3.3 幂函数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦幂函数的核心概念与性质，从定义、图象、定义域与值域到比较大小和综合应用，层层递进，构建起完整的知识体系。通过典型例题与变式训练的有机结合，帮助学生理解幂函数在不同指数下的变化规律，掌握其图像特征与函数性质之间的内在联系。 资料设计亮点突出，体现数学抽象、逻辑推理与直观想象等核心素养。例如，题型01中通过点坐标求参数，引导学生从具体数值中抽象出幂函数模型，培养数感与符号意识；题型04比较大小时强调构造同底幂函数并利用单调性判断，强化运算能力和推理能力；题型06综合题借助图像信息分析函数性质，提升几何直观与建模意识。课中便于教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，实现从理解到迁移的闭环学习。

3.3 幂函数 目录 题型01 幂函数的概念 4 题型02 幂函数的图象 5 题型03 幂函数的定义域与值域 7 题型04 比较大小 8 题型05 幂函数的性质 9 题型06 幂函数综合 11 建体系 新知廊 知识点1： 幂函数 1．形如y＝xα(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数． 2．对于幂函数，常讨论α＝1，2，3，，－1时的情形． 知识点2： 幂函数的图象 1．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性． 2．幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内． 3．如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 4．当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称． 知识点3： 常见幂函数的定义域与值域 1．y＝x：定义域R，值域R． 2．y＝x2：定义域R，值域[0，＋∞)． 3．y＝x3：定义域R，值域R． 4．：定义域R，值域(0，＋∞)． 5．y＝x－1：定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0，＋∞)． 知识点4： 常见幂函数的性质 1．y＝x在R上单增，R上的奇函数． 2．y＝x2在[0,＋∞)上单增，在(-∞,0)上单减，R上的偶函数． 3．y＝x3在R上单增，R上的奇函数． 4．在[0,＋∞)上单增, 在R上既不是奇函数又不是偶函数． 5．y＝x－1在(0,＋∞)上单减，在(-∞,0)上单减． 知识点5： 幂函数综合 1．所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）． 2．如果a＞0，则幂函数过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数． 3．如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数． 4．当a为奇数时，幂函数为奇函数． 5．当a为偶数时，幂函数为偶函数． 求甚解 1．幂函数的概念． (1)幂函数是形如y＝xα的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1． (2)指数为常数α，且α为任意常数． 2．幂函数的图象． (1)先根据幂函数在第一象限内图象特征，确定幂指数的取值区间． (2)再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性． (3)当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性． 3．幂函数值大小比较． (1)构造幂函数． (2)比较底的大小． (3)由单调性确定大小． 4．幂函数综合． (1)运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． (2)两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． (3)利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． (4)引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 练题型 题型01 幂函数的概念 典型例题 典例 01 （2025•湖南学业考试）如果函数f（x）＝xa的图象经过点（2，8），那么a等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意代入点的坐标，即可求出a的值． 【解答】解：指数函数f（x）＝xa（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，8）， ∴8＝2a，解得a＝3， 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025秋•广元校级月考）已知函数f（x）＝（n2﹣2n+1）xn，则“f（x）为幂函数”是“n＝2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式练2】（多选）（2025秋•太原月考）已知函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm是幂函数，则（　　） A．f（1）＝1 B．m2+m＝2 C．f（x）是偶函数 D．当f（2）＜2时，f（x）＝x﹣2 【变式练3】（2025春•静安区校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图像经过点． （1）求此幂函数的表达式和定义域； （2）若f（a+1）≤f（4﹣2a），求实数a的取值范围． 题型02 幂函数的图象 典型例题 典例 02 （2024秋•四川期末）下列图象可能为幂函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数必过的点来判断即可． 【解答】解：因为幂函数y＝xα，α为常数，x为自变量； 当α＞0时，图象过原点和点（1，1），且在第一象限内单调递增； α＜0时，图象只过点（1，1），且在第一象限内单调递减； 若自变量x＝0有意义，则必过原点，由此排除选项A、B、C． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2024秋•上城区校级期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（　　） A． B．y C． D． 【变式练2】（2024秋•宁城县期末）图中C1、C2、C3分别为幂函数，，在第一象限内的图像，则α1，α2，α3依次可以是（　　） A．3，，﹣1 B．3，﹣1， C．，3，﹣1 D．，﹣1，3 【变式练3】（2024秋•辽宁期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，则①对应的幂函数可以是（　　） A． B． C． D． 题型03 幂函数的定义域与值域 典型例题 典例 03 （2024秋•石家庄期末）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（　　） A．（﹣2，2） B．（0，2） C．（0，2] D．[0，2] 【答案】D 【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求出f（x）的解析式，从而求出f（x）的定义域，进而求出函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域． 【解答】解：∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），设f（x）＝xα， ∴3α，∴α，f（x），故该函数的定义域为[0，+∞）． 则对于函数y＝f（x）+f（2﹣x），应有，求得0≤x≤2， 可得函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为[0，2]． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2024秋•杭州期末）幂函数y＝f（x）的图象过点（2，，则函数y＝x﹣f（x）的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，） C．[，+∞） D．（，+∞） 【变式练2】（2025•西安校级学业考试）设，则使幂函数f（x）＝xα的定义域为R，且为偶函数的α的值是（　　） A．0 B． C．2 D．3 【变式练3】（多选）（2025春•青白江区校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为（0，+∞） C．f（x）为偶函数 D．f（x）是其定义域上的减函数 题型04 比较大小 典型例题 典例 04 （2025•北京学业考试）已知，，c＝23，则（　　） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可． 【解答】解：由幂函数y＝x3为R上的增函数，且2， 所以23，即b＜a＜c． 故选：A． 即学即练 【变式练1】（2024秋•抚松县校级期末）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.150.1，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【变式练2】（2025春•毕节市期末）已知幂函数y＝f（x）满足，则下列结论正确的是（　　） A．y＝f（x）在R上单调递减 B．y＝f（x）的图象关于y轴对称 C．y＝f（x）的图象过点（0，0） D．f（π）＜f（3） 【变式练3】（多选）（2025•酒泉开学）已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm﹣5的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（　　） A．m＝1 B． C．若b2＞a2＞0，则f（a）＞f（b） D．函数的最小值为2 题型05 幂函数的性质 典型例题 典例 05 （2025春•静宁县月考）幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm，∀x1，x2∈（0，+∞）都有成立，则下列说法正确的是（　　） A．m＝2 B．m＝2或m＝﹣1 C．f（x）是偶函数 D．f（x）是奇函数 【答案】D 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到m的值，再根据奇偶性定义可得到结果． 【解答】解：因为f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是幂函数， 所以m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2， 因为∀x1，x2∈（0，+∞），都有成立， 所以函数f（x）在（0，+∞）是减函数，所以m＜0， 所以m＝﹣1，故A错误，B错误； 所以，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 又，所以f（x）是奇函数，故D正确，C错误． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2024秋•潮阳区期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+1）xm﹣1是R上的偶函数，且函数g（x）＝f（x）+（4﹣2n）x在区间[1，5]上单调，则实数n的取值范围为（　　） A．（﹣∞，3] B．[7，+∞） C．[3，7] D．（﹣∞，3]∪[7，+∞） 【变式练2】（多选）（2025•张家口开学）已知幂函数f（x）的图象经过点，则（　　） A．f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．f（x）的值域是（0，+∞） C．f（x）为奇函数 D．f（x）为定义域上的减函数 【变式练3】（2025•青冈县校级开学）已知幂函数是偶函数，且在区间（0，+∞）内单调递增，则实数t的值为　　　　． 题型06 幂函数综合 典型例题 典例 06 （2025•道县校级开学）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则下列结论正确的是（　　） A．y＝f（x）的定义域为[0，+∞） B．y＝f（x）在其定义域上为减函数 C．y＝f（x）是偶函数 D．y＝f（x）是奇函数 【答案】B 【分析】先利用已知点求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题即可． 【解答】解：设幂函数f（x）＝xα， ∵幂函数y＝f（x）的图象过点，∴， ∴， ∴y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B正确， ∵函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误， 故选：B． 即学即练 【变式练1】（多选）（2024秋•抚顺期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3）xn（m，n∈R），则下列说法正确的是（　　） A．若n＝m﹣1，则f（x）在（0，+∞）上单调递减 B．若n＝m+1，则f（x）是奇函数 C．函数y＝2f（x﹣1）+1过定点（2，1） D．若n＝﹣3，则f（5）+f（﹣4）＜0 【变式练2】（2024秋•惠山区校级期末）已知幂函数f（x）＝xm﹣2（m∈N）的图像关于原点对称，且在（0，+∞）上单调递减，若，则实数a的取值范围是　　　　． 【变式练3】（2025•武强县校级模拟）已知幂函数为奇函数． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 目录 题型01 幂函数的概念 4 题型02 幂函数的图象 7 题型03 幂函数的定义域与值域 10 题型04 比较大小 12 题型05 幂函数的性质 14 题型06 幂函数综合 17 建体系 新知廊 知识点1： 幂函数 1．形如y＝xα(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数． 2．对于幂函数，常讨论α＝1，2，3，，－1时的情形． 知识点2： 幂函数的图象 1．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性． 2．幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内． 3．如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 4．当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称． 知识点3： 常见幂函数的定义域与值域 1．y＝x：定义域R，值域R． 2．y＝x2：定义域R，值域[0，＋∞)． 3．y＝x3：定义域R，值域R． 4．：定义域R，值域(0，＋∞)． 5．y＝x－1：定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0，＋∞)． 知识点4： 常见幂函数的性质 1．y＝x在R上单增，R上的奇函数． 2．y＝x2在[0,＋∞)上单增，在(-∞,0)上单减，R上的偶函数． 3．y＝x3在R上单增，R上的奇函数． 4．在[0,＋∞)上单增, 在R上既不是奇函数又不是偶函数． 5．y＝x－1在(0,＋∞)上单减，在(-∞,0)上单减． 知识点5： 幂函数综合 1．所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）． 2．如果a＞0，则幂函数过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数． 3．如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数． 4．当a为奇数时，幂函数为奇函数． 5．当a为偶数时，幂函数为偶函数． 求甚解 1．幂函数的概念． (1)幂函数是形如y＝xα的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1． (2)指数为常数α，且α为任意常数． 2．幂函数的图象． (1)先根据幂函数在第一象限内图象特征，确定幂指数的取值区间． (2)再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性． (3)当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性． 3．幂函数值大小比较． (1)构造幂函数． (2)比较底的大小． (3)由单调性确定大小． 4．幂函数综合． (1)运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． (2)两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． (3)利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． (4)引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 练题型 题型01 幂函数的概念 典型例题 典例 01 （2025•湖南学业考试）如果函数f（x）＝xa的图象经过点（2，8），那么a等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意代入点的坐标，即可求出a的值． 【解答】解：指数函数f（x）＝xa（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，8）， ∴8＝2a，解得a＝3， 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025秋•广元校级月考）已知函数f（x）＝（n2﹣2n+1）xn，则“f（x）为幂函数”是“n＝2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义及充分必要条件的定义求解判断即可． 【解答】解：函数f（x）为幂函数，得n2﹣2n+1＝1，解得n＝0或n＝2， 所以“f（x）为幂函数”是“n＝2”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式练2】（多选）（2025秋•太原月考）已知函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm是幂函数，则（　　） A．f（1）＝1 B．m2+m＝2 C．f（x）是偶函数 D．当f（2）＜2时，f（x）＝x﹣2 【答案】ABD 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D． 【解答】解：由f（x）＝（m2+m﹣1）xm是幂函数知m2+m﹣1＝1，所以m＝1或﹣2， 所以f（x）＝x或f（x）＝x﹣2，所以f（1）＝1，A正确； m2+m＝2，B正确； 当m＝1时，f（x）是奇函数，C显然错误； 对于f（x）＝x﹣2，当x＝2时，， 对于f（x）＝x，当x＝2时，f（2）＝2＜2不成立，故当f（2）＜2时，f（x）＝x﹣2，D正确． 故选：ABD． 【变式练3】（2025春•静安区校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图像经过点． （1）求此幂函数的表达式和定义域； （2）若f（a+1）≤f（4﹣2a），求实数a的取值范围． 【答案】（1）函数f（x）的表达式为，定义域为（0，+∞）； （2）[1，2）． 【分析】（1）结合幂函数的定义，即可求解； （2）结合幂函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设f（x）＝xm， 幂函数y＝f（x）的图像经过点， 则，解得m， 故函数f（x）的表达式为，定义域为（0，+∞）； （2）f（x），该函数在其定义域上单调递减， 则，解得1≤a＜2， 故a的取值范围为[1，2）． 题型02 幂函数的图象 典型例题 典例 02 （2024秋•四川期末）下列图象可能为幂函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数必过的点来判断即可． 【解答】解：因为幂函数y＝xα，α为常数，x为自变量； 当α＞0时，图象过原点和点（1，1），且在第一象限内单调递增； α＜0时，图象只过点（1，1），且在第一象限内单调递减； 若自变量x＝0有意义，则必过原点，由此排除选项A、B、C． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2024秋•上城区校级期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（　　） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合幂函数的图象与性质，即可求解． 【解答】解：由图象可知，函数y为偶函数，且在[0，+∞）上单调递减， 对于A，函数y为奇函数，故A错误； 对于B，y在[0，+∞）上单调递增，故B错误； 对于C，函数y为偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，符合题意，故C正确； 对于D，在[0，+∞）上单调递增，故D错误． 故选：C． 【变式练2】（2024秋•宁城县期末）图中C1、C2、C3分别为幂函数，，在第一象限内的图像，则α1，α2，α3依次可以是（　　） A．3，，﹣1 B．3，﹣1， C．，3，﹣1 D．，﹣1，3 【答案】A 【分析】利用幂函数的图象与性质求解． 【解答】解：C1、C2、C3分别为幂函数，，在第一象限内的图像，如图， 数形结合得：α3＜0，0＜α2＜1＜α1， ∴α1，α2，α3依次可以是3，，﹣1． 故选：A． 【变式练3】（2024秋•辽宁期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，则①对应的幂函数可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可． 【解答】解：如图，①②③④对应四个幂函数的图像， 由图可知，①对应的幂函数， 函数的定义域为[0，+∞），在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数α的值满足0＜α＜1，故排除选项AD； ∵的定义域为R，∴不符合题意，故排除选项B； 的定义域为[0，+∞），符合题意，故C正确． 故选：C． 题型03 幂函数的定义域与值域 典型例题 典例 03 （2024秋•石家庄期末）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（　　） A．（﹣2，2） B．（0，2） C．（0，2] D．[0，2] 【答案】D 【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求出f（x）的解析式，从而求出f（x）的定义域，进而求出函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域． 【解答】解：∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），设f（x）＝xα， ∴3α，∴α，f（x），故该函数的定义域为[0，+∞）． 则对于函数y＝f（x）+f（2﹣x），应有，求得0≤x≤2， 可得函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为[0，2]． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2024秋•杭州期末）幂函数y＝f（x）的图象过点（2，，则函数y＝x﹣f（x）的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，） C．[，+∞） D．（，+∞） 【答案】C 【分析】由已知点的坐标，结合幂函数的定义先求出f（x），然后结合幂函数及二次函数的性质即可求解． 【解答】解：设f（x）＝xα， 由题意得，f（2）＝2α，所以，f（x）， 则y＝x﹣f（x）＝x（）2． 故选：C． 【变式练2】（2025•西安校级学业考试）设，则使幂函数f（x）＝xα的定义域为R，且为偶函数的α的值是（　　） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据α的取值情况，判断幂函数f（x）是否满足题意即可． 【解答】解：α＝0时，幂函数f（x）＝x0的定义域为{x|x≠0}，不满足题意； α时，幂函数f（x）的定义域为{x|x≥0}，不满足题意； α＝2时，幂函数f（x）＝x2的定义域为R，且为偶函数，满足题意； α＝3时，幂函数f（x）＝x3不是偶函数，不满足题意． 故选：C． 【变式练3】（多选）（2025春•青白江区校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为（0，+∞） C．f（x）为偶函数 D．f（x）是其定义域上的减函数 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性对选项逐一判断即可． 【解答】解：设f（x）＝xa，其图象经过点， 则，解得a＝﹣2，故f（x）， 那么f（x）的定义域为{x|x≠0}，故A错误； f（x）的值域为{y|y＞0}，故B正确； 因为f（﹣x）f（x），则f（x）为偶函数，故C正确； 因为f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，在定义域上不是减函数，故D错误． 故选：BC． 题型04 比较大小 典型例题 典例 04 （2025•北京学业考试）已知，，c＝23，则（　　） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可． 【解答】解：由幂函数y＝x3为R上的增函数，且2， 所以23，即b＜a＜c． 故选：A． 即学即练 【变式练1】（2024秋•抚松县校级期末）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.150.1，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可． 【解答】解：因为20.2＞0.40.2，即a＞b， 又因为0.40.2＝0.160.1＞0.150.1，b＞c， 所以a＞b＞c． 故选：A． 【变式练2】（2025春•毕节市期末）已知幂函数y＝f（x）满足，则下列结论正确的是（　　） A．y＝f（x）在R上单调递减 B．y＝f（x）的图象关于y轴对称 C．y＝f（x）的图象过点（0，0） D．f（π）＜f（3） 【答案】D 【分析】先求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质和解析式对选项逐一判断即可． 【解答】解：幂函数y＝f（x）满足， 设幂函数f（x）＝xn，则f（4）＝4n， 解得，∴（x＞0）． 根据幂函数的性质可知，f（x）在（0，+∞）上单调递减，故A错误； ∵该函数的定义域为（0，+∞），∴图象不关于y轴对称，故B错误； ∵x＝0时函数无意义，图象不经过点（0，0），故C错误； ∵f（x）在（0，+∞）上单调递减，π＞3， ∴f（π）＜f（3），故D正确． 故选：D． 【变式练3】（多选）（2025•酒泉开学）已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm﹣5的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（　　） A．m＝1 B． C．若b2＞a2＞0，则f（a）＞f（b） D．函数的最小值为2 【答案】ACD 【分析】结合幂函数的定义及奇偶性先求出m，然后结合幂函数的性质检验各选项即可． 【解答】解：因为f（x）＝（m2+m﹣1）xm﹣5为幂函数， 所以m2+m﹣1＝1，即m＝﹣2或m＝1， 当m＝﹣2时，f（x）＝x﹣7为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意， 故m＝1，A正确； 所以f（x）＝x﹣4在（0，+∞）上单调递减， 所以f（）＝f（）＞f（），B错误； 若b2＞a2＞0，则|b|＞|a|＞0，所以f（|a|）＞f（|b|），所以f（a）＞f（b），C正确； x42，当且仅当x2＝1时取等号，D正确． 故选：ACD． 题型05 幂函数的性质 典型例题 典例 05 （2025春•静宁县月考）幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm，∀x1，x2∈（0，+∞）都有成立，则下列说法正确的是（　　） A．m＝2 B．m＝2或m＝﹣1 C．f（x）是偶函数 D．f（x）是奇函数 【答案】D 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到m的值，再根据奇偶性定义可得到结果． 【解答】解：因为f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是幂函数， 所以m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或m＝2， 因为∀x1，x2∈（0，+∞），都有成立， 所以函数f（x）在（0，+∞）是减函数，所以m＜0， 所以m＝﹣1，故A错误，B错误； 所以，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 又，所以f（x）是奇函数，故D正确，C错误． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2024秋•潮阳区期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+1）xm﹣1是R上的偶函数，且函数g（x）＝f（x）+（4﹣2n）x在区间[1，5]上单调，则实数n的取值范围为（　　） A．（﹣∞，3] B．[7，+∞） C．[3，7] D．（﹣∞，3]∪[7，+∞） 【答案】D 【分析】根据吗函数的定义和图象与性质可得f（x）＝x2，进而求出g（x），结合二次函数在区间上单调性求出参数n即可． 【解答】解：幂函数f（x）＝（m2﹣3m+1）xm﹣1是R上的偶函数， 由幂函数的定义知，m2﹣3m+1＝1，解得m＝0或m＝3， 当m＝0时，f（x）＝x﹣1，为奇函数，不符合题意； 当m＝3时，f（x）＝x2，为偶函数，符合题意，故f（x）＝x2． 所以g（x）＝x2+（4﹣2n）x， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝n﹣2， 又g（x）在[1，5]上单调，则n﹣2≤1或5≤n﹣2， 解得n≤3或n≥7，即实数n的取值范围为（﹣∞，3]∪[7，+∞）． 故选：D． 【变式练2】（多选）（2025•张家口开学）已知幂函数f（x）的图象经过点，则（　　） A．f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．f（x）的值域是（0，+∞） C．f（x）为奇函数 D．f（x）为定义域上的减函数 【答案】AB 【分析】根据题意求得，对于AB：根据函数解析式求定义域和值域；对于CD：举反例说明即可． 【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，α∈R，因为f（x）的图象经过点， 所以，即α＝﹣2，即， 对于A：由x2≠0，可得x≠0， 所以f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故A正确； 对于B：因为x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以， 所以f（x）的值域是（0，+∞），故B正确； 对于CD：因为f（1）＝f（﹣1）＝1， 所以f（x）不为奇函数，且在定义域内不为减函数，故CD错误． 故选：AB． 【变式练3】（2025•青冈县校级开学）已知幂函数是偶函数，且在区间（0，+∞）内单调递增，则实数t的值为　　　　． 【答案】0． 【分析】根据幂函数的定义可得t2﹣t+1＝1，根据t的值得函数解析式检验奇偶性与单调性即可得结论． 【解答】解：因为幂函数， 所以t2﹣t+1＝1，解得t＝0或t＝1， 当t＝0时，f（x）＝x2为R上的偶函数，且在（0，+∞）内单调递增； 当t＝1时，函数f（x）＝x3，其定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x3＝﹣f（x）， 则函数f（x）为R上的奇函数，不符合题意； 综上，实数t的值为0． 故答案为：0． 题型06 幂函数综合 典型例题 典例 06 （2025•道县校级开学）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则下列结论正确的是（　　） A．y＝f（x）的定义域为[0，+∞） B．y＝f（x）在其定义域上为减函数 C．y＝f（x）是偶函数 D．y＝f（x）是奇函数 【答案】B 【分析】先利用已知点求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题即可． 【解答】解：设幂函数f（x）＝xα， ∵幂函数y＝f（x）的图象过点，∴， ∴， ∴y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B正确， ∵函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误， 故选：B． 即学即练 【变式练1】（多选）（2024秋•抚顺期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3）xn（m，n∈R），则下列说法正确的是（　　） A．若n＝m﹣1，则f（x）在（0，+∞）上单调递减 B．若n＝m+1，则f（x）是奇函数 C．函数y＝2f（x﹣1）+1过定点（2，1） D．若n＝﹣3，则f（5）+f（﹣4）＜0 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义先求m，然后结合幂函数性质检验各选项即可判断． 【解答】解：f（x）＝（m2﹣3）xn为幂函数， 故m2﹣3＝1，即m＝2或m＝﹣2， A：当m＝2时，n＝1，f（x）＝x在（0，+∞）上单调递增，A显然错误； B：由题意得f（x）＝x3或f（x）＝x﹣1为奇函数，B正确； C：因为幂函数f（x）恒过（1，1），则y＝2f（x﹣1）+1＝2（x﹣1）n+1恒过（2，3），C错误； D：若n＝﹣3，则f（x）＝x﹣3，所以f（5）+f（﹣4）＝5﹣3﹣4﹣3＜0，D正确． 故选：BD． 【变式练2】（2024秋•惠山区校级期末）已知幂函数f（x）＝xm﹣2（m∈N）的图像关于原点对称，且在（0，+∞）上单调递减，若，则实数a的取值范围是　　　　． 【答案】． 【分析】结合幂函数的图象与性质求出m，运用函数的单调性解不等式． 【解答】解：因为幂函数f（x）＝xm﹣2的图象关于原点对称，且在（0，+∞）上是减函数，所以m﹣2＜0，解得m＜2， 又m∈N，所以m＝0或m＝1， 当m＝0时，f（x）＝x﹣2，为偶函数，其图象关于y轴对称，不满足题意， 当m＝1时，f（x）＝x﹣1，为奇函数，其图象关于原点对称，满足题意， 所以所求不等式可化为， 又函数是定义域为（0，+∞）的减函数， 所以，解得， 即实数a的取值范围是（，）． 故答案为：． 【变式练3】（2025•武强县校级模拟）已知幂函数为奇函数． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由已知结合幂函数的定义及性质可求； （2）结合函数的单调性即可求解． 【解答】解：（1）由题意得m2﹣3m+3＝1且为奇数， 解得m＝1或m＝2，经检验m＝1符合题意， 所以f（x）＝x3； （2）由（1）得f（x）在R上单调递增， 由f（a+1）＜f（3﹣2a）得a+1＜3﹣2a，解得a， 故a的取值范围为{a|a}． 学科网（北京）股份有限公司 $