第二十二章 二次函数 重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第二十二章 二次函数 （压轴卷） （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次． 【详解】解：A．最高次项为一次，不符合题意； B．当时，不是二次函数，不符合题意； C．不是整式，不符合题意； D．满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A．∵抛物线的二次项系数， ∴该抛物线的图象开口向下，故此选项不符合题意； B．该抛物线图象的对称轴是直线，故此选项不符合题意； C．该抛物线图象的顶点坐标为，故此选项符合题意； D．∵该抛物线图象的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得的值，比较大小即可． 【详解】解：∵点 ，，在抛物线上， ∴ ∴ 故选C 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点A到x轴的距离是， ∴令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点到轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称， ∴， 故选：D． 5．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（　　） A．1 B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，据此即可求解，求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为； 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴将抛物线向下平移4个单位长度，或者向左平移个单位长度，或者向右平移个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点， ∴的最小值为， 故选：C． 6．（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y轴的交点在y轴负半轴，然后当时，，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 【详解】解：， 当时，， ∴与y轴的交点在y轴负半轴， 当时，， 令，则， 解得：或， ∴当时，与x轴正半轴有两个交点， 只有选项D符合题意， 故选：D 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的对称轴为直线，若关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由对称轴可得，得到二次函数，顶点坐标为，可得当时，；当时，，进而由方程（为实数）在的范围内有实数解，可得的取值范围为抛物线顶点到直线之间的区域，即可求解，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数，顶点坐标为， 当时，；当时，， ∵关于的方程（为实数）在的范围内有实数解， ∴的取值范围为抛物线顶点到直线之间的区域，即， 故选：． 8．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵，， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴， 故答案为：A． 9．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示是二次函数 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程 一定有两个不相等的实数根：④．其中，正确结论的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数图像与系数的关系以及二次函数与方程的关系， 熟练掌握二次函数的图像与性质并灵活运用是解题的关键； 根据抛物线的对称轴是直线可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②； 根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与轴的交点及当时的函数值可判断结论④． 【详解】二次函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2， ，， ， ，故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在2，3之间， 该抛物线与轴的另一个交点在，0之间，故结论②错误； 根据函数图像可得，二次函数的最大值一定大于2， 抛物线与直线一定有两个交点， 方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确； 抛物线与轴的另一个交点在，0之间， 当时，， ， ．故结论④正确． 正确的有①③④，共3个． 故选：C． 10．（2025·四川泸州·二模）在抛物线中，有．已知点，是平面上两点，连接，若抛物线的图象与线段有交点时，则的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，涉及用参数表示函数表达式、根据函数与线段的位置关系列不等式求解参数范围．解题关键在于根据抛物线开口方向分情况讨论，通过将线段端点横坐标代入抛物线表达式，结合函数与线段有交点的条件列出不等式求解．本题可先根据已知条件，用表示出和，从而得到抛物线的表达式．然后将线段两端点的横坐标代入抛物线表达式，结合抛物线与线段有交点这一条件，分和两种情况讨论，列出不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，， ∴抛物线的表达式为 ∴抛物线的对称轴为， 当时： 抛物线开口向上，要使抛物线与线段有交点， 当时，；当时， 把代入得：， ∴， ∴，即， ∴，结合，此条件满足． 把代入得：， ∴， ∴，即， ∴ 当时： 抛物线开口向下，要使抛物线与线段有交点， 当时，；当时， 把代入得， ∴， ∴，即， ∴ 把代入得， ∴， ∴，即， ∴，结合，此条件满足． 综上，的取值范围是或 故选：D 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2025·江苏宿迁·一模）写出抛物线经过原点的一个二次函数的解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数各系数的意义，熟练掌握二次函数各项系数的意义是解题的关键，根据题意抛物线经过原点，可得中，从而得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴中， ∴． 故答案为：． 12．（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为． 故答案为：． 13．（2025·山东滨州·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 14．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O， ∴由图象可得：关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏·期中）已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由题意得，二次函数的对称轴是直线，根据对称性可得，再结合求出的值即可． 【详解】解：已知二次函数的顶点坐标， ∴对称轴是直线， 由题意得，点与点关于直线对称， ∴，即， 解得． 故答案为：． 16．（2025九年级下·江苏徐州·专题练习）将抛物线在轴上方的部分记为，在轴上及其下方的部分记为，将沿轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为．若直线与恰有个交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线的顶点的 坐标，画出函数图象，并将轴上方的部分进行翻折，得到图象，结合图象即可得出的取值范围． 【详解】解：把二次函数整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标是， 翻折后可得图象，如下图所示， 由图象可知，当时，图象与有两个交点， 当时，图象与有两个交点． 综上所述，的取值范围为 或． 故答案为：或． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在“探索二次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式以及求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 首先确定二次函数可能经过、、或者、、或者、、，画出图象后，只有经过、、三点的二次函数，当时，的值最小，然后用待定系数法求出二次函数解析式，求出当时的函数值即可． 【详解】解：、、的纵坐标相同， 二次函数不会同时经过、、三点， 分三种情况讨论：经过、、；经过、、；经过、、； 经过、、三点的二次函数，当时，的值最小， 把代入，得： ， 解得：， 二次函数的解析式为， 当时，， 故的最小值等于， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解抛物线的解析式、二次函数的基本性质以及二次函数图象与其他函数图象相结合问题，先根据待定系数法求出抛物线的解析式，对的位置进行分类讨论，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况即可求解，熟练利用做辅助线，利用数形结合的方程是解题的关键． 【详解】解：由知点，点， 将，代入， 可得， 解得， ， 由题意得，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况， 如图，过点作轴的垂线交于点，如图所示， 设点， 则点， 当时，的最大值为， 当取大于时，在上方无法找到点， 综上所述：当时，对应的点有且只有两个． 故答案为： 三、解答题（8小题，共66分） 19．（25-26九年级上·浙江·模拟检测）已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，解题的关键是代入后正确的计算， （1）将给定的自变量值代入函数表达式，通过计算即可得到对应的函数值； （2）把给定的函数值代入函数表达式，得到一个关于自变量的一元二次方程，然后通过因式分解等方法求解方程的根，即自变量的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，函数的值为2； （2）解：当时，即， 解得，或， ∴当函数值为2时，自变量x的值为或． 20．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数． (1)直接写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数图象，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）把函数表示为顶点式即可解答； （2）利用列表，描点，连线画出函数图象即可。 【详解】（1）解：， 顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上； （2）解：列表如下： 0 2 4 6 0      0 图象如下： 21．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图， 抛物线与x轴负半轴交于点B，正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点C，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)，用待定系数法求出抛物线的表达式是本题解题的关键． 用待定系数法求出抛物线的表达式，再求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求的面积． 【详解】解：∵， ∴，， ∵抛物线与x轴负半轴交于点B，正半轴交于点A， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∵，，， ∴，， ∴． 22．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，设商品的定价为每件x元，每星期的售出数量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250元 【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的图象性质是解题关键． （1）定价为每件元，比原价60元上涨了元，每涨价1元少卖出10件，所以少卖出的件数为件，原销量为300件，因此售出数量等于原销量减去少卖出的件数； （2）利润等于每件的利润乘以售出数量．每件的利润为定价元减去进价40元，即元；售出数量为件．因此利润可表示为，展开后得到二次函数，根据二次函数的性质，当时，函数取得最大值； 【详解】（1）， 即； （2）设利润为元， 则， 对于二次函数，其中， 对称轴为， 将代入， 得． ∴每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250元． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______． (2)抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式； ②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，二次函数的图象与性质等，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键． （1）代入a与b的值，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求顶点坐标； （2）①利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而可得顶点纵坐标为，再结合题中条件推出a与b满足的关系式； ②结合函数图象即可求m的取值范围． 【详解】（1）当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为； 当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为． （2）①，顶点纵坐标为， 若，则， 当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值， ，， a与b满足的关系式为； ②由（1）知，，抛物线的解析式为，对称轴为，作图如下： 由对称性可知，和对应的函数值相同，都等于． 当时，必有． 24．（2025·广东阳江·一模）如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标． (2)已知，为抛物线与轴的交点． ①若点在抛物线上，且，求点的坐标． ②设点是线段上的一动点，作轴交抛物线于点，试问是否存在最大值，若不存在，说明理由；若存在，求出此时点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①点的坐标为或；②存在，点的坐标为 ；的面积的最大值是 【分析】本题主要考查了求出二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与几何图形， 对于（1），根据抛物线的对称性解答即可； 对于（2）①，当时，结合抛物线的对称轴为直线，可得，进而求出，可得二次函数关系式，再求出抛物线与轴的交点的坐标，然后设点坐标，根据，可得，求出x，即可得出答案； 先求出直线的解析式，再设点坐标为，则点坐标为，即可得出，可得点的坐标，结合可得答案. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线的抛物线与轴相交于A、两点， 、两点关于直线对称. 点A的坐标为， 点的坐标为； （2）解：时，抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将代入 ， 得， 解得：， 则二次函数的解析式为 ， 抛物线与轴的交点的坐标为， ， 设点坐标为 . ∵， ， ， ． 当时，； 当时，， 点的坐标为或； 设直线的解析式为， 将，代入解析式， 得 , 解得：， 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， 当时，有最大值， 当时，三角形的面积有最大值，此时点的坐标为； ， 点的坐标 ；的面积的最大值是 ． 25．（2025·青海西宁·一模）已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得的周长最小，如果存在，求出点E； (3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少． 【答案】(1) (2)在抛物线的对称轴上存在一点E，使得的周长最小，点E的坐标是 (3)当时，S有最大值， 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． （1）由点B的坐标及，求出C点的坐标，把点B、C的坐标分别代入，即可得到抛物线的解析式； （2）根据两点之间线段最短可得E点是与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线的解析式，将抛物线的对称轴方程代入求出y的值，即可得到点E的坐标． （3）点D在抛物线上，其横坐标为m，则纵坐标为．由求出关于S的函数关系式，由m的取值范围可求出当时，S有最大值为8． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴C点的坐标为． 将点B、C的坐标分别代入，得 ， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点E，此时的周长最小．    ∵，点B的坐标为， ∴． 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点E的坐标是； （3）解：∵点D在抛物线上，其横坐标为m，则纵坐标为． ∵，， ∴， 即．m的取值范围是． 将化成顶点式为． ∴当时，S有最大值，． 26．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线过B，C两点． (1)求抛物线的表达式，并求出直线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线轴交于点D，过点P作于点E，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形， Q点坐标为或 (3)P点横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，分别求出，分三种情况讨论：当为斜边时，此时t无解；当为斜边时，；当为斜边时，； （3）设与y轴的交点为G，由题可知D点是的中点，则，设，则，，设，，得到，求出m的值即可求解． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点，点，分别代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当时，， 解得或， ∴， ∴， 当为斜边时，， 此时t无解； 当为斜边时，， 解得， ∴； 当为斜边时，， 解得， ∴； 综上所述：Q点坐标为或； （3）解：设与y轴的交点为G， ∵， ∴点D是的中点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， 解得， 则 ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴P点横坐标为； 当点D在点P的右侧时， 设与y轴的交点为G， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， 解得， 则 ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴P点横坐标为； 综上所述，点P的横坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 二次函数 （压轴卷） （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（　　） A．1 B．1 C． D．4 6．（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的对称轴为直线，若关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 9．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示是二次函数 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程 一定有两个不相等的实数根：④．其中，正确结论的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025·四川泸州·二模）在抛物线中，有．已知点，是平面上两点，连接，若抛物线的图象与线段有交点时，则的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D．或 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（2025·江苏宿迁·一模）写出抛物线经过原点的一个二次函数的解析式为 ． 12．（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为 ． 13．（2025·山东滨州·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 14．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 15．（25-26九年级上·江苏·期中）已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和 ． 16．（2025九年级下·江苏徐州·专题练习）将抛物线在轴上方的部分记为，在轴上及其下方的部分记为，将沿轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为．若直线与恰有个交点，则的取值范围为 ． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在“探索二次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最小值等于 ． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是 ． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（25-26九年级上·浙江·模拟检测）已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 20．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数． (1)直接写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 21．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图， 抛物线与x轴负半轴交于点B，正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点C，求的面积． 22．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，设商品的定价为每件x元，每星期的售出数量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？ 23．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______． (2)抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式； ②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围． 24．（2025·广东阳江·一模）如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标． (2)已知，为抛物线与轴的交点． ①若点在抛物线上，且，求点的坐标． ②设点是线段上的一动点，作轴交抛物线于点，试问是否存在最大值，若不存在，说明理由；若存在，求出此时点的坐标和面积的最大值． 25．（2025·青海西宁·一模）已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得的周长最小，如果存在，求出点E； (3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少． 26．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线过B，C两点． (1)求抛物线的表达式，并求出直线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线轴交于点D，过点P作于点E，当时，求点P的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $