第18章 分式-【重点班提分练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步知识册（人教版2024）

第十八章分式 知识·学习区 般地，如果A,B表示两个整式，并且B中 。分式的概念一 含有字母，那么式子合叫作分式在分式君巾， A叫作分子，B叫作分母 分式 。分式有意义的条件一分式的分母不为0 0」 分式无意义的条件一 分式的分母为0 勿忽略 分式值为0的条件一 分式的分子为0，分母不为0 恒等变形∠ AA·CAA÷C 基本性质 BB·CBB÷C1 其中A,B,C(C≠0)是整式 A·CA >结果为最简 分式的 分式的约分 B·C=B (C是公因式) 分式或整式 性质 分式的通分 #合后歌台会：分=君：片分就 最简分式 分子与分母没有公因式的分式 美比分数 -0 分式的乘法一 .c_a·c 式 b`d=b·d o 分式的除法 da·d 分式的 运算 分式的乘方 (n是正整数) 结果为最简 0 分式的加减 a b_a±b,g±9 ad,bcad±bc 分式或整式 c e,6±d=bd±6d= bd 般地，当n是正整数时，&=。(a≠0) 负整数指数幂 科学记数法：a×10"（1≤a<10,n是正整数) 概念一分母中含未知数的方程 分式 方程 解分式方程的步骤—一 去，二解，三检 列分式方程解决实际问题的一般步骤一审、找、设、列、解、验、答 双重检验：所得解是否为所列< 方程的解：是否符合实际意义 27 重点班提分练数学八年级上册 技巧·提升区 ⊙扫码批改 ⊙重点题讲解 技巧提分1分式的恒等变形 型解读 模型1分离常数法 在处理分式问题时，有时由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算 时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分式的加减法，将分式拆分成 一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，通过对简单式的分析来解 决问题，我们称为分离常数法，此法在简化分式或处理分式的整除问题时 颇为有效 类型1直接分离常数 类型2待定系数法分离常数 （1)在分子中凑出能整除分母的 可以看成多项式除以多项式，所 式子； 得的商为整式部分，余式为分式 (2)逆用分式的加减，将原分式 拆成两个分式之和，一个分式的分 部分的分子，如把分式2红+3江+6 x-1 子为能整除分母的式子，另一个分 看成（2x2+3x+6)÷（x-1), 由于被除式的二次项系数为2，故 式的分子为常数； (3)将结果写成一个整式与一个 设商为2x+a,余式为b,利用恒 分子为常数的分式之和的形式 等的性质，可求得a,b的值 若一个分式能化成一 在分式中，对于只含有一个 个整式与一个分子为 字母的分式，当分子的次数 P,名师点晴 常数的分式的和的形 大于或等于分母的次数时， 式，则称这个分式为 我们称之为“假分式”；当 “和谐分式” 分子的次数小于分母的次数 时，我们称之为“真分式” 28 第十八章)分式 模型2恒等变形 分式的恒等变形是分式中比较综合的一类题型，主要考查学生充分利用题目 中的已知条件，综合应用分式的性质、分式的运算、因式分解等知识，对设 问中的分式进行变形，解决求值或证明问题 类型1整体换元法恒等变形 类型2利用分式的性质恒等变形 进行分式变形时，将分母或分子整 体代换，化分式为整式· 利用倒数关系；对分式的分子、 (1)识别可替换部分； 分母同时除以一个整式实现变形； (2)设定新变量； 分母有理化是分式恒等变形在根 (3)转化问题； 式分式中的应用；借助等式的性质 (4)求解或证明 在等式两边对分式进行恒等变形 整体换元法是换元法的 一种具体应用，其核心 利用分式的性质恒等变 思想是将数学表达式中 形不改变分式值的大 重复出现或结构复杂的 小，只改变分式的形式 P,名师点晴 部分视为一个整体，用 (约分或通分后需标注 新变量替代，从而将原 变量的限制条件，如分 问题转化为更简单的形式 母不为零) 模型演练 1.如果a,b,c是正数，且满足a+b+c=9, 1 .1.110 2(1)假分式+2可化为带分式 2+bb+cc+a9,那么61 的形式； b一+c的值为( (2) 的值为整数，那 c +a'a+b 如果分试红 A.6 B.7 C.9 D.10 么x的整数值为 3将分式3x+4红] x+1 拆分成一个整式与 4.已知abc=1,求 ab +a+I 一个分式（分子为整数)的和（或差) 6 的形式. bc+b+1+ac+c+1的值. 29 重点班提分练数学八年级上册 技巧提分2巧解分式方程 模型解读 分式方程的解法 特殊的分式方程的解法 (1)方程两边同乘最简公分母，把分式方 (1)分离常数法解分 程转化为整式方程； 式方程； (2)解这个整式方程； (2)裂项法解分式 (3)把整式方程的解代入最简公分母，如果 方程 最简公分母的值不为0，则整式方程的 解是原分式方程的解；否则，这个解不 是原分式方程的解 模型1分式方程的规律问题 通过观察， 发现方程x+=2+2 1 的解 利用分离常数法，将等式左边变 1 为2,：3+的解 形为1= x-1=x+ x-1 由于材料中的整式与分式部分 1 互为倒数，因此对等式两边同时 为1=3,2=3；x+ +=4+子的解为 =4,子把关于x的方程子+1 减1，即x-1+ x-1=a-1+ x-1 1 1 变形为方程+1=。+1的形 a-1 解得x1=a,x2= a-1 a-1 X 式是 方程的解是 经检验，x1=a,x2= ，是原 a-1 分式方程的解. P1名师点睛 将x-1与a-1当成整体，对应相等，再解分式方程即可 ◇模型2分离常数法解分式方程 解分式方程： x+7,x+9 每个分式的分子与分母相差1，故可用分离常数 x+6 x+8 法将原式变形为1一 1 1 1 x+10,x+6 x+6x+8x+9x+5 x+9x+5 P,名师点晴 为简便运算，可先进行分组通分，再解方程，最后检验 第十八章)分式 ◇模型3裂项法解分式方程 裂项公式 1 11 n (n+1)nn+I: 裂项后同项相消，再解分式方程即可 P,名师点睛 最后检验要保证原分式方程每个分式都有意义 模型演练 1.解关于x的方程：x+2 -1sa+-2 a-1 2.解方程.龙+3x+4x+1x+2 x+4x+5x+2x+3 1 3.解方程：(：+1)(x+2)十(x+2)(x+3)+…+x+2025)(0+2026) 1- 2x+4052 满分·冲刺区 ◇压轴满分集训 1.若关于x的分式方程2x-2+2m x-2 「2-x 2若x=2025,则代数式+2红+1 x-1 5有增根，则m的值是（) A.m=2 B.m=1 4x+1的值为 1-x C.m=1或m=2 D.m=-2 3.若关于x的方程3，=4，的解是 x-1x-h 31 重点班提分练数学八年级上册 正数，则k要满足的条件是 8.©中考新角度·新定义定义：若分 4.已知当x=1时，分式-没有意义； 式A与分式B的差等于它们的积，即 -a A-B=AB,则称分式B是分式A的“可 而当x=2时，该分式的值为0，则代 数式(a-b)2026= 存异分式”如1与1 x+1 +2 因为 5(1)计算：2026-（分+4： 11 1 x+1x+2-(x+1)(x+2) (2)化简：(1+7÷ 1 1 x+1x+2(x+1)(x+2)1 所以1。是1 的“可存异分式”. x+2 x+1 1已知分式十 是分式A的“可 存异分式” a+3 6.先化简，再求值：a2二2a+1 ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数， a2+3a (a-1)2,其中a=-2 直接写出分式A的值， (2)若关于x的分式 n+2 mx m2+n 是关于的分式+的可存异 分式”，求6n2+19m+534的值. 7.生物实验课上要求：制作并观察洋葱 鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周 生物老师用20元购买了一部分洋葱， 本周实验时发现洋葱不够用，由于天 气原因，本周洋葱单价上涨了20%， 生物老师花了30元，但只比上周多 买了10斤洋葱.求上周生物老师买 的洋葱的单价. 32技巧提分2十字相乘法 1.Da2-5a-6=(a-6)(a+1). 2.D把多项式x2+mx+12分解因式后含有 因式x+2,∴.x2+mx+12=（x+2)(x+6)=x2+ 8x+12,∴.m=8. 3.B(x+3)(x-4)=x2-4x+3x-12=x2-x-12,(x+ 1)(x+3)=x2+3x+x+3=x2+4x+3..甲把m看 错分解结果为(x+3)(x-4),乙把n看错分解 结果为(x+1)(x+3),.n=-12,m=4,.x2+ mx+n=x2+4x-12=(x+6)(x-2). 4.(xy+1)(y-3)x2y2-2xy-3=(xy+1)· (xy-3). 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.B①t2+2t-15=(t+5)(t-3);②a2+1不能 因式分解；③a2-6a+9=(a-3)2;④x2+5y不 能因式分解；⑤x2-2=(x+√2)(x-√2)； ⑥2x2-6x3=2x2(1-3x).综上可知，在实数范 围内，能因式分解的多项式是①③⑤⑥，共 4个. 2.D将a2=b2+c2代入a2+b2=c2,得b2+c2+ b2=c2,.2b2=0,∴.b=0,∴.a2=c2,.a2-c2 0,.(a+c)(a-c)=0.a+b+c≠0，∴.a+c≠ 0,.a-c=0,∴.a=c≠0..a+b≠0，b+c≠0， b2-4ac=-4a2<0.综上所述，只有结论D符合 题意 3.B根据题意得，x(x+3)+x(x+4)+…+x(x+ n)=x(9x+m),∴.x（x+3+x+4+…+x+ n)=x（9x+m),∴.x[(n-3+1)x+ (n-3+1)(3+n]=x(9x+m),.n-2=9,m= 2 (n-3+1)(3+n) ,∴.n=11,m=63. 4.(x-1)(3x-4)(2x+1)原式=6x3-6x2-5x2+ x+4=6x2(x-1)-(5x2-x-4)=6x2(x-1)-(x 1)(5x+4)=(x-1)(6x2-5x-4)=（x-1)(3x 4)(2x+1). 5.3a= .1 1 99x+2025,6=99x+2024,c=g9x+ 2026,∴.a-b=1,b-c=-2,a-c=-1,.a2+b2+ -ah-bc-c=号(2a2+2+22-2ab-2k 2ac)=2【(a-b)2+(b-c)2+(a-c)21.a- b=1,b-c=-2,a-c=-1,原式=2× 1 [12+(-2)+(-1)]=2×6=3. 6.解：设A=10a+b,则G=10b+a,其中a和b都 是1到9的自然数， 则x+y=20a+2b,xy=(10b+a)2=100b2+ 20ab+a2, .(x+y)2=(20a+2b)2=400a2+80ab+462, (x-y)2=(xy)2-4xy=396a2-39662=22×32× 11(a+b)(a-b). x,y都是自然数，∴.(x-y)2是完全平方数， ∴.(a+b)和(a-b)中必有一个是11的倍数 :a和b都是1到9的自然数， .a+b=11,.a-b也是一个完全平方数， ∴.a=6,b=5, (x-y)2=(2×3×11)2, .x-y=66,x+y=20a+2b=130, 解得x=98,y=32. 第十八章分式 技巧·提升区 技巧提分1分式的恒等变形 1.Ba,b,c是正数，且满足a+b+c=9,∴.a= 9-b-c,6=9-a-c,c=9-a-b,原式=9-b-c b+c 9-a-c+9-ab-9+9+9-3=9x10 一十 一十 c+aa+bb+cc+aa+b 3=7. 2.(1)1-3-1x+2-3 3 1- x+2x+2x+2 x+2 2 (2)0或-2或2或-42x-1_2(x+1)-3 x+1x+1 2 2:分式的值为是数为整 3 数，∴.x+1=±1或±3，x的整数值为0或-2 或2或-4. 3.由分母为x+1,可设3x2+4x-1=（x+1)· (3x+a）+b. .(x+1)(3x+a)+b=3x2+ax+3x+a+b=3x2+(a+ 3)x+a+b, .3x2+4x-1=3x2+(a+3)x+a+b. o*3=4,解得 a=1, 1a+b=-1,lb=-2, 3x2+4x-1 （x+1)(3x+1)-2 x+1 x+1 (x+1)(3x+1)2 x+1 =3x+1-2 x+1 +11 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一 个分式 2的和的形式 x+11 4.abc=1,原式=，a ab ab+a+l abc+ab+a abc a ab 1 a'bc+abc+abab+a+l ab+a+l ab+a+l ab+a+1 6*a+i1. 技巧提分2巧解分式方程 22 1.解：x+ -=a十 x-1 a-1' x-1+2 2 =a-1+ -1 a-1 六-1=a-1或-1=2 -11 解得x=a或x=a a-1 验：aL当=a或x时，x1知 ·原方程的解为x=a或x=a+l a-1 7 2.解：原方程可变形为1-11+1 s11 x+41x+51x+2 1 1+ x+3? 化简，得11=1.1 x+4x+5x+2x+31 即(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)' 方程的两边同乘(x+2)(x+3)(x+4)(x+5), 得(x+2)(x+3)=(x+4)(x+5), 7 解得x二2 检验把=子代人(+2)(x+3)(+4) 9 (x+5)=160, “.原方程的解为x=2 7 3.解：根据裂项公式，得 *1+2)+(1、1 11 八x+2t3）+…+ x+2025 1 1 )=1- x+2026 x+2026' 去括号，得11十11 十…十 x+1x+2x+2x+3x+2025 1 1 =1- x+2026x+20261 化简得1 1 1 =1- +1x+2026x+20261 即 =1,解得x=0. +1 检验：当x=0时，（x+1)(x+2)·…·(x+ 2026)≠0. ∴.原方程的解为x=0. 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.B方程22+20=5的两边乘-2，得 x-22-x 2x-2-2m=5(x-2). .分式方程有增根，∴.x=2. 2 将x=2代入整式方程，得2×2-2-2m=5× (2-2), 解得m=1. 2.2025 2+2x+l+4+1-+2x+1_e+1= x-11-x x-1x-1 *1s1 0+2x+1-441=-2x+1+1 -+1=x-1+ x-1 x-1 1=x.当x=2025时，原式=x=2025. 3.k<3且k≠1方程两边乘(x-1)(x-k),得 4 3(x-k)=4(x-1),解得x=4-3k..关于x的 方程，的解处正数，43>0且4 3站1,3≠，写且1 41当=1时分式。买使分式 没有意义，则有1-a=0,解得a=1.当x=2 时，分式-62-6 式要使分式号的值为0，则 有2-b=0且2-a≠0，解得b=2,a≠2.综上知 a=1,b=2,.(a-b)2026=(1-2)226= (-1)2026=1. 5.解：(1)原式=1-3+2=0. （2)原式=1+)名- x x-1 (+1)(x-1)=x.(x+1)(x-1=x+1. x-1 6解：原式=，a+3.(a-1)21 (a-1)2a(a+3)a 当a=-2时，原式=2 1 7解：设上周生物老师购买洋葱的单价为每斤 x元，则本周所买洋葱的单价为每斤(1+ 20%)x元， 2030 根据题意得 10, x(1+20%)x 解得x=0.5, 检验：x=0.5是原方程的解，且符合题意、 74 答：上周生物老师购买洋葱的单价为每斤 0.5元. B)①解：比分式3是分式A的“可存异分 式”，.A- 2x+3.2x+3 3x+3A(1 2x+3、 =AX- = x+3 3x+31 3x+3A=2+3 2x+3 3x+3÷(1 2x+3、2x+3 3x+3）= 3x+3 3x+3-2x-32x+33x+32x+3 3x+33x+3xx ②分式A的值是1或3或5. 提示：：整数x使得分式A的值是正整数， 4=2x+323 =2+x=-3或3或1心分式A 的值是1或3或5. (2解：设分式加是关于：的分式的 “可存异分式”， mtn:Ms m-1 则1 mnt, M=m-1 ,m- ÷( mx+n2mx+n2 1) =m-1 mx+n2 mxtn2 m-1+mx+n? m-1 m-1+mxtn2 “关于x的分式n+ mx+m2 一是关于x的分式 的“可存异分式”， mx+n .m-1=n+2,m-1+mx+n2=mx+m2+n, ∴.m-n=3,(m+n)(m-n)+n-m+1=0, 117 则m=6n=6 61 .6n2+19n+534 72 7 =6x(-6)+19x(-6)+534 49133 +534 66 =520.