第二十二章 二次函数 重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第二十二章 二次函数（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．据此对各选项的函数化简后进行判断即可． 【详解】解：A、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数； B、函数化简为，不符合二次函数的一般形式，故不是二次函数； C、函数化简为，是二次函数； D、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数． 故选：C 2．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据，其对称轴为解题即可． 【详解】解： 那么其对称轴为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·四川广安·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，利用左加右减，上加下减的口诀即可解答，解决本题的关键是熟知抛物线平移的口诀． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是， 故选：B． 4．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系． 仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 5．（2024九年级下·山西·专题练习）山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为， 将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 则， 故选：D． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线与直线交于，两点，可得直线与抛物线交于点，两点，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴直线与抛物线交于点，两点， 图象如图所示， 当时，， ∴的解集是， 故选：D． 7．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，利用抛物线的增减性判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴交点横坐标分别是和3， ∴抛物线对称轴为：， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图可知，当时，， ∴，故③正确； ∵，且，这两个点都在对称轴左侧， ∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得，，④正确． 所以②③④都正确． 故选：D． 8．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）已知点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上，此时对称轴为直线，由对称性可知此时点D的坐标为，当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度，所以点D也向右平移3个单位长度，即可求出点D的横坐标最大值． 【详解】解：如图， 当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上， 此时对称轴为直线， 由对称性可知此时点D的坐标为， 当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度， 所以点D也向右平移3个单位长度， 此时点D坐标为，横坐标最大， 故选：D. 9．（25-26九年级下·湖南株洲·自主招生）已知关于x的方程有两个实数根、，且，，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点坐标，设，根据二次函数的图像与x轴的交点分别在直线的两侧时，关于x的方程有两个实数根、，且，，分两种情况：当，即时，当，即时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：设， ∴抛物线的对称轴为：， 由题意得，二次函数的图像与x轴的交点分别在直线的两侧时，关于x的方程有两个实数根、，且，， 当时，则， 当，即时，二次函数的图像，如图所示： ∴， 解得：， ∴当时，关于x的方程有两个实数根、，且，； 当，即时，二次函数的图像，如图所示： ∴， 解得：， ∴此时没有符合题意的m值存在； 综上分析可知：当时，关于x的方程有两个实数根、，且，． 故选：C． 10．（2024·湖南·模拟预测）定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意判断出，，由对称轴为直线得到，即可判断①；然后根据图象经过点得到，进而可判断②；然后求出函数与x轴的另一个交点为，结合图象即可判断③；首先求出抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为，然后结合图象求解即可． 【详解】解：①根据题意得，， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴函数与x轴的另一个交点为， ∴由图象可得，当或时y随x的增大而增大，故③正确； 根据题意得，抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为， ∴由图象可得，与直线有三个交点， ∴关于x的方程有三个实数根， ∴关于x的方程有三个实数根，故④正确． 综上所述，其中正确结论的个数为3． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称变换，二次函数和x轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上知识点． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知是二次函数，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·北京东城·阶段练习）若点是二次函数 图象上的两点，那么与的大小关系是 ．(填、或) 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将图象上的点的坐标代入函数关系计算是解决本题的关键． 分别将、代入计算即可判断大小关系． 【详解】解：将代入，得： ， 将代入，得： ， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·全国·期中）如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 14．（25-26九年级上·全国·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 【答案】2或6 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律． 根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解． 【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点， 得或6． 故答案为：2或6. 15．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先转化二次函数解析式为，利用二次函数的增减性即可求得a的值． 【详解】解：∵二次函数，且， ∴该函数的对称轴是直线， 该函数图象大致如下： ∴该二次函数在时，y随x的增大而减小， 又∵二次函数在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为， ∴可知当时，函数值的最大值为， ∴，解得， 则的值为． 故答案为： ． 16．（24-25九年级上·广东广州·期末）直线与抛物线在范围内有唯一公共点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】主要考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，及直线与抛物线的位置关系，可以提高学生解决压轴题的水平．联立方程组得到，看成是两个函数联立而成的，画出函数图象，运用数形结合法求解即可． 【详解】联立， 得：， 即，， 可以看成是两个函数联立而成的， ， 当时，此函数必过定点， 即过，的直线与过，的直线间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图， 将代入得， 解得，， 将代入得，， 解得，， 当时，直线与抛物线在内有两个交点， ， ， 当时，直线为，抛物线为，此时，在范围内有唯一公共点， 故答案为：或． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为，，二次函数（a，b是常数）的图像的顶点在线段上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值，先求出直线的解析式为：，求出顶点坐标为，根据二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，得出，根据二次函数的最值求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上， ∴， 即， ∴当时，b取最小值． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在“探索二次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式以及求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 首先确定二次函数可能经过、、或者、、或者、、，画出图象后，只有经过、、三点的二次函数，当时，的值最小，然后用待定系数法求出二次函数解析式，求出当时的函数值即可． 【详解】解：、、的纵坐标相同， 二次函数不会同时经过、、三点， 分三种情况讨论：经过、、；经过、、；经过、、； 经过、、三点的二次函数，当时，的值最小， 把代入，得： ， 解得：， 二次函数的解析式为， 当时，， 故的最小值等于， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（2025九年级上·浙江·专题练习）某抛物线过点并且与直线的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：；顶点式，其中顶点坐标为；交点式． 设抛物线的解析式为，求出抛物线与直线的交点为，将代入抛物线解析式可得a的值． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线与直线的交点的纵坐标为5， ∴， 解得， ∴抛物线与直线的交点坐标为， 将代入抛物线解析式可得， ∴， ∴抛物线的解析式为，即． 20．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标，对称轴 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数的顶点坐标与对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解题即可； （2）将其表达式变成顶点式，然后根据，其对称轴为，顶点坐标为解题即可． 【详解】（1）解：已知二次函数的图象经过点，， ， ， ； （2）解：， 顶点坐标，对称轴． 21．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售量（件）与售价（元/件）之间的函数图象如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)若该商品进价为30元/件，当售价为多少元时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 【答案】(1)与的函数表达式为 (2)当时，周销售利润最大，最大利润为元； 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，解本题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式． （1）设，把和代入可得解析式． （2）根据利润（售价进价）数量，得，再化成顶点式，顶点的纵坐标是最大值． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为，将点和代入得： ， 解得：， 与的函数表达式为； （2）由题意得：， ， 当时，周销售利润最大，最大利润为元． 22．（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． （2）解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是． 23．（2025·山西·模拟预测）请仔细阅读并完成相应的任务. 用图象法解一元二次不等式： 方法如下： 步骤一：设 步骤二：先将二次函数：化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x … 0 1 2 3 … y … ___ 3 ____ 3 0 … 步骤四：描点，连线（因为，所以抛物线开口向下）.   步骤五：观察函数图象可知，当或时，.所以的解集是或 任务： (1)“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是______； (2)将材料中的表格补充完整，并画出图像； (3)请直接写出一元二次不等式的解集是______． (4)参照上面材料的分析过程，请你写出一条与函数观点有关的体会或感悟． 【答案】(1) (2)表格和图像见解析 (3) (4)可以利用函数的图像，数形结合求解不等式或方程（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数图像性质，可利用二次函数图像性质求解一元二次不等式： （1）配方即可得到答案； （2）在二次函数解析式中，令和求出对应y的值，补全表格，在坐标系中描出点，用光滑曲线连接这些点即可； （3）根据图像，不等式的解对应二次函数图像在x轴上方时x的范围； （4）可以数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：对于， 当时，； 当时，； ∴表格补全为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 图象如下： ； （3）解：， 则函数图像取在x轴上方的部分，对应x的范围是， 故答案为：； （4）解：可以利用函数的图像，数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）． 24．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【详解】（1）解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱． 25．（2025·江苏淮安·二模）已知二次函数经过点（m是常数，且）． (1)用m的代数式表示字母b，则______； (2)当m=3时，求函数的顶点坐标； (3)当时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围； (4)如图，在矩形中，，，点C、D在y轴上，抛物线的一部分图象经过矩形的内部，若点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，请直接写出满足条件的m的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与矩形的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． （1）将点代入二次函数表达式即可求得答案； （2）利用配方法或公式法即可求得顶点坐标； （3）分三种情况：①时，②当时，③当时，分别运用二次函数的性质列不等式求解即可； （4）设抛物线交y轴于M，交于N，则，，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：将点代入二次函数，得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴， ∴函数的顶点坐标为； （3）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ①时，， 解得：， ∴； ②当时， 由，得， ∴， 解得：， ∴； 由，得， ∴， 解得：， ∴； ∴当时，都成立； ③当时，当时函数取得最大值， ∴， 解得：， ∴都成立； 综上，m的取值范围为； （4）解：∵， ∴， 如图，设抛物线交y轴于M，交于N， 则，， ∵点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，， ∴或， 解得：或； 故答案为：或． 26．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 二次函数（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川广安·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2024九年级下·山西·专题练习）山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 7．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 8．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）已知点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A． B． C．2 D．5 9．（25-26九年级下·湖南株洲·自主招生）已知关于x的方程有两个实数根、，且，，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·湖南·模拟预测）定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知是二次函数，则实数 ． 12．（25-26九年级上·北京东城·阶段练习）若点是二次函数 图象上的两点，那么与的大小关系是 ．(填、或) 13．（25-26九年级上·全国·期中）如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 14．（25-26九年级上·全国·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·广东广州·期末）直线与抛物线在范围内有唯一公共点，则的取值范围为 ． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为，，二次函数（a，b是常数）的图像的顶点在线段上，则的最小值为 ． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在“探索二次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最小值等于 ． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（2025九年级上·浙江·专题练习）某抛物线过点并且与直线的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 20．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个图象的顶点坐标和对称轴． 21．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售量（件）与售价（元/件）之间的函数图象如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)若该商品进价为30元/件，当售价为多少元时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 22．（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 23．（2025·山西·模拟预测）请仔细阅读并完成相应的任务. 用图象法解一元二次不等式： 方法如下： 步骤一：设 步骤二：先将二次函数：化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x … 0 1 2 3 … y … ___ 3 ____ 3 0 … 步骤四：描点，连线（因为，所以抛物线开口向下）.   步骤五：观察函数图象可知，当或时，.所以的解集是或 任务： (1)“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是______； (2)将材料中的表格补充完整，并画出图像； (3)请直接写出一元二次不等式的解集是______． (4)参照上面材料的分析过程，请你写出一条与函数观点有关的体会或感悟． 24．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 25．（2025·江苏淮安·二模）已知二次函数经过点（m是常数，且）． (1)用m的代数式表示字母b，则______； (2)当m=3时，求函数的顶点坐标； (3)当时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围； (4)如图，在矩形中，，，点C、D在y轴上，抛物线的一部分图象经过矩形的内部，若点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，请直接写出满足条件的m的取值范围______． 26．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $