21.2.1 配方法教学设计 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-09-18

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教学设计

教学课题	21.2.1 配方法
教学背景分析	作为 “解一元二次方程” 的核心方法课，配方法聚焦 “将一元二次方程转化为‘某个含未知数的式子的平方等于一个非负数’的形式，再用直接开平方法求解”，是 “从‘直接开平方法’到‘公式法’的思维过渡课”，承载着 “培养转化思想” 与 “铺垫公式推导” 的双重功能。教材以 “‘具体例子 — 步骤总结 — 拓展应用’” 为脉络，通过 3 个核心模块展开：①“配方本质感知”（从 “完全平方公式” 入手，对比 “含 x 的二次项与一次项的和” 和 “完整的完全平方式”，引导学生发现 “缺少的常数项是一次项系数一半的平方”，理解 “配方就是补全完全平方式”）；②“二次项系数为 1 的配方步骤”（以简单方程为例，分 4 步示范：先把常数项移到等号右边，再在左右两边同时加上 “一次项系数一半的平方”，将左边写成完全平方式，最后用直接开平方法求解，强调 “每一步都要保持方程平衡”）；③“二次项系数不为 1 的转化”（通过 “先将二次项系数变成 1” 的例子，讲解 “方程两边同时除以二次项系数” 的转化方法，再按系数为 1 的步骤配方，明确 “转化是前提，步骤需连贯”）。在教材体系中，本课不仅是 “技能课”，更是 “数学转化思想的培养课”，帮助学生建立 “‘陌生问题→转化为熟悉问题→用已有方法解决’的解题思维”，为后续 “求根公式推导”“二次函数顶点式求解” 铺垫 “配方变形” 的能力基础，是整个初中代数 “方程求解与式变形” 的关键课程。
教学目标	理解配方法的本质（通过添加合适的常数项，将一元二次方程左边转化为完全平方式，右边化为非负数，再用直接开平方法求解）；掌握二次项系数为 1 时配方法的完整步骤（移常数项到右边、加 “一次项系数一半的平方” 到两边、写左边为完全平方式、开平求解），能独立用配方法解此类一元二次方程，避免 “加错常数项”“破坏方程平衡” 等错误；学会将二次项系数不为 1 的一元二次方程转化为系数为 1 的形式（方程两边同时除以二次项系数），再按上述步骤配方求解，做到 “转化合理、步骤连贯”。通过 “观察对比（完全平方式与待配方式子的差异）— 尝试操作（按步骤完成简单配方）— 总结规律（提炼配方步骤与注意事项）— 拓展应用（处理系数不为 1 的方程）” 的流程，学会 “用配方法解一元二次方程的完整方法”；在小组合作 “步骤讨论（分析‘为什么要加一次项系数一半的平方’）”“错误辨析（找出配方过程中的错误步骤）” 的活动中，提升代数变形能力、逻辑推理能力与合作交流能力。

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重难点

①突破 “配方本质的深度理解” 难点 —— 避免 “只记步骤不懂原理”（如知道要加常数，却不明白 “加的数与一次项系数的关系”），难以解释 “为什么加‘一次项系数一半的平方’就能构成完全平方式”，导致无法灵活应对步骤变化；②突破 “配方时常数项的准确调整” 难点 —— 避免 “加错常数项”（如把 “一次项系数一半的平方” 算错）或 “只在左边加常数，右边不加”（破坏方程平衡），导致配方后方程与原方程不等价；③突破 “二次项系数不为 1 时的转化与步骤衔接” 难点 —— 避免 “转化时忘记两边同时除以系数”（直接按系数为 1 的步骤操作）或 “转化后步骤混乱”（除以系数后，忘记重新计算 “一次项系数一半的平方”），无法完整完成配方求解。

教学活动设计

教学环节	老师活动	学生活动	设计意图
一、情境导入（5 分钟）	1. 展示 “正方形拼补” 教具（边长为 x 的正方形卡片、长 x 宽 4 的长方形卡片若干），提问：“用 1 个边长为 x 的正方形和 2 个长 x 宽 4 的长方形，能拼出完整的大正方形吗？还差什么？”2. 引导学生动手拼摆：“拼出的大正方形边长是多少？差的部分是几个边长为 2 的小正方形？”（提示：大正方形边长为 x+4，差 4 个小正方形）3. 过渡：“拼补正方	1. 分组动手拼摆教具，观察发现 “现有卡片拼出的图形缺角，无法形成完整正方形”；2. 讨论得出 “需补 4 个边长为 2 的小正方形，拼成边长为 x+4 的大正方形”，直观感受 “补形” 的意义；3. 联想完全平方公式，初步理解 “配方” 与 “拼补正方形” 的相似性。	1. 用直观的拼摆活动，将抽象的 “配方” 转化为具象的 “补形”，降低理解难度，激发学习兴趣；2. 衔接旧知（完全平方公式），自然引出课题，为后续 “凑完全平方” 奠定认知基础。

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	形的‘补’，就像给方程‘补’一个数，让左边变成完全平方形式，这就是今天要学的‘配方法’。”
二、新知探究（20 分钟）	环节 1：二次项系数为 1 的方程配方（突破核心步骤）1. 出示方程：“x² + 8x - 9 = 0”，提问：“要让左边变成完全平方形式，第一步该做什么？” 引导学生发现 “左边有常数项，需先移走”；2. 示范 “移项”：“把 - 9 移到等号右边，变成 + 9，得到 x² + 8x = 9”，强调 “移项要变号”，让学生模仿练习 2 道类似移项题；3. 聚焦 “凑完全平方”：结合拼摆教具，提问 “x² + 8x 就像‘缺角的正方形’，补什么数能变完整？” 引导学生结合 “拼补时补 4 个小正方形（对应数字 16）”，总结 “取一次项	环节 1 对应学生活动1. 观察方程，尝试独立移项，同桌互相检查 “是否变号”，纠正 “移项忘变号” 的错误；2. 结合拼摆经验，理解 “8 的一半是 4，平方是 16” 的意义，计算后验证 “x² + 8x + 16 确实是完全平方”；3. 模仿老师步骤，独立完成解题，在 “两边加 16” 环节标注 “保持等式平衡”，强化记忆；4. 梳理步骤时，用自己的话描述每一步目的，加深理解。环节 2 对应学生活动1. 对比方程差异，讨论得出 “二次项系数不为 1 时，无法直接凑完	环节 1 设计意图1. 从简单方程入手，分步拆解 “移项 — 凑完全平方 — 保持平衡” 核心步骤，用 “拼补” 类比帮助学生理解配方本质，避免机械记忆；2. 通过模仿练习和互相检查，及时纠正 “移项忘变号”“只在左边加常数项” 等基础错误，落实 “二次项系数为 1 的配方” 教学重点。环节 2 设计意图1. 通过 “对比 — 提问 — 引导转化”，让学生主动发现 “化 1” 的必要性，突破 “二次项系数不为 1” 的教学难点；2. 让学生自主完

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