精品解析：江西省赣州市2023-2024学年初中数学教师基本功比赛试卷

2023-2024年江西省赣州市初中数学教师基本功比赛试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程的正整数解的个数是（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 2. 已知、的半径不相等，的半径长为，若上的点满足，则与的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相切或相离 C. 相交或内含 D. 相切或内含 3. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，八边形中，，， ，则这个八边形的面积等于（ ） A. 7 B. C. 8 D. 5. 如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上.在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 6. 如图，A，B两点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图，在直线上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个正方形的面积分别是，，，正放置的4个正方形的面积依次是，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. A是半径为5的内的一点，且，过点A且长小于8的弦有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 9. 从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q（），构成函数和，使两个函数图象的交点在直线的左侧，则这样的有序数组共有（ ）组． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 解关于的不等式组的整数解有4个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 11. 在地面上某一点周围有a个正三角形、b个正六边形（a、b均不为0），恰能铺满地面，则_____． 12. 已知a、b实数且满足，则的值为_______． 13. 如图，将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形处，则顶点O经过的路线总长为____________． 14. 在直角坐标系中，O为原点，已知A（1，1），在坐标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有_____个． 15. 如图，A、B是反比例函数y＝（k>0）图象上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝6．则k＝_______． 16. 如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为_______． 17. 已知正方形的面积35平方厘米，E、F分别为边、上的点，和相交于点G，并且的面积为5平方厘米，的面积为14平方厘米，那么四边形的面积是______平方厘米． 18. 已知点、，点分别在直线与上，且轴，则的最小值为______． 19. 如图，正方形，E、F分别为、上的点，连接、相交于一点G，若，，的面积等于5，的面积等于14，求四边形的面积_____ 20. 如图，将矩形纸片折叠，两点恰好重合落在边上点处，已知，PM=3,，那么矩形纸片的面积为________. 三、解答题（共50分） 21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元时，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元 （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ 22. 学有所得：大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法． 学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为， M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为、． （1）请你结合图形1来证明：． （2）当点M在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请直接写出结论（不必证明）． 学会应用：（3）利用以上结论解答，如图2在平面直角坐标系中有两条直线∶，∶，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 23. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB； （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 24. 如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B． （1）求A、B两点的坐标． （2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切． （3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 25. 实验与探究： （1）在图，，中，给出平行四边形的顶点，，的坐标（如图所示），写出图，，中的顶点的坐标，它们分别是，， ； （2）在图中，给出平行四边形的顶点，，的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含，，，，，的代数式表示）； 归纳与发现∶ （3）通过对图，，，的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为，，，（如图）时，则四个顶点的纵坐标，，，之间的等量关系为 （不必证明）； 运用与推广： （4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标． 26. 如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)，D是BC边上的动点(与点B，C不重合)，现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合． (1)如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式； (2)设D(a，6)，E(10，b)，求b关于a的函数关系式，并求b的最小值； (3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024年江西省赣州市初中数学教师基本功比赛试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程的正整数解的个数是（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的化简，因式分解，解此题的关键是将方程变形为． 方程变形为，又由与，是正整数，即可得，或，或，或，或，或，或，或，或，，即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，是正整数， ，或，或，或，或，或，或，或，或，， ，或，或，或，或，或，或，或，或，． 方程的正整数解的个数是9个． 故选：C． 2. 已知、的半径不相等，的半径长为，若上的点满足，则与的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相切或相离 C. 相交或内含 D. 相切或内含 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆之间的位置关系，解决本题的关键是根据上的点满足，判断两圆之间的位置关系，需要分三种情况讨论． 【详解】解：如图所示，此时与外切， 如图所示，此时与内切， 如图所示，此时与相交， 与的关系是相切或相交． 故选：A ． 3. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查几何体的三视图，圆锥的侧面积公式，勾股定理，由三视图知道该图形是圆锥，全面积等于底面积加上侧面积，即可求解． 【详解】解：由三视图知道该图形是圆锥，高为8，底面直径为12，半径为， 底面积， 母线长为， ∴侧面积为， ∴圆锥的全面积 故选C． 4. 如图，八边形中，，， ，则这个八边形的面积等于（ ） A. 7 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握以上性质．延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点，判定出都为等腰直角三角形，再得出四边形为正方形，利用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边的长，再根据图形面积之间的关系求出八边形的面积即可． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴八边形的外角都相等，且都为， ∴都为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， 由勾股定理得，， ， ∴， ∴， ∴八边形的面积等于， 故选：A． 5. 如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上.在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】认真读题，观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形. 【详解】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有： ①△FCD关于CG对称；②△GAB关于EH对称； ③△AHF关于AD对称；④△EBD关于BF对称； ⑤△BCG关于AG的垂直平分线对称.共5个. 故选A. 【点睛】本题考查轴对称的基本性质，结合了图形的常见的变化，要根据直角三角形的特点从图中找到有关的直角三角形再判断是否为对称图形． 6. 如图，A，B两点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将线段平移至，， ， ∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴， ∴， 故选D． 7. 如图，在直线上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个正方形的面积分别是，，，正放置的4个正方形的面积依次是，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形面积的计算、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据证明是解题的关键．求证，由全等三角形的性质可得，在中，由勾股定理可得，进而可得，同理可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 根据题意，在直线上依次摆放着7个正方形， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∵，， ∴，同理， ∴． 故选：B． 8. A是半径为5的内的一点，且，过点A且长小于8的弦有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 【答案】A 【解析】 【分析】正确作出过圆内一点的最短的弦，结合勾股定理和垂径定理进行计算． 连接，作弦，则是过点A的最短的弦．运用垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：连接，作弦，则是过点A的最短的弦． 连接， 由勾股定理，得， 由垂径定理可知，． 所以过点A且长小于8的弦有0条． 故选：A． 9. 从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q（），构成函数和，使两个函数图象的交点在直线的左侧，则这样的有序数组共有（ ）组． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一元一次不等式的解集，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 联立解析式表示出交点的横坐标，然后根据交点的位置列出不等式，分析不等式的解集即可得出答案． 【详解】解：联立解析式和， 解得， ∵两个函数图象的交点在直线的左侧， ∴， 根据可取值为：2,3,4,5， ∴， ∴， 整理得， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，可取2，3； 当时，，可取2，3，4； ∴这样的有序数组共有5组， 故选：C． 10. 解关于的不等式组的整数解有4个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合关于的不等式组的整数解有4个，即可得出结果． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于的不等式组的整数解有4个， ∴不等式组的整数解为，，，， ∴． 二、填空题（每小题2分，共20分） 11. 在地面上某一点周围有a个正三角形、b个正六边形（a、b均不为0），恰能铺满地面，则_____． 【答案】4或5 【解析】 【分析】本题考查图形的镶嵌，熟练掌握几何图形的镶嵌成平面图形是解题的关键，根据一个顶点处各个内角和为，可求出的值，从而得到答案． 【详解】解：正三角形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ∵，， ∴或， 故答案为：4或5． 12. 已知a、b实数且满足，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】考查了换元法解一元二次方程，设，由原方程得到求得t的值即可． 【详解】解：设，由原方程得到， 整理，得， 所以或（舍去）， 即的值为3． 故答案为：3． 13. 如图，将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形处，则顶点O经过的路线总长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是理解顶点O经过的路线可得，则顶点O经过的路线总长为三个扇形的弧长，难度一般．仔细观察顶点O经过的路线可得，顶点O经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可． 【详解】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧切直线l于点B时，有直线l，此时O点绕点B转过了； 第二段：直线l到直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧始终是切于直线l的，所以O与转动点的连线始终垂直直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长为的弧长，即为的弧长； 第三段：直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了； 所以，O点经过的路线总长； 故答案为 14. 在直角坐标系中，O为原点，已知A（1，1），在坐标轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有_____个． 【答案】8 【解析】 【分析】等腰三角形要判断腰长的情况，本题可先设P点的坐标，根据OA是底边、腰几种情况下手进行讨论即可得出答案． 【详解】已知△AOP的边OA，这条边可能是底边也可能是腰 当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与x轴，y轴的交点，这两个点的坐标是（1，0）和（0，1）满足条件的有两点； 当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与两坐标轴的交点坐标是（0，），（0，﹣），（，0），（﹣，0）； 当A是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与两坐标轴的交点坐标有除原点以外有两个交点，因而使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有8个． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；分情况进行讨论，能够把各种情况能够讨论全是解决本题的关键． 15. 如图，A、B是反比例函数y＝（k>0）图象上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝6．则k＝_______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E． 则AD∥BE，AD=2BE=， ∴B、E分别是AC、DC的中点． ∴△ADC∽△BEC， ∵BE：AD=1：2， ∴EC：CD=1：2， ∴EC=DE=a， ∴OC=3a， 又∵A（a， ），B（2a， ）， ∴S△AOC=AD×CO=×3a× ==6， 解得：k=4． 故答案为：4． 16. 如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据AAS可以证明△ABE≌△ECF，得AB=CE，BE=CF；根据两角对应相等，可以证明△ECF∽△FDG，则DF：CE=FG：EF=1：2．设BE=x，则AB=2x，根据勾股定理求得x的值，进而求得矩形的周长． 【详解】解：根据等角的余角相等，得 ∠BAE=∠CEF=∠DFG． 又∠B=∠C=∠D=90°，AE=EF=4，FG=2， ∴△ABE≌△ECF，△ECF∽△FDG． ∴AB=CE，BE=CF，DF：CE=FG：EF=1：2． 设BE=x，则AB=2x，根据勾股定理，得 x2+4x2=16， x=． 则矩形ABCD的周长为： 故答案为： 17. 已知正方形的面积35平方厘米，E、F分别为边、上的点，和相交于点G，并且的面积为5平方厘米，的面积为14平方厘米，那么四边形的面积是______平方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质理解，三角形面积问题，解二元一次方程组． 根据和面积求、的比值：，根据和的面积求、的比值，同理可求：，设，则根据，即可求解． 【详解】解：如图，连，． ∵正方形的面积35平方厘米， ∴平方厘米， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴， 由已知，， 即 解得， ∴（平方厘米）． 故答案为：． 18. 已知点、，点分别在直线与上，且轴，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，勾股定理，将线段向右平移一个单位，则在直线上，设为，在直线上，设为，可得，可知当三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出，得到的最小值，进而即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段向右平移一个单位，则在直线上，设为，在直线上，设为， 此时， 当三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵， ∴的最小值为， 又∵是定值， ∴的最小值为， 故答案为：． 19. 如图，正方形，E、F分别为、上的点，连接、相交于一点G，若，，的面积等于5，的面积等于14，求四边形的面积_____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，三角形高的计算，连接、，设，，则，，根据的面积等于5，的面积等于14，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∵的面积等于5，的面积等于14， ， 解得：， ∴，， ∴． 故答案为：． 20. 如图，将矩形纸片折叠，两点恰好重合落在边上点处，已知，PM=3,，那么矩形纸片的面积为________. 【答案】28.8 【解析】 【分析】由折叠的性质可知BC=PM+MN+PN,且AB与Rt△PMN中边MN上的高相等,在Rt△PMN中可求得MN及MN边上的高,则可求得答案 【详解】∵∠MPN=90°,且PM=3,PN=4 ∴MN=5,边MN上的高= 又由折叠的性质可知 BC=PM+MN+PN=3+5+4=12 AB= ∴S=12×=28.8 【点睛】此题考查翻折变换(折叠问题)和矩形的性质，解题关键在于利用折叠的性质可知BC=PM+MN+PN 三、解答题（共50分） 21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元时，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元 （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ 【答案】（1） （2）当售价为元或元时，获得最大利润，最大利润为2400元 （3）每件商品的售价定为51元或60元时，每个月的利润恰为2200元 【解析】 【分析】（1）利用利润=（售价-进价）×销售量求解即可，根据每件售价不能高于65元和x为正整数即可确定自变量x的取值范围； （2）把（1）所求二次函数一般式改为顶点式，再利用其性质即可得解； （3）由题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， ∵每件售价不能高于65元， ∴， 解得：． ∵x为正整数， ∴自变量x的取值范围是； 【小问2详解】 解：， ∵，且x为正整数， 当时，， 当时，， ∴当售价为元或元时，获得最大利润，最大利润为2400元． 【小问3详解】 解：依题意得：， 解得：，， 元，元， ∴每件商品的售价定为51元或60元时，每个月的利润恰为2200元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．根据利润=（售价-进价）×销售量求出二次函数解析式是解题关键． 22. 学有所得：大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法． 学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为， M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为、． （1）请你结合图形1来证明：． （2）当点M在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请直接写出结论（不必证明）． 学会应用：（3）利用以上结论解答，如图2在平面直角坐标系中有两条直线∶，∶，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定等，根据三角形的等面积性质进行求解是解题的关键． （1）连接，根据，即可求出答案； （2）连接，根据，猜测； （3）先根据一次函数的图象和性质求出点的坐标，判定出为等腰三角形，再分类进行讨论，即当点在边上时，当点在延长线上时，当点在延长线上时，求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）如图，连接， 根据题意得，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2），理由如下： 如图所示，连接， 根据题意得，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）在中，当时，；当时，， 解得， 所以， 由勾股定理得， 由得，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形， ①当点在边上时，由得，，， 代入得，， 解得， 此时，； ②当点在延长线上时，由得，，， 代入得，， 解得， 此时，； ③当点在延长线上时，，不存在． 综上，点的坐标为或． 23. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB； （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）正方形、长方形； （2）解：答案如图所示． （3）证明：连接EC， ∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE， ∵∠CBE=60°， ∴△CBE为等边三角形， ∴EC=BC，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=90°， ∴DC2+EC2=DE2， ∴DC2+BC2=AC2． 即四边形ABCD是勾股四边形． ． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案； （2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案； （3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形； 【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下： 如图： 正方形ABCD中，由勾股定理有：； 长方形DEFG中，由勾股定理有：； 都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形． （2）略 （3）略 【点睛】 本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题． 24. 如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B． （1）求A、B两点的坐标． （2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切． （3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 【答案】（1） （2）时间为秒和秒 （3）秒 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，点到圆的距离，一次函数的性质，切线的性质，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法． （1）分别令；，即可求出、的坐标； （2）可设动圆的圆心在处时与直线相切，设切点为，连接，则，，得到，利用相似三角形对应边的比等于相似比，可得，即，求出的值，即可得到此时的值，利用的长度结合速度即可求出时间；根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切，此时，； （3）可设在秒时，动圆的圆心在点处，动点在处，此时，，点的坐标为，连接，当时，点在动圆上，当时，点在动圆内，而当时，由对称性可知，有两种情况：①当点在轴下方时，，解之可得的值，②当点在轴上方时，，解之得的另一个值，进而可得到当时，，并且此时点在动圆的圆面上，所经过的时间为． 【小问1详解】 解：在中，令，得； 令，得， 故得、两的坐标为，； 【小问2详解】 解：若动圆的圆心在处时与直线相切，设切点为，如图所示，连接，则． ，， ， ，即， 则． 此时， （秒． 根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切， 此时． （秒． 综上，秒时或秒时该圆与直线相切； 【小问3详解】 解：设在秒时，动圆的圆心在点处，动点在处，此时，，点的坐标为，连接， ，， ， ， ， 点的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为， 可见：当时，点在动圆上，当时，点在动圆内． 当时，由对称性可知，有两种情况： ①当点在轴下方时，，解之得：； ②当点在轴上方时，，解之得：． 当时时，，此时点在动圆的圆面上，所经过的时间为． 25. 实验与探究： （1）在图，，中，给出平行四边形的顶点，，的坐标（如图所示），写出图，，中的顶点的坐标，它们分别是，， ； （2）在图中，给出平行四边形的顶点，，的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含，，，，，的代数式表示）； 归纳与发现∶ （3）通过对图，，，的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为，，，（如图）时，则四个顶点的纵坐标，，，之间的等量关系为 （不必证明）； 运用与推广： （4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时，抛物线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 符合条件的点有，，． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质，坐标与图形性质， 全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决本题的关键． （1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，求解即可； （2）如图作辅助线，证明，推出，，即可求得点的坐标； （3）由（2）的结论即可得出答案； （4）分类讨论：若、、为平行四边形的对角线三种情况讨论，根据平行四边形对角的顶点坐标的关系，可得点坐标，根据点坐标在抛物线上，可得关于的方程，解方程即可得答案． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， 在图中，将点向右平移个单位长度得到点， 将点向右平移个单位长度得到点， 图中的顶点的坐标是； 故答案为：； （2）如图所示，分别过点、、、作轴的垂线，垂足分别为、、、，过点、作于点，于点， ，， ， ， ， 在平行四边形中，， ，，， ， ，， 设，由图可得：，， ，， 顶点的坐标为； （3）根据（2）中计算过程可得，无论平行四边形 处于直角坐标系中哪个位置，其顶点坐标为，，，，四个顶点的纵坐标，，，之间的等量关系为 ，即 ； 故答案为：； （4）若为平行四边形的对角线，由（3）可得， 要使在抛物线上，则有，即． 解得（舍去）或，此时； 若为平行四边形的对角线，由（3）可得， 同理可得，此时； 若为平行四边形的对角线，由（3）可得， 同理可得，此时． 综上所述，当时，抛物线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 符合条件的点有，，． 26. 如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)，D是BC边上的动点(与点B，C不重合)，现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合． (1)如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式； (2)设D(a，6)，E(10，b)，求b关于a的函数关系式，并求b的最小值； (3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点． 【答案】（1）y=-x+12（2）当a=5时，b最小值=（3）见解析 【解析】 【详解】（1）解：∵∠DFO＝∠DCO＝∠COF＝90°，OC∥DF， ∵CD∥OA， ∴四边形COFD是矩形， ∵根据△COD沿OD翻折，得到△FOD， ∴OC＝OF＝6， ∴四边形COFD是正方形， 同理四边形BDGE是正方形， ∴CD＝OF＝DF＝6，OA＝10，AE＝6−4＝2， ∴D（6，6），E（10，2）， 设直线DE的解析式是y＝kx＋b， 代入得： ， 解得：k＝−1，b＝12， ∴直线DE的函数关系式是y＝−x＋12． （2）依题意有：CD＝a，BD＝10−a，BE＝6−b． ∵∠ODE＝90°，∠OCD＝90°， ∴∠CDO＋∠COD＝∠CDO＋∠BDE＝90° ∴∠COD＝∠BDE ∵∠OCD＝∠B＝90° ∴△OCD∽△DBE ∴ ∴ ∴b＝a2−a＋6＝（a−5）2＋， 当a＝5时，b最小值＝. （3）猜想：直线DE与抛物线y＝−x2＋6只有一个公共点． 证明：由（1）可知，DE所在直线为y＝−x＋12． 代入抛物线，得−x2＋6＝−x＋12 化简得x2−24x＋144＝0， ∴△＝242−4×144＝0． ∴直线DE与抛物线y＝−x2＋6只有一个公共点． 解得：x＝12， ∴y＝0， 公共点为：（12，0）． ∴延长OF交DE于点H，点H即为公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $