精品解析：四川省宣汉中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试数学试题（二）

四川省宣汉中学2024-2025学年度高2022级高三下学期高考数学模拟考试（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题.（每题5分，共40分） 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2. ＝（ ） A. 1＋2i B. 1－2i C. 2＋i D. 2－i 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法运算即可得解. 【详解】由题意， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算法则、细心计算是解题关键，属于基础题. 3. 已知向量 ， .那么“”是“ ”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由向量平行求出,再讨论充要性． 【详解】向量， ， ，则解之得, 则“”是“”的充分而不必要条件. 即向量 ,.那么“”是“ ”的充分而不必要条件. 故选：A． 4. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即， 所以，这个球的表面积为. 故选：C. 【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 5. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果． 【详解】解：当时，直线：即，直线：即，满足． 当时，直线与直线互相平行， ，解得实数． 综上，， 故选：． 【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题． 6. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ） A. 63 B. 72 C. 81 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质计算出，再用求和公式计算即可. 【详解】由是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得， 即，解得，代入，故. 故选：C. 7. 已知实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题中指数、对数函数都有，不能分参，可以转化为同构求解. 【详解】由可得 ， 易得函数在R上单调递增，所以恒成立， 即，设，， 在单调递减，在单调递增，可得， 则有. 故选：C. 8. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A. 增加，增加 B. 增加，减小 C. 减小，增加 D. 减小，减小 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 二、多选题.（共3题，18分） 9. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用，的关系，结合平方关系判断各项正误. 【详解】因为，则. 对于A，，可得，A正确； 对于B，由A可知，，则， 所以，则，B正确； 对于C，，可得则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 10. 双曲线的左，右顶点分别为，右焦点到渐近线的距离为为双曲线在第一象限上的点，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则为定值 D. 若直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出右焦点到渐近线的距离，进而求得，再逐项分析计算即可得解. 【详解】依题意，设，而双曲线的渐近线为， 则点到渐近线的距离为，因此，， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，双曲线的离心率为，B错误； 对于C，显然，设，则，即， 所以为定值，C正确； 对于D，由，得是的中点，则，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数（，且），则（ ） A. 当时，恒成立 B. 若有且仅有一个零点，则 C. 当时，有两个零点 D. 存在，使得有三个极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将不等式变形，构造函数根据函数的单调性以及最值得出结论； 对于B、C，都是在A的构造函数的基础之上，由其图象的性质得到的相关结论； 对于D，构造函数，判断新函数的性质进一步推断原函数的性质. 【详解】对于A，即，两边取对数，， 令，， 单调递增；单调递减； 的最大值为，，A正确； 对于B，若有且仅有一个零点，则，两边取对数，有：， 由A选项知，即时此时也有一个零点，B错误. 对于C，，，两边取对数，有：，由A选项知：， ，C正确； 对于D，，令得：，两边取对数可得： ，设 则，令得：， 在上单调递减，在上单调递增； 最多有两个零点，最多有两个极值点，D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数零点、方程的根与图象交点的等价，考查函数的单调性、极值与最值的应用，本题的难点在于对式子的变形以及构造函数，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题. 三、填空题.（15分） 12. 若，，成等比数列，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项的定义列方程，求出． 【详解】，，成等比数列，或． 而当时，，不合题意． 故答案为： 13. 若是曲线的切线，则__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，进而求出值. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 由切点在直线上，得，所以. 故答案为： 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率. 【详解】如图， 由，得又得是三角形的中位线，即 由,得则,得， 又与都是渐近线，得又，得 又渐近线的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 四、解答题.（77分） 15. 已知函数的最小正周期为π. （1）求的单调递减区间； （2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值； （3）若，求的值域. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦型函数的周期性求得，再利用余弦型函数的单调性求解即可； （2）根据函数图象的变换得到新函数，利用余弦型函数的性质求解即可； （3）根据题意，逐步计算求余弦型函数的值域. 【小问1详解】 由，得，所以. 令，，解得，， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象. 因为的图象关于原点对称，所以，，即，. 因为，所以. 【小问3详解】 由，得. 则，所以. 所以的值域为. 16. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为. （2）. 【解析】 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【小问1详解】 如图， 由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. 【小问2详解】 由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）在中，，，， 由余弦定理可得，所以， ．由题意且， 平面，而平面，所以， 又，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证； （2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出． 【详解】（1）略 （2）由，，而与相交，所以平面， 因为，所以， 取中点，连接，则两两垂直， 以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则, 又为中点，所以. 由（1）得平面，所以平面的一个法向量 从而直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑， 题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出． 18. 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；的极小值为，无极大值； （Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 . ① 令. 当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 . ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即， 故 ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有. 【解析】 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可； （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）略 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，.定义随机变量的信息量，和的“距离”. （1）若，求的分布列和； （2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为. （ⅰ）若，，求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率； （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知， ， 所以， 所以， 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当， 即，时等号成立，即得证. 【解析】 【分析】（1）首先得到的分布列，再根据所给定义求出； （2）（ⅰ）记发出信号0和1分别为事件，接收信号0和1分别为事件，利用全概率公式计算，再由条件概率计算即可； （ⅱ）由（ⅰ）及所给定义表示出，设，利用导数证明，从而得到，即可证明. 【小问1详解】 因为，， 可能的取值有0，1，2，3， ，，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ； 【小问2详解】 （ⅰ）记发出信号0和1分别为事件， 接受信号0和1分别为事件， 则，， ， ， 所以， 所以； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省宣汉中学2024-2025学年度高2022级高三下学期高考数学模拟考试（二） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题.（每题5分，共40分） 1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 2. ＝（ ） A. 1＋2i B. 1－2i C. 2＋i D. 2－i 3. 已知向量 ， .那么“”是“ ”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ） A. 63 B. 72 C. 81 D. 90 7. 已知实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A. 增加，增加 B. 增加，减小 C. 减小，增加 D. 减小，减小 二、多选题.（共3题，18分） 9. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 双曲线的左，右顶点分别为，右焦点到渐近线的距离为为双曲线在第一象限上的点，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则为定值 D. 若直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，且，则 11. 已知函数（，且），则（ ） A. 当时，恒成立 B. 若有且仅有一个零点，则 C. 当时，有两个零点 D. 存在，使得有三个极值点 三、填空题.（15分） 12. 若，，成等比数列，则__________． 13. 若是曲线的切线，则__________. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 四、解答题.（77分） 15. 已知函数的最小正周期为π. （1）求的单调递减区间； （2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值； （3）若，求的值域. 16. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，.定义随机变量的信息量，和的“距离”. （1）若，求的分布列和； （2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为. （ⅰ）若，，求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率； （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $