第17章 因式分解检测自评卷-【重点班提分练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步试卷册（人教版2024）

则成本价减少了9b元. 23.(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab. 提示：阴影部分是一个边长为a-b的正方 形，其面积为(a-b)2 阴影部分的面积等于边长为a+b的正方形 的面积减去4个长为a、宽为b的长方形的 面积，可表示为(a+b)2-4ab,∴.(a-b)2= (a+b)2-4ab. 解：(2).边长分别为a,b,c的三个正方形 的面积之和等于边长为a+b+c的正方形的 面积减去图中6个长方形的面积， .a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc). .a+b+c=6,ab+ac+bc=11, .a2+b2+c2=62-2×11=14. (3)AE=DE=m,CE=BE=n. :AC=7,种花区域的面积为2， 35 六m=7,2+=5 1.1 2 .m2+n2=35, .(m+n)2=m2+2mn+n2=7=49, ∴.mn=7, 11 ·S#*区线=2mn+2mn=mn=7, 第十七章检测自评卷 1.BA.(x+3)(x-3)=x2-9,属于整式的乘法 计算，不符合题意；B.x2-2x+1=(x-1)2,属 于因式分解，符合题意；C.x2-9+x=(x+3) (x-3)+x,右边不完全是积的形式，不符合题 意；D.x(x-1)=x2-x属于整式的乘法计算， 不符合题意， 2.D多项式4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z3的系数 的最大公约数是4，相同字母的最低指数次 幂是x2yz2,.多项式4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z 的公因式是4x2yz2. 3.DA.原式=5a2(2a+1),故不符合题意； B.原式=(2x+3)(2x-3),故不符合题意； C.a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因 式，故不符合题意；D.原式=（x-6)(x+1),故 -8 符合题意 4.Ba4-⊕=(a2-b)(a2+b)=a4-b2, ∴.④=b2. 5.B9(x-y)2+12(x2-y2)+4(x+y)2 =[3(xy)]2+12(x+y)(xy)+[2(x+y)]2 =[3(x+y)+2(x-y)]2, =(5x+y)2. 6.B由题意可知，原式=n(n-1)(n+1), ∴.n3-n可写成三个连续自然数的积，其中有 因数必为偶数，也有因数必为3的倍数， ∴.n3-n是一个偶数，而且是3的倍数. 又210=5×6×7=63-6，故只有选项B符合 条件 7.B.M=5a2-2b2+4a-4,N=6a2-b2+ 2b+1, ∴.N-M=6a2-b2+2b+1-(5a2-2b2+4a-4) =6a2-b2+2b+1-5a2+2b2-4a+4 =a2-4a+4+b2+2b+1 =(a-2)2+(b+1)2. (a-2)2≥0，(b+1)2≥0， .(a-2)2+(b+1)2≥0，.M≤N. 8.D(k+5)2-(k-2)2=k2+10k+25-(k2-4k+ 4)=k2+10k+25-k2+4k-4=14k+21=7(2k+ 3).由条件可知2k+3是整数，∴.(k+5)2- (k-2)2的值总能被7整除. 9.D2x2-y-5x+y+4=0,∴.x2+x2-xy-4x-x+ y+4=0,∴.x2-4x+4+x(x-y)-(x-y)=0, .(x-2)2+(x-y)(x-1)=0. (x-2)2≥0，x≥y≥1，.(xy)(x-1)≥0， ∴.(x-2)2=0,(x-y）(x-1)=0,∴.x=y=2, ∴.x+y=4. 10.C根据a<b<c<d<e,且a,b,c,d,e为整数， 可得M的项数至少是4项，故不可能小于 等于3，故说法①正确.若e=0,则a<b<c<d< 0,假设M可以分解为一个整式的平方，设 M=(px2+qx+r)2,M=(px2+qx+r)2 (px2+qx+r)(px2+qx+r)=px+pqx+prx2+ pox+x+qx+prx+qrx+r=px+2pqx+ (2pr+q2)x2+2qrx+r2,..a=p2,b=2pq,c= P 2pr+q2,d=2gr,e=r2.e=0,.r=0,d=0, 这与d<e矛盾，∴.假设不成立，∴.若e=0,则M 不可能分解为一个整式的平方，∴.说法②正 确.若a+b+c+d+e=18,且a,b,c,d,e均为正 整数，则有a=1,b=2,c=3,d=4,e=8,或 a=1,b=2,c=3,d=5,e=7,或a=1,b=2,c= 4,d=5,e=6共三种情况，故说法③错误. 11.3x(3x-y）9x2-3xy=3x(3x-y). 12.-15a+b=3,ab=-5,∴.a2b+ab2= ab·(a+b)=-5×3=-15. 13.a+b(a-b)x=a2-b2,.(a-b)x=(a+b)· （a-b)..'a≠b,∴.a-b≠0，∴.x=a+b. 14.1a2+b2-4a-2b+5=0,.(a-2)2+ (b-1)2=0,∴.a-2=0,b-1=0,∴.a=2, b=1.①当三边长为2,2,1时，能构成三角 形，∴.底边长为1；②当三边长为2,1,1时， 不能构成三角形.综上可知，等腰三角形的 底边长为1. 15.35.'m-n>1,m,n均为正整数，∴.m-n=2, m-n=3,m-n=4,m-n=5,…,∴.m=n+2, m=n+3,m=n+4,m=n+5,…,m2-n2= (m+n)(m-n),∴.当m=n+2时，m2-n2= (n+2)2-n2=(n+2+n)(n+2-n)=2(2n+2), 得到的“智慧优数”分别为：8,12,16,20,24， 28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72, 76,80,…,当m=n+3时，m2-n2=(n+3)2 n2=(n+3+n)(n+3-n)=3(2n+3),得到的 “智慧优数”分别为15,21,27,33,39,45， 51,57,63,69,75,81,.当m=n+4时，m2 n2=(n+4)2-n2=(n+4+n)(n+4-n)= 4(2n+4),得到的“智慧优数”分别为24， 32,40,48,56,64,72,80,….当m=n+5时， m2-n2=(n+5)2-n2=(n+5+n)(n+5-n)= 5(2n+5),得到的“智慧优数”分别为35， 45,55,65,75,85,….当m=n+6时，m2-n2 (n+6)2-n2=(n+6+n)(n+6-n)=6(2n+6), 得到的“智慧优数”分别为48,60,72,84，… 当m=n+7时，m2-n2=(n+7)2-n2=(n+ 7+n)(n+7-n)=7(2n+7),得到的“智慧优 -…8 数”分别为63,77,91，….当m=n+8时，m2 n2=(n+8)2-n2=(n+8+n)(n+8-n)= 8(2n+8),得到的“智慧优数”分别为80， 96,….∴.把这些“智慧优数”从小到大排列 为8,12,15,16,20,21,24,27,28,32,33,35， 36,39,40,44,45,48,51,52,…,.第12个 智慧优数是35. 16.解：(1)ma2-mb2 =m(a2-b2) =m(a+b)(a-b). (2)3x2y-18xy2+27y3 =3y(x2-6xy+9y2) =3y(x-3y)2. 17.解：原式=2n(n+1)-2n(n-2) =2n(n+1-n+2) =2n·3 =6n. 6n一定是3的倍数， ,∴.2n(n+1)-n(2n-4)一定能被3整除. 18.解：(1)m2-mn+mx-nx=(m2-mn)+(mx nx)=m(m-n)+x(m-n)=(m-n)(m+x). (2)x2-2y+y2-9=(x2-2xy+y2)-9=（x y)2-32=(x-y+3)(x-y-3). 19.(1)21;69. 提示：，m-n=3,m2-n2=(mtn)(m-n), ∴.第1个“三方数”是42-12=3×(1+4)=3×5= 15:第2个“三方数”是52-22=3×(2+5)= 3×7=21;第3个“三方数”是62-32=3×(3+ 6)=3×9=27;…第10个“三方数”是 132-102=3×(10+13)=69. (2)解：2025是“三方数”.理由如下： 由(1)可知第k(k是正整数)个“三方数”是 (+3)2-k2=3(k+k+3)=3(2k+3), 当3(2k+3)=2025时，解得k=336, 故2025是“三方数”. 20.解：(1).（x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a= x2-5x+6, ∴.a-2=-5, ∴.a=-3. (2).(2x-1)(x+c)=2x2+(2c-1)x- c=2x2+bx-5, 2c-1=b, -e=-5, 解得69， lc=5. 21.解：(1).a2+b2-8a-12b+52=0, .a2-8a+16+b2-12b+36=0, ∴.(a-4)2+(b-6)2=0. .(a-4)2≥0，(b-6)2≥0， ∴.a-4=0,b-6=0,a=4,b=6. △ABC的三边长分别为a,b,c, ∴.6-4<c<6+4,即2<c<10. ,△ABC的最长边的长为c, ∴.c≥6，.6≤c<10, ,△ABC的最长边的长c的值为6,7,8,9. (2)a2+2b2-2ab+4b+4=0, .a2-2ab+b2+b2+46+4=0, ∴.(a-b)2+(b+2)2=0. ,(a-b)2≥0，(b+2)2≥0， ∴.a-b=0,b+2=0, ∴.a=b=-2, ∴.ab=4. 22.解：(1)分解得不彻底.分解过程如下： 设x2-2x=m,则 原式=m(m+2)+1 =m2+2m+1 =(m+1)2 =(x2-2x+1)2 =(x-1)4. (2)设x2+6x=y,则 原式=y(y+18)+81 =y2+18y+81 =(y+9)2 =(x2+6x+9)2 =(x+3)4 23.(1)(a+b)2=a2+2ab+b2. 提示：大正方形的面积有两种表示方法，可 以是(a+b)2,也可以是a2+2ab+b2. 由面积相等，得(a+b)2=a2+2ab+b2, (2)(a+b+c)2=a2+b2+e2+2ab+2bc+2ac. 提示：边长为a+b+c的正方形的面积为(a+ b+c)2,分9部分来看，正方形的面积为a2+ b2+c2+2ab+2bc+2ac. 两部分面积相等， .(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, 解：(3)由(2)知(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+ 2bc+2ac. a+b+c=8,ab+bc+ac=25, ..a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-26c-2ac =(a+b+c)2-2(ab+bc+ac) =82-2×25=14 (4)由题意可得，所拼成的长方形或正方 形的面积为2a2+mab+3b2,从因式分解的 角度看，可分解为(2a+b)(a+3b)或(2a+ 3b)(a+b) (2a+b)（a+3b)=2a2+7ab+3b2, (2a+3b)(a+b)=2a2+5ab+3b2, ∴.m的值为7或5. 第十八章检测自评卷 1.B分式设有意义时，=0，放A远项不符 合题意：分式，”设有意义时，=2，放B选项 符合题意；分式22没有意义时，x=1,故C 选项不符合题意：分式设有意义时 -2,故D选项不符合题意 2.D 京放《选项不是最简分式不 y x+1 1 符合题意 x+1 1-2(1-x)(1+)1x故B选 项不是最简分式，不符合题意62+1232+6 2x2 故C选项不是最简分式，不符合题意；4 x-1 是最简分式，故D选项符合题意， 90高效备考 精谁提分 第十七章检测自评卷 ⊙扫码 重点题讲解 厨 时间：120分钟满分：120分 一、单选题（本题共计10小题，每小题3分，共30分） 1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（( A.(x+3)(x-3)=x2-9 B.x2-2x+1=(x-1)2 C.x2-9+x=(x+3)(x-3)+x D.x(x-1)=x2-x 2.多项式4xyz2-8x2y2+12xy2z3的公因式是( 请 A.4xy B.-8x2y C.12x'y D.4x2y 题 3.下列因式分解结果正确的是 A.10a3+5a2=5a(2a2+a) B.4x2-9=(4x+3)(4x-3) C.a2-2a-1=(a-1)2 D.x2-5x-6=(x-6)(x+1)》 4.某同学粗心大意，分解因式时，把式子a-④= (a2-b)(a2+b)中的一部分弄污了，那么你认为式 子中的④所对应的代数式是 ( A.b B.62 C.2b D.b4 5.9(x-y)2+12(x2-y2)+4(x+y)2因式分解的结果 为 A.(3x-2y)(3x+2y) B.(5x+y)2 C.(5x-y)2 D.(5x-2y)2 6.设n为某一自然数，代入代数式n3-n计算其值 图 时，四个学生算出了下列四个结果.其中正确的结 果是 ( A.121 B.210 C.335 D.505 7.已知M=5a2-2b2+4a-4,N=6a2-b2+2b+1,则 M和N的大小关系是 A.M≥N B.M≤N C.M<N D.M>N 8.若k为任意整数，则(k+5)2-(k-2)2的值 总能 ) A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 9.已知2x2-y-5x+y+4=0,且x≥y≥1，则x+y的 值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知关于x的整式M=ax4+bx3+cx2+dx+e,其中 a,b,c,d,e为整数，且a<b<c<d<e,下列说法： ①M的项数不可能小于等于3；②若e=0,则M不 可能分解为一个整式的平方；③若a+b+c+d+e= 18,且a,b,c,d,e均为正整数，则满足条件的M共 有4个.其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本题共计5小题，每小题3分，共15分） 11.分解因式9x2-3xy= 12.已知a+b=3,ab=-5,则多项式ab+ab2的值为 13.如果a≠b,那么关于x的方程(a-b)x=a2-b2的 解为x= 14.已知a2+b2-4a-2b+5=0,则以a,b为边的等腰 三角形的底边长为 15.中考新角度新定义如果一个正整数能表示为两 个正整数m,n的平方差，且m-n>1,则称这个正 整数为“智慧优数”.例如，16=52-32,16就是一个 智慧优数，可以利用m2-n2=(m+n)(m-n)进行 研究.若将智慧优数从小到大排列，则第12个智慧 优数是 第十七章检测自评卷 三、解答题（本题共计8小题，共75分） 16.(10分)分解因式： (1)ma2-mb2; (2)3x2y-18xy2+27y3. 17.（(9分)若n为正整数，试说明2n(n+1)-n(2n- 4)一定能被3整除， 18.（(9分)观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进 行的分解因式： 甲：x2-y+4x-4y =（x2-y)+(4x-4y)(分成两组) =x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式) =(x-y)(x+4). 乙：a2-b2-c2+2bc =a2-(b2+c2-2bc)(分成两组) =a2-(b-c)2(直接运用完全平方公式) =(a+b-c)(a-b+c)(再用平方差公式) 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m -mn +mx -nx; (2)x2-2xy+y2-9. 11 19.中考新角度新定义(9分)定义：如果一个正整数 能表示为两个正整数m,n的平方差，且m-n=3, 则称这个正整数为“三方数”.例如：15=42-12,15 就是一个“三方数” (1)将“三方数”从小到大排列，第2个“三方数”是 ;第10个“三方数”是 (2)请判断2025是“三方数”吗？并说明理由 20.(9分)完成下面各题： (1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+ a),求a的值； (2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)· (x+c),求b,c的值. 21.(9分)探究下面的问题： (1)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满 足a2+b2-8a-12b+52=0,求△ABC的最长 边长c的值 (2)已知a2+2b2-2ab+4b+4=0,求ab的值， 12 22.中考新角度阅读理解(10分)阅读：换元法是一 种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具. 下面是对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因 式分解的解题思路： 将“x2-2x”看成一个整体，设x2-2x=m,则 原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2. 再将“m”还原为“x2-2x”即可. 解题过程如下： 解：设x2-2x=m,则 原式=m(m+2)+1 =m2+2m+1 =(m+1)2 =(x2-2x+1)2 问题： (1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果 没有彻底，请写出完整的解答过程 (2)请你模仿以上方法，将多项式(x2+6x)(x2+ 6x+18)+81进行因式分解. 第十七章检测自评卷 23.中考新角度综合与实践(10分) 【问题情境】 (1)对于图1，通过两种不同的方法计算它的面积， 可以得到一个数学等式 【探究实践】 (2)类比图1，写出图2中所表示的数学等式 (3)利用(2)中得到的结论，解决问题：若α+b+c= 8,ab+bc+ac=25,求a2+b2+c2的值. 【拓展应用】 (4)用图3中2张边长为α的正方形，3张边长为b 的正方形，m张边长分别为a,b的长方形纸片 拼出一个长方形或正方形，直接写出m的值. 图1 图2 图3