21.3 实际问题与一元二次方程（行程问题） 教学设计 2025-2026学年人教版(2012)数学九年级上册

教学课题

21.3 实际问题与一元二次方程（行程问题）

教学背景分析

“实际问题与一元二次方程（行程问题）” 是人教版九年级上册第二十一章的关键应用板块，承接前期 “一元二次方程解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）” 及 “增长率、营销、工程问题” 等方程应用知识，聚焦 “行程领域中路程、速度、时间” 三大核心要素，是一元二次方程在 “运动场景” 的典型实践。行程问题的本质是依托 “路程 = 速度 × 时间” 的基本公式，结合 “变速运动（加速、减速）”“相遇追及（相向、同向）”“往返行程（去程、回程）” 等复杂条件，构建一元二次方程模型，将实际行程中的目标（如 “缩短行程时间”“确定变速节点”）转化为代数方程求解。

从教材编排逻辑看，本课遵循 “从简单到复杂、从静态到动态” 的认知进阶：先以 “匀速直线运动” 的简单行程问题（如 “汽车以固定速度行驶，已知路程求时间”）回溯基本公式，筑牢根基；再过渡至 “一次变速运动”（如 “汽车先匀速，后提速行驶，已知总路程与总时间，求提速前速度”），引导学生理解速度变化对行程各要素的影响；最终拓展到 “多阶段变速、相遇追及混合” 的复杂行程（如 “两车相向而行，途中一车加速，另一车减速，相遇后继续行驶，已知总路程与各阶段时间，求初始速度”），深化对行程模型的理解。教材借助 “梳理行程要素（速度、时间、路程）— 分析变量关系（速度变化→时间路程调整）— 代入基本公式列方程 — 求解检验” 的步骤，既强化一元二次方程应用，又培育学生从运动场景抽象数学规律的建模能力，为后续学习 “函数视角下的行程问题（如用一次函数、二次函数刻画行程）” 奠基，是串联 “代数方程” 与 “运动分析” 的关键纽带。

教学目标

1. 牢固掌握行程问题核心公式：清晰 “路程 = 速度 × 时间”“平均速度 = 总路程 ÷ 总时间”，已知其中两个量，能准确算出第三个量（如已知汽车 2 小时行驶 120 千米，速度 = 120÷2 = 60 千米 / 小时）。
2. 精准梳理行程变量关系：精准识别 “匀速”“变速”“相遇”“追及”“往返” 等场景，用含未知数代数式表示各阶段速度、时间与路程：①汽车先以 v1 速度行驶 t1 小时，路程 s1 = v1×t1；②提速 x 千米 / 小时后，速度 v2 = v1 + x，行驶 t2 小时，路程 s2 =（v1 + x）×t2；③甲乙相向而行，甲速度 v 甲，乙速度 v 乙，相遇时间 t，总路程 s =（v 甲 + v 乙）×t。

3. 依据行程条件建立一元二次方程并求解：①如 “设汽车初始速度 v，提速 5 千米 / 小时，行驶 100 千米，总用时比原计划少 1 小时，列方程 100/v - 100/(v + 5)=1，整理得 v² + 5v - 500 = 0”；②如 “甲乙相距 200 千米，相向而行，甲速度比乙快 10 千米 / 小时，2 小时相遇，设乙速度 x，列方程 2 (x + x + 10)=200”，熟练选用因式分解法、公式法等解方程。

重难点

1. 掌握行程公式与变量梳理：熟练运用 “路程 = 速度 × 时间” 等公式，合理设元（优先设关键速度或时间），用代数式准确表示不同阶段行程要素（如汽车提速后路程）。
2. 构建一元二次方程模型：依据 “总路程 = 各阶段路程之和”“相遇路程 = 速度和 × 相遇时间” 等等量关系，结合变速、相遇追及条件，代入公式列一元二次方程，规避 “漏算某段路程”“混淆速度关系” 错误。
3. 规范求解与检验方程：择合适方法解一元二次方程，依行程实际约束（速度正、时间非负、路程合理）检验解，确保解契合出行场景。

教学活动设计