求圆锥曲线离心率的值或取值范围的八种方法和四种分析策略 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

求圆锥曲线离心率的值或取值范围的八种方法和四种分析策略 (1) 八种常用方法 1　 定义法：直接求出或的比值 【例1.】 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 【例2.】 已知为椭圆上的一点，椭圆的右焦点为，若直线的斜率为为线段的中点，且，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意得出或，代入即可求离心率. 【详解】直线的斜率为，易得， 又，则， 所以点或， 当时，代入椭圆方程得，即， 整理得，解得，所以，，    当点时，，故，    故答案为：或. 【例3.】 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正切公式、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】    在中，而，则， 所以，故， 所以. 故选：B 【例4.】 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据三角形为等边三角形确定点的坐标，然后可求出的中点的坐标，然后将其代入双曲线中解得离心率. 【详解】因为，所以正三角形的边长为. 所以点在轴上，且，所以. 所以的中点. 因为的中点在双曲线上，所以. 化简得，继续化简得， 解得. 所以解得. 故选：C. 【例5.】 过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，    则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设出点的坐标，则可得出点坐标及中点坐标，然后分别由三点共线、及椭圆方程点差法得到坐标关系式；整理可得关系式，进而求得离心率. 【详解】设线段PH的中点为D，，，则，， 所以，， 所以， 所以①． 因为A，D，B三点共线，所以， 所以②． 由得③ 将①②代入③可得，故，即， 则C的离心率为． 故选：B. 【例6.】 已知双曲线，右焦点，过点且斜率为的直线交于、两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题可设直线的方程为：，，.联立方程组，消去得，则由韦达定理结合，得到关于和的齐次方程即可求解双曲线的离心率. 【详解】由题可设直线的方程为：，，. 联立方程组，消去化简整理得， 则， 所以， 化简得，即，即， 所以，解得. 故选：B. 2　 利用椭圆、双曲线的性质 【例7.】 已知是椭圆上一点，若是点到左准线的距离与的等比中项，则离心率的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等比中项的应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆上一点到左准线的距离公式及等比中项的性质，解出点的横坐标，根据椭圆上一点的横坐标范围，得到一个不等式，解不等式得到离心率的取值范围即可. 【详解】如图，结合椭圆第二定义可得点到左准线的距离， 依题意，，即， 设点的横坐标为， 故，解得， 由知， 故，即，，解得或（舍）， 结合椭圆离心率的范围，得到的取值范围是. 故答案为：. 【例8.】 已知椭圆的左顶点与左焦点分别为点A，F，下顶点为点，且的面积等于，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、三角形面积公式及其应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意可知，结合面积关系列式求解即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可知，， 因为，则， 两边平方得，则， 整理可得，所以椭圆的离心率． 故答案为：. 【例9.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的一条渐近线交于点．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】 求出直线与渐近线交点，利用得出关系，即可得解. 【详解】联立，可解得，所以， 所以， ． 由，可得， 即，即． 又因为，所以， 所以双曲线的离心率， 故选：． 【例10.】 过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设出的坐标写出切线方程从而得到切线与轴交点的横坐标，再利用双曲线第二定义表示出的值，再根据得到相似比即可求的值进而求离心率. 【详解】设，则切线的方程为， 设切线与轴交点为，令可得点的横坐标， 根据双曲线第二定义可得， 由，即， 也即，解得， 则，故. 故答案为： 3　 利用平面几何性质 【例11.】 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解. 【详解】由椭圆的定义得， 又，故， 由，得， 又椭圆的离心率，则. 故选：B 【例12.】 设椭圆的一个焦点为，为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】 设左焦点为，则由椭圆的定义知，， 因为，所以， 则，可得，此时满足点在椭圆内，所以． 故答案为：. 【例13.】 椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】解法一：先根据列出等式，然后得到不等式组，进而求得离心率的范围； 解法二：先根据列出等式，然后根据范围得到不等式，进而求得离心率的范围. 【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等， 而，于是，即， 结合得又，故． 解法二：设点，则有，即，解得， 又因为，所以有，两边同时除以，可以解得． 故选：D. 【例14.】 如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得. 故选：B． 【例15.】 记椭圆的左、右焦点分别为，其上存在两点构成的四边形满足，则离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】如下图，由椭圆性质可知，，，结合推出四边形共圆，因为 关于轴对称，所以圆心必位于轴上，设圆心为，半径为，则圆的方程为，代入得，结合椭圆性质联立椭圆方程得出，由推出，联立方程推出，进而得出，从而得出答案. 【详解】    由椭圆的性质可知，，，. 因为，则，即四边形对角互补， 所以四边形共圆. 因为 关于轴对称，所以圆心必位于轴上， 设圆心为，半径为，则圆的方程为, 代入可得，. 联立， 已知该方程有两个实数解，即的纵坐标， 所以, 所以. 又因为， 所以. 令，， 则， . 又因为， 所以. 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：C. 4　 利用三角函数 【例16.】 已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】把点坐标设为参数形式，再由及三角函数性质得到离心率的范围. 【详解】设，，， ． 化简得，因，所以， 整理得，，所以．即. 故选：B． 【例17.】 已知半椭圆与半椭圆组成的曲线如图所示，其中．该曲线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在点使得，则半椭圆的离心率的取值范围为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】方法1：设，根据已知条件先将向量表示出来，然后根据向量的数量积为0列出方程进行求解即可； 方法2：设，然后将向量表示出来，然后根据向量的数量积为0列出方程进行求解即可. 【详解】方法1：设，因为，所以 所以． 因为，所以． 因为存在点使得，即， 所以在上有解． 因为，且， 所以在上有解，即在上有解． 因为，所以即解得． 方法2：设，由题意存在点使得，即， 因为，所以 所以所以．因为，所以． 因为，所以即解得． 故答案为：. 5　 利用判别式 【例18.】 已知椭圆C：的右焦点为F，P为C上一点，∠OPF的最大值为．则C的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】又题设，则，，则，可得到，且等号需成立，即可得到离心率. 【详解】    由题意，． 设，则，．P在椭圆上，则， 故， 即．而，故， 整理得， 所以，，． 由题意，最大值可取到，即等号须成立，否则不存在使得． 故，，C的离心率为. 故答案为：. 6　 利用基本不等式 【例19.】 已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率. 【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为. 故选：C. 【例20.】 已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先利用点坐标表示的中点的坐标，再代入椭圆方程，利用椭圆方程与基本不等式，表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解. 【详解】设， 的中点为，由， 得， 而， 故， 即， 整理得， 因为的任意性，此不等式恒成立， 故，即， 解得. 故椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 【例21.】 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则，由的最小值为及范围可求. 【详解】设，则， 所以，当且仅当时取等号． 由，得，又， 所以. 故选：D. 【例22.】 已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设点的坐标，根据点在双曲线上，结合点，的坐标得到直线PA，PB的斜率之积，利用基本不等式得到，从而得到双曲线离心率的取值范围． 【详解】设点，其中，易知点，且有， 则. 因为，所以在第一或第三象限，由双曲线的对称性， 不妨令点在第一象限，则， 则，且， 由基本不等式可得， 所以存在点，使得直线PA，PB的斜率之和为， 即，所以． 故答案为：． 7　 利用已知参数的范围 【例23.】 已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】把的最大值的问题转化为椭圆上的点到圆心的最大值，进而转化为不等式恒成立问题，得到范围及离心率的最大值. 【详解】由化简为，圆心．如图，    因为，所以的最大值为5等价于的最大值为4. 设，由，得 ①，又在上 ② 联立①②消去，化简得， 即，因在上，则有，得， 故，即在上成立(*). 令，因，则函数在上单调递减. 故，由（*）可得，解得，故. 所以，即， 即椭圆的离心率的最大值为. 故答案为：. 【例24.】 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆中向量共线比例问题、求椭圆中的参数及范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】运用坐标进行运算，把坐标代入进已知条件中，化简后得到离心率的范围. 【详解】因为，，所以，令， 因为，所以 由点都在椭圆上，得解得 因为，所以，解得.所以. 所以椭圆的离心率的取值范围为. 【例25.】 已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】椭圆的对称性可知，A，关于原点对称，得四边形为平行四边形，利用椭圆定义求出，，再根据点到直线的距离不小于，求出，进而求得离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，，如图， 由椭圆的对称性可知，A，关于原点对称，则，又， 所以四边形为平行四边形， 则，又，解得， 由点到直线的距离，解得，即， 所以，故． 故答案为：. 【例26.】 已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题可得，由可得，据此可得答案. 【详解】设直线，即．由点到直线的距离公式， 得点到直线的距离，点到直线的距离. 因，则. 由 ,则. 故选：C． 【例27.】 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线向量共线比例问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先确定的坐标，由的坐标结合求得的坐标，根据在双曲线上，得出和离心率的关系，进而得解. 【详解】 由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得， 设，由，得，所以， 解得，即， 因为点N在双曲线C上，所以， 所以，解得. 因为，所以，则， 所以，又.所以. 故选：B 【例28.】 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用得的关系式，然后求得离心率范围. 【详解】设直线的方程为，则其与另一条渐近线的交点为，    由为锐角，可得，即， 化简得，，，所以．故离心率的取值范围为． 故答案为： 8　 利用非负数性质 【例29.】 已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，若存在以为直径的圆恰过原点，求离心率的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设过右焦点的直线方程为，，联立椭圆方程，结合题意可得，进而计算求解即可. 【详解】过右焦点斜率为0的直线不符合题意，设过右焦点的直线方程为，， 已知， 联立，得， 即． 因为， 即， 即， 所以， 可得，从而， 即，即， 所以，解得． 故，所以离心率的取值范围为． 【例30.】 若双曲线上不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设关于直线的对称点，且在轴上，，利用斜率两点式及向量垂直的坐标表示得，再由得且求离心率范围，再根据题设确定所求离心率范围. 【详解】设关于直线的对称点，且在轴上，， 所以的中点为在直线上，则，， 由，，则，故， 所以，又，则， 所以且，可得， 要使不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上， 所以. 故答案为： (2) 四种分析策略 1　 定义分析策略 【例31.】 （多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，利用椭圆的标准方程，以及几何性质，结合余弦定理，列出关于的方程，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆，可得，且，则， 对于A中，若，可得， 又由椭圆的定义，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，可得， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 对于B中，若，因为，可得， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以B正确； 对于C中，若，可得 由椭圆的定义， 且， 所以，可得，所以， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以C不正确； 对于D中，若，设，则， 由勾股定理，可得，即， 解得，即，， 由，且三点共线，可得， 代入椭圆的方程，可得，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以D正确. 故选：ABD. 【例32.】 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】先根据双曲线定义依次求出、、和，接着由在和中运用余弦定理列方程即可求解. 【详解】因为，两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得，， 又，解得，， 又，可得，， 在中，根据余弦定理得， 在中，根据余弦定理得， 因为，所以， 化简整理得，解得. 故选：B. 【例33.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用等面积法可得，结合可得，继而利用比例的性质可得，即得答案. 【详解】由题意知的平分线交轴于点，故， 故，（d为的边上的高）， 即得，结合可得， 所以， 对于有， 故，即的离心率为. 故选：A 【例34.】 设椭圆的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 2　 几何性质分析策略 【例35.】 已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】代入焦点横坐标，可得到点坐标，代入条件即得答案. 【详解】将 代入椭圆方程得， 整理得， 由 ，得 ，代入上式， ， 因此，点 和 的坐标分别为 和 ， 弦长 为， 由已知 ，有， ， 离心率 ，其中 ，代入 ， 因此：. 故选：B 【例36.】 已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、向量夹角的坐标表示 【分析】根据已知，可设，，，结合已知夹角及向量夹角的坐标表示列方程得，进而求离心率. 【详解】由题设，渐近线为，联立圆得，可得， 不妨令，，则，又， 所以，可得， 所以，则，故离心率.    故选：C 【例37.】 已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】已知直线QM的斜率为，P，Q为C上关于原点对称的两点,直线PF交椭圆C于另一点M，不妨计算直线的斜率，利用斜率乘积为定值，得到直线的斜率.即直线的斜率.再根据椭圆的定义列出关于的方程，求得椭圆的离心率. 【详解】不妨设，，， 由可知，直线、斜率均存在且不为0， ∵， 且， ∴，∴直线的倾斜角为, ∴， 设为C的左焦点，连接， 根据椭圆的对称性得：,则， ∵,∴，， 由椭圆的定义得：， ∴C的离心率. 【例38.】 设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意写出以为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标，再根据即可求得. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：， 即，联立， 解得，即由对称性可得，，且， 则，可得，故离心率. 故选：B 【例39.】 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据图形，取左焦点，证明为平行四边形，推得，由相似比，结合题设条件得到，即可求得离心率. 【详解】 如图，因直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，则点与点关于原点对称， 设点为双曲线的左焦点，连接，因，则四边形为平行四边形， 故，易得， 则，化简得，故. 故选：B. 【例40.】 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】双曲线的对称性、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 【例41.】 设是坐标原点，双曲线的渐近线为正三角形的边所在的直线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线方程得到它的渐近线方程为，已知两条渐近线 为正三角形的边所在的直线，得出两条渐近线的夹角为，根据渐近线的 对称性得出渐近线与x轴的夹角为，求出，再根据结合 求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 正三角形中，，即两条渐近线的夹角为. 设渐近线与x轴的夹角为θ，因为，所以， 所以，则， 因为两条渐近线关于x轴对称，故. 渐近线的斜率. 双曲线的离心率. 故选：B. 3　 位置关系分析策略 【例42.】 已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 【例43.】 设，为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】令，由椭圆的定义及已知得，问题化为在上存在零点，得到椭圆参数的齐次式求离心率范围. 【详解】令，则，即，且， 由，则，可得， 所以在上存在零点， 又开口向上且对称轴为，则， 所以，可得，即. 故答案为： 【例44.】 已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出曲线的渐近线方程，化简的方程可知曲线为双勾函数，要使曲线与曲线无公共点，则，由此求出，即可求出的离心率的取值范围. 【详解】曲线的渐近线方程为：， 可化简为：，所以曲线为双勾函数，其渐近线方程为， 所以要使曲线与曲线无公共点， 如下图： 则，解得：，所以， 所以线的离心率的取值范围为：. 故选：B. 【例45.】 已知双曲线的左焦点为，直线经过点与的左、右两支各有一个交点，若与的其中一条渐近线垂直，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得，进而计算可得结论. 【详解】由题意可得双曲线的两渐近线方程为， 由对称性不妨设直线与渐近线垂直时，由题意可得直线的斜率为， 又直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则， 所以，所以，所以，所以，即，解得， 所以的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【例46.】 已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据题意可得直线的斜率小于等于渐近线的斜率，从而可得的关系，再根据离心率公式即可得解. 【详解】解：：因为若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点， 所以该直线的斜率小于等于渐近线的斜率， 即， 所以. 故选：C. 【例47.】 设椭圆长轴端点为，中心为，如果椭圆上存在一点，使得，求证：椭圆的离心率的取值范围为． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，由，利用已知条件结合相关性质证明即可. 【详解】证明：如图，设，由， ， 因为，所以， 所以，又，， 所以，① 又点在椭圆上，所以，② 将①代入②得：， 由，， 所以设为方程的两个不同的根， 则， 又，所以， 所以，所以有， 即， 所以，所以， 又，所以椭圆的离心率的取值范围为. 【例48.】 正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意先画出图象，确定点的坐标，根据已知条件列出不等式，进而求出离心率的范围. 【详解】如图，根据椭圆的对称性知点在直线上，可得， 因为焦点在正方形的内部，所以， 即， 即，可得， 又，所以， 所以， 又，解得． 故答案为：.    【例49.】 法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由已知分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率的范围. 【详解】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，因为A，B为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，又椭圆的离心率大于零， 则椭圆的离心率的取值范围是．    4　 构造不等式策略 【例50.】 焦点在轴上的椭圆的方程为()，则它的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【解析】先根据焦点在轴上，得，再结合，求其范围，即得结果. 【详解】椭圆()焦点在轴上，故，即， 解得，又，， 故，其中对勾函数在上递减，上递增，故，，故，则. 故选：C. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 求圆锥曲线离心率的值或取值范围的八种方法和四种分析策略 (1) 八种常用方法 1　 定义法：直接求出或的比值 【例1.】 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例2.】 已知为椭圆上的一点，椭圆的右焦点为，若直线的斜率为为线段的中点，且，则该椭圆的离心率为 ． 【例3.】 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【例4.】 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【例5.】 过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，    则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例6.】 已知双曲线，右焦点，过点且斜率为的直线交于、两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2　 利用椭圆、双曲线的性质 【例7.】 已知是椭圆上一点，若是点到左准线的距离与的等比中项，则离心率的取值范围是 ． 【例8.】 已知椭圆的左顶点与左焦点分别为点A，F，下顶点为点，且的面积等于，则椭圆的离心率为 ． 【例9.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的一条渐近线交于点．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例10.】 过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 . 3　 利用平面几何性质 【例11.】 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例12.】 设椭圆的一个焦点为，为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【例13.】 椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14.】 如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【例15.】 记椭圆的左、右焦点分别为，其上存在两点构成的四边形满足，则离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 4　 利用三角函数 【例16.】 已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【例17.】 已知半椭圆与半椭圆组成的曲线如图所示，其中．该曲线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在点使得，则半椭圆的离心率的取值范围为 ．    5　 利用判别式 【例18.】 已知椭圆C：的右焦点为F，P为C上一点，∠OPF的最大值为．则C的离心率为 ． 6　 利用基本不等式 【例19.】 已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【例20.】 已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例21.】 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例22.】 已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 7　 利用已知参数的范围 【例23.】 已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 【例24.】 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【例25.】 已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为 ． 【例26.】 已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例27.】 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例28.】 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ． 8　 利用非负数性质 【例29.】 已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，若存在以为直径的圆恰过原点，求离心率的取值范围． 【例30.】 若双曲线上不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上，则该双曲线离心率的取值范围为 ． (2) 四种分析策略 1　 定义分析策略 【例31.】 （多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【例32.】 已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 【例33.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例34.】 设椭圆的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 2　 几何性质分析策略 【例35.】 已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例36.】 已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例37.】 已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 【例38.】 设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 【例39.】 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【例40.】 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【例41.】 设是坐标原点，双曲线的渐近线为正三角形的边所在的直线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 3　 位置关系分析策略 【例42.】 已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例43.】 设，为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【例44.】 已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例45.】 已知双曲线的左焦点为，直线经过点与的左、右两支各有一个交点，若与的其中一条渐近线垂直，则的离心率的取值范围为 ． 【例46.】 已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【例47.】 设椭圆长轴端点为，中心为，如果椭圆上存在一点，使得，求证：椭圆的离心率的取值范围为． 【例48.】 正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【例49.】 法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 4　 构造不等式策略 【例50.】 焦点在轴上的椭圆的方程为()，则它的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $