90°．即可证出结论； （2）连接OC，连接OA交BC于点H，证出OA⊥BC，CH＝BH，分别在△ABH，△OBH中通过勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接OA． ∴OA＝OD． ∴∠D＝∠DAO． ∵∠D＝∠C， ∴∠C＝∠DAO． ∵∠BAE＝∠C， ∴∠BAE＝∠DAO． ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°，即∠DAO+∠BAO＝90°． ∴∠BAE+∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°． ∴AE⊥OA． 又∵OA为⊙O的半径， ∴AE与⊙O相切于点A． （2）解：连接OC，连接AO交BC于点H， ∵AE∥BC，OA⊥AE， ∴OA⊥BC， ∴CH＝BHBC， 在Rt△ABH中， AH1， 在Rt△OBH中，设OB＝r， ∵OH2+BH2＝OB2， ∴（r﹣1）2+（）2＝r2， 解得：r＝2， ∴DB＝2r＝4． 即⊙O的直径为4． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破1 圆中常见的辅助线的6种作法 第一部分 专题典例剖析+针对训练 方法1 连半径——构造等腰三角形 名师指导：遇到弦时，连半径。作用：①链接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形。②连接圆周上一点和弦的两个端点们根据圆周角的性质得到相等的圆周角。 【典例1】（2024秋•沛县校级期中）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，延长AB，CD相交于点P，且AB＝2DP，∠P＝19°，则∠AOC＝ 　 　 °． 【针对训练】 1．（2025•曲阜市二模）如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（　　） A．120° B．130° C．100° D．125° 方法2 作弦心距——构造直角三角形 名师指导：解决有关弦的问题，长作弦心距，或者垂直于弦的半径，再连接过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦、弦心距的关系；③利用弦的一半，弦心距和半径组成的直角三角形，根据勾股定理求有关量。 【典例2】（2024秋•许昌期中）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（　　） A． B．2π C． D． 【针对训练】 1．（2023秋•西丰县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 方法3 作圆周角——构造直角三角形 名师指导：遇到直径时，常添加直径所对的圆周角作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【典例3】（2025•滨湖区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【针对训练】 1．（2023秋•扬州校级月考）如图，半圆O的直径AB＝20，弦AC＝12，弦AD平分∠BAC，AD的长为（　　） A． B． C． D． 方法4 作直径——转移思想 名师指导：遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【典例4】（2024•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 　 cm． 【针对训练】 1．（2024•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　） A．4 B．8 C．4 D．4 方法5 作弦——构造圆内接四边形 【典例5】（2024•市北区二模）如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为 　 度． 针对训练 1．（2024秋•鼓楼区期中）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为40°，则∠B+∠D的度数为 　 　 °． 方法6 证切线的两种常见辅助线 题型1 有公共点——连半径，证垂直 名师指点：有切点，连半径，证垂直。 当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理。讲该点与圆心连接，再证明该半径与直线垂直。 【典例1】（2024秋•建邺区期中） 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 【针对训练】 1．（2024•泗阳县模拟）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由； （2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长． 题型二 无公共点——作垂直，证半径 名师指点：无切点，作垂线，证相等。 需证明的切线，条件中为告知与圆有切点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径。 【典例7】（2025•南昌二模）如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D． （1）求证：AC是⊙O的切线． 【针对训练】 1．（2023秋•华阴市期末）如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数． 第二部分 专题提升训练 1．（2024•黑龙江）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 2．（2024•葫芦岛）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A．70° B．55° C．45° D．35° 3．（2024•双柏县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 4．（2023•白碱滩区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D，求AD的长 　 ． 5．（2023•灞桥区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝2，DE＝5，则AE+CE＝（　　） A．5+5 B．5+4 C．5+3 D．7+3 6．（2024秋•汉阳区期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点C，AE＝6，AD⊥CD于D，F为半圆弧AB的中点，EF交AC于点G． （1）求CD为长； （2）求EG的长． 7．（2025•绵竹市模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求证：AB+BE＝AC． （3）若BE＝8，且BD：DC＝3：5，求AD的长． 8．（2024秋•临邑县期末）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C． （1）求证：AE与⊙O相切于点A； （2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求⊙O的直径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $