3.1 函数的概念及其表示 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1 函数的概念及其表示 目录 题型01 函数的概念 5 题型02 函数的定义域 7 题型03 函数的值域 8 题型04 同一函数的判断 8 题型05 函数的解析式 10 题型06 分段函数 12 建体系 新知廊 知识点1： 函数的概念 1．一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 2．对应关系：y＝f(x)，x∈A． 3．定义域：x的取值范围A． 4．值域：与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}． 知识点2： 常见函数的定义域与值域 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)． (1) 定义域为R． (2) 值域为R． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (1) 定义域为R． (2) 当a>0时，值域为． (3) 当a<0时，值域为． 3．反比例函数y＝(k≠0)． (1) 定义域为{x|x≠0}． (2) 值域为{y|y≠0}． 4．分式函数中分母不等于零． 5．偶次根式函数的被开方式大于或等于0． 6．y＝x0的定义域是{x|x≠0}． 知识点3： 分段函数 1．定义：像y＝这样的函数称为分段函数． 2．本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 知识点4： 同一函数的判断 两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数是同一函数． 求甚解 1．判断一个对应关系是否为函数的方法． (1)根据函数的概念判断． (2)根据图形判断． (3)定义域不同，两个函数也就不同． (4)对应法则不同，两个函数也是不同的． 2．函数定义域的求解． (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：(ⅰ)分式的分母不为0；(ⅱ)偶次根式的被开方数非负；(ⅲ)y＝x0要求x≠0． (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 4．抽象函数的定义域． (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 3．函数值域的求解． (1)观察法：①观察函数中的特殊函数，②利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域． (2)分离常数法：①观察函数类型，型如，②对函数变形成形式，③求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域． (3)配方法:①将二次函数配方成,②根据二次函数的图像和性质求值域． 5．函数解析式的求解． (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．注意换元时t的取值范围． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 6．分段函数． (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围． 练题型 题型01 函数的概念 典型例题 典例 01 （2024秋•泸州校级期末）下列各图中，一定不是函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义直接判断即可． 【解答】解：由函数的定义可知，一个x的值只能对应一个y的值，而选项A中一个x的值可能对应两个y的值，故不是函数图象， 故选：A． 即学即练 【变式练1】（2024秋•拱墅区校级期末）已知f：x→|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是（　　） A．{﹣2，2} B．{﹣2} C．{﹣1，2} D．{2} 【变式练2】（2025•连城县校级开学）1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（　　） A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④ 【变式练3】（多选）（2025春•太康县校级期末）设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的有（　　） A． B． C． D． 题型02 函数的定义域 典型例题 典例 02 （2025春•吉林期末）已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣5，3]，则函数的定义域为（　　） A．[﹣6，﹣1）∪（﹣1，2] B．[﹣4，﹣1）∪（﹣1，4] C．[﹣4，4] D．[﹣5，﹣1）∪（﹣1，3] 【答案】B 【分析】先求出f（x﹣1）的定义域，再结合x+1≠0，从而可求解． 【解答】解：由函数y＝f（x）的定义域为[﹣5，3]， f（x﹣1）有意义，则得﹣5≤x﹣1≤3，解得﹣4≤x≤4， 有意义，需满足﹣4≤x≤4且x+1≠0，即﹣4≤x≤4且x≠﹣1， 所以所求定义域为[﹣4，﹣1）∪（﹣1，4]． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025•定州市校级开学）已知函数的定义域为R，则m的取值范围是（　　） A．[0，8] B．[0，8） C． D． 【变式练2】（2025春•阳明区校级期末）函数的定义域是　　　　． 【变式练3】（2024秋•枣庄期末）设全集U＝R，已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|m﹣1≤x≤m+1}（m∈R） （1）当m＝4时，求A∩∁UB； （2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 题型03 函数的值域 典型例题 典例 03 （2025春•沙坪坝区校级期末）设集合，集合，则A∩B＝（　　） A． B．[0，1） C．（0，1] D． 【答案】C 【分析】先求解集合A，B，然后根据交集的定义求解即可． 【解答】解：A＝{x|0＜x≤1}，B＝{y|0≤y≤1}， 所以A∩B＝（0，1]． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025春•长沙校级期末）若函数f（x）的值域为（1，10），则函数的值域为（　　） A．[﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．[﹣3，1） D．（﹣3，1） 【变式练2】（2025秋•太原月考）已知函数，则f（x）的值域为　　　　． 【变式练3】（2025春•宝山区校级期中）函数的值域是　　　　． 题型04 同一函数的判断 典型例题 典例 04 （多选）（2025秋•广元校级月考）下列各组函数是同一个函数的是（　　） A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1 B．f（x）＝x﹣1与 C．f（x）＝x2与 D．f（x）＝x2与 【答案】AD 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可． 【解答】解：A：f（x）＝x2﹣2x﹣1的定义域为R，g（s）＝s2﹣2s﹣1的定义域为R， 两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数，故A正确； B：f（x）＝x﹣1的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故B错误； C：f（x）＝x2的定义域为R，的定义域为[0，+∞），两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； D：f（x）＝x2的定义域为R，的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数，故D正确． 故选：AD． 即学即练 【变式练1】（2025春•伊犁州校级月考）以下各组函数中，不是同一函数的是（　　） A． B．f（x）＝x2﹣2，g（t）＝t2﹣2 C． D． 【变式练2】（2025春•项城市校级期末）下列表示是同一个函数的是（　　） A．f（x）＝1，g（x）＝x0 B． C．f（x）＝|x+1|，g（t）＝|t+1| D． 【变式练3】（多选）（2025春•东坡区期末）下列各项中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．f（x）＝x2，g（t）＝t2 D．f（x）＝|x﹣3|， 题型05 函数的解析式 典型例题 典例 05 （2024秋•台州期中）函数f（x）＝x的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式利用绝对值的定义进行化简变形，得到分段函数的解析式，作出函数图象即可得到答案． 【解答】解：函数f（x）＝x， 作出函数图象为： 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2024秋•菏泽月考）已知f（1）1，则f（x）＝　　　　． 【变式练2】（2025秋•太原月考）已知函数的图象过点和点． （1）求实数a，b的值； （2）写出f（x）的定义域，并求f（x）的值域． 【变式练3】（2024秋•儋州校级期中）已知函数f（x）的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． （1）求f（3），f[f（3）]的值． （2）写出函数f（x）的解析式、定义域和值域． 题型06 分段函数 典型例题 典例 06 （2025春•安溪县校级月考）已知函数． （1）求f（0），f（1），f[f（2）]； （2）画f（x）的图像． 【答案】（1）f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f[f（2）]＝﹣2； （2）图象见解析． 【分析】（1）根据函数的解析式即可得出答案； （2）根据函数的解析式作出f（x）的图象． 【解答】解：（1）∵函数， ∴f（0）＝0﹣1＝﹣1，f（1）＝﹣1+1＝0，f（2）＝﹣2+1＝﹣1，则f[f（2）]＝f（﹣1）＝﹣1﹣1＝﹣2； （2）如图所示： 即学即练 【变式练1】（2024秋•和平区校级期中）设函数，若f（a）＝a，则实数a的值为（　　） A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2 【变式练2】（2024秋•黄浦区期末）若f（x）＝x3，则不等式g（x）＜﹣x的解集为　　　　． 【变式练3】（2025•涡阳县校级开学）f（x） （1）画出f（x）的图象； （2）若f（x），求x的范围； （3）求f（x）的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 函数的概念及其表示 目录 题型01 函数的概念 5 题型02 函数的定义域 8 题型03 函数的值域 10 题型04 同一函数的判断 12 题型05 函数的解析式 15 题型06 分段函数 18 建体系 新知廊 知识点1： 函数的概念 1．一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 2．对应关系：y＝f(x)，x∈A． 3．定义域：x的取值范围A． 4．值域：与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}． 知识点2： 常见函数的定义域与值域 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)． (1) 定义域为R． (2) 值域为R． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (1) 定义域为R． (2) 当a>0时，值域为． (3) 当a<0时，值域为． 3．反比例函数y＝(k≠0)． (1) 定义域为{x|x≠0}． (2) 值域为{y|y≠0}． 4．分式函数中分母不等于零． 5．偶次根式函数的被开方式大于或等于0． 6．y＝x0的定义域是{x|x≠0}． 知识点3： 分段函数 1．定义：像y＝这样的函数称为分段函数． 2．本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 知识点4： 同一函数的判断 两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数是同一函数． 求甚解 1．判断一个对应关系是否为函数的方法． (1)根据函数的概念判断． (2)根据图形判断． (3)定义域不同，两个函数也就不同． (4)对应法则不同，两个函数也是不同的． 2．函数定义域的求解． (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：(ⅰ)分式的分母不为0；(ⅱ)偶次根式的被开方数非负；(ⅲ)y＝x0要求x≠0． (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 4．抽象函数的定义域． (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 3．函数值域的求解． (1)观察法：①观察函数中的特殊函数，②利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域． (2)分离常数法：①观察函数类型，型如，②对函数变形成形式，③求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域． (3)配方法:①将二次函数配方成,②根据二次函数的图像和性质求值域． 5．函数解析式的求解． (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．注意换元时t的取值范围． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 6．分段函数． (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围． 练题型 题型01 函数的概念 典型例题 典例 01 （2024秋•泸州校级期末）下列各图中，一定不是函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义直接判断即可． 【解答】解：由函数的定义可知，一个x的值只能对应一个y的值，而选项A中一个x的值可能对应两个y的值，故不是函数图象， 故选：A． 即学即练 【变式练1】（2024秋•拱墅区校级期末）已知f：x→|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是（　　） A．{﹣2，2} B．{﹣2} C．{﹣1，2} D．{2} 【答案】C 【分析】根据函数的定义，先求出集合A中的元素，即可得出结论． 【解答】解：由已知|x|＝2，解之得，x＝±2． 由函数的定义可知，A、B、D均有可能，C是不可能的， 故选：C． 【变式练2】（2025•连城县校级开学）1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（　　） A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】直接根据函数的定义即可判断． 【解答】解：函数的定义中满足“集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与它对应”， 结合定义容易判断①④为从A到B的函数． 故选：A． 【变式练3】（多选）（2025春•太康县校级期末）设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断． 【解答】解：只要满足在P中的每个元素在集合Q中都有唯一的元素对应即可， A：由图象可知定义域不是P，不满足； B：定义域为P，值域为Q的子集，故符合函数的定义，满足； C：集合P中有的元素在集合Q中对应两个值，不符合函数定义，不满足； D：根据函数定义可知D满足． 故选：BD． 题型02 函数的定义域 典型例题 典例 02 （2025春•吉林期末）已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣5，3]，则函数的定义域为（　　） A．[﹣6，﹣1）∪（﹣1，2] B．[﹣4，﹣1）∪（﹣1，4] C．[﹣4，4] D．[﹣5，﹣1）∪（﹣1，3] 【答案】B 【分析】先求出f（x﹣1）的定义域，再结合x+1≠0，从而可求解． 【解答】解：由函数y＝f（x）的定义域为[﹣5，3]， f（x﹣1）有意义，则得﹣5≤x﹣1≤3，解得﹣4≤x≤4， 有意义，需满足﹣4≤x≤4且x+1≠0，即﹣4≤x≤4且x≠﹣1， 所以所求定义域为[﹣4，﹣1）∪（﹣1，4]． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025•定州市校级开学）已知函数的定义域为R，则m的取值范围是（　　） A．[0，8] B．[0，8） C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为mx2+mx+2＞0对于任意x∈R恒成立，然后对m分类求解得答案． 【解答】解：∵函数的定义域为R， ∴mx2+mx+2＞0对于任意x∈R恒成立， 当m＝0时，符合题意； 当m≠0时，则，解得0＜m＜8． ∴m的取值范围是[0，8）． 故选：B． 【变式练2】（2025春•阳明区校级期末）函数的定义域是　　　　． 【答案】（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，2]． 【分析】由题意，解不等式即可得解． 【解答】解：由题意可得，，解得x≤2且x≠﹣3， 所以函数的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，2]． 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，2]． 【变式练3】（2024秋•枣庄期末）设全集U＝R，已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|m﹣1≤x≤m+1}（m∈R） （1）当m＝4时，求A∩∁UB； （2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∩∁UB＝{x|﹣3≤x＜3}； （2）[﹣2，3]． 【分析】（1）先根据具体函数定义域满足条件求出A，再求出B和∁UB，结合交集概念计算即可； （2）根据A∪B＝A，得到B⊆A，比较集合端点即可． 【解答】解：（1）要使函数有意义， 则，解得﹣3≤x≤4，故A＝{x|﹣3≤x≤4}． 当m＝4时，B＝{x|3≤x≤5}，则∁UB＝{x|x＜3或x＞5}； 则A∩∁UB＝{x|﹣3≤x≤4}∩{x|x＜3或x＞5}＝{x|﹣3≤x＜3}． （2）由A∪B＝A，得B⊆A，则，解得：﹣2≤m≤3． 则实数m的取值范围是[﹣2，3]． 题型03 函数的值域 典型例题 典例 03 （2025春•沙坪坝区校级期末）设集合，集合，则A∩B＝（　　） A． B．[0，1） C．（0，1] D． 【答案】C 【分析】先求解集合A，B，然后根据交集的定义求解即可． 【解答】解：A＝{x|0＜x≤1}，B＝{y|0≤y≤1}， 所以A∩B＝（0，1]． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025春•长沙校级期末）若函数f（x）的值域为（1，10），则函数的值域为（　　） A．[﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．[﹣3，1） D．（﹣3，1） 【答案】C 【分析】令，通过换元法将g（x）表示为（t﹣2）2﹣3，然后根据二次函数的性质求解出g（x）的值域． 【解答】解：根据题意可知，令，得t∈（0，3），f（x）＝t2+1，则g（x）＝h（t）＝t2﹣4t+1＝（t﹣2）2﹣3， ∴h（t）min＝h（2）＝﹣3，对称轴t＝2，开口向上且|0﹣2|＞|3﹣2|，∴h（t）＜h（0）＝1， ∴函数g（x）的值域为[﹣3，1）． 故选：C． 【变式练2】（2025秋•太原月考）已知函数，则f（x）的值域为　　　　． 【答案】． 【分析】令，求得，结合基本不等式，求得4≤y2≤8，进而求得函数f（x）的值域，得到答案． 【解答】解：根据f（x）的解析式得3﹣x≥0且1+x≥0，解得﹣1≤x≤3， 又由，则y＞0，可得， 因为﹣1≤x≤3，则， 当且仅当3﹣x＝1+x时，即x＝1时等号成立，所以4≤y2≤8，且y＞0，可得， 所以函数f（x）的值域是． 故答案为：． 【变式练3】（2025春•宝山区校级期中）函数的值域是　　　　． 【答案】{y|y≠1且y≠﹣1}． 【分析】把已知函数化小数变形，即可求解原函数的值域． 【解答】解：（x≠1）， 当x＝1时，y， 而y1． ∴函数的值域是{y|y≠1且y≠﹣1}． 故答案为：{y|y≠1且y≠﹣1}． 题型04 同一函数的判断 典型例题 典例 04 （多选）（2025秋•广元校级月考）下列各组函数是同一个函数的是（　　） A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1 B．f（x）＝x﹣1与 C．f（x）＝x2与 D．f（x）＝x2与 【答案】AD 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可． 【解答】解：A：f（x）＝x2﹣2x﹣1的定义域为R，g（s）＝s2﹣2s﹣1的定义域为R， 两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数，故A正确； B：f（x）＝x﹣1的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故B错误； C：f（x）＝x2的定义域为R，的定义域为[0，+∞），两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； D：f（x）＝x2的定义域为R，的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一个函数，故D正确． 故选：AD． 即学即练 【变式练1】（2025春•伊犁州校级月考）以下各组函数中，不是同一函数的是（　　） A． B．f（x）＝x2﹣2，g（t）＝t2﹣2 C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则相同，即可判断为同一函数． 【解答】解：对于A，，两个函数的解析式不同，不是同一函数； 对于B，f（x）＝x2﹣2的定义域为R，g（t）＝t2﹣2的定义域为R，两函数的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数； 对于C，f（x）＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，g（x）1的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数； 对于D，f（x）＝|x﹣1|，g（x）；两函数的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数． 故选：A． 【变式练2】（2025春•项城市校级期末）下列表示是同一个函数的是（　　） A．f（x）＝1，g（x）＝x0 B． C．f（x）＝|x+1|，g（t）＝|t+1| D． 【答案】C 【分析】根据定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项． 【解答】解：对于A，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝x0的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B，的定义域为R，的定义域为[0，+∞）， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于C，f（x）＝|x+1|的定义域为R，g（t）＝|t+1|的定义域为R， 两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于D，f（x）＝x+1的定义域为R，的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 故选：C． 【变式练3】（多选）（2025春•东坡区期末）下列各项中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．f（x）＝x2，g（t）＝t2 D．f（x）＝|x﹣3|， 【答案】BCD 【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案． 【解答】解：，， 因为f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域为R， 两者定义域不同，故两函数不相等，故A错误； 由1﹣x2≥0得﹣1≤x≤1，故的定义域为[﹣1，1]， 由得﹣1≤x≤1，故的定义域为[﹣1，1]， 又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确； 因为f（x）＝x2，g（t）＝t2的定义域均为R，且对应关系相同，故两函数相等，故C正确； ，，所以两函数相等，故D正确． 故选：BCD． 题型05 函数的解析式 典型例题 典例 05 （2024秋•台州期中）函数f（x）＝x的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式利用绝对值的定义进行化简变形，得到分段函数的解析式，作出函数图象即可得到答案． 【解答】解：函数f（x）＝x， 作出函数图象为： 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2024秋•菏泽月考）已知f（1）1，则f（x）＝　　　　． 【答案】x﹣2（x≠1）． 【分析】先令括号里1t，求出t的范围，将x用t表示，求出f（t）的解析式，最后在将t换成x即可，注意变量的范围． 【解答】解：设1t（t≠1），则x， ∴f（t）1＝t﹣2（t≠1）． ∴f（x）＝x﹣2（x≠1）． 故答案为x﹣2（x≠1）． 【变式练2】（2025秋•太原月考）已知函数的图象过点和点． （1）求实数a，b的值； （2）写出f（x）的定义域，并求f（x）的值域． 【答案】（1）a＝2，b＝3； （2）定义域为[0，+∞），值域为． 【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可； （2）根据法则求出定义域； 方法一：利用基本不等式求值域； 方法二：令，将函数解析式转化为关于t的方程，分x＝0，x≠0两种情况结合方程有正根来求解． 【解答】解：（1）由已知可得，， 解得a＝2，b＝3； （2）由（1）知，所以，解得x≥0， 所以f（x）的定义域为[0，+∞）； 法一：f（0）＝0，x＞0时，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以f（x）的值域为． 法二：由得， 令，则2yt2﹣t+3y＝0， 当x＝0时，t＝0，y＝0； 当x＞0时，t＞0，则关于t的方程2yt2﹣t+3y＝0必有实根且为正实数根， 则Δ＝1﹣24y2≥0，，所以， 所以f（x）的值域为． 【变式练3】（2024秋•儋州校级期中）已知函数f（x）的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． （1）求f（3），f[f（3）]的值． （2）写出函数f（x）的解析式、定义域和值域． 【答案】（1）f（3）＝﹣1，f（f（3））＝1； （2）f（x），定义域为[﹣2，3]，值域为[﹣2，2]． 【分析】（1）由函数f（x）的图象，即可得出f（3）与f（f（3））的值； （2）求出﹣2≤x≤0和0＜x≤3时f（x）的解析式，直接写出f（x）的定义域和值域． 【解答】解：（1）由函数f（x）的图象知，当﹣2≤x≤0时，设f（x）＝kx+b， 由，解得k＝1，b＝2，所以f（x）＝x+2； 所以f（3）＝﹣1，f（f（3））＝f（﹣1）＝﹣1+2＝1； （2）当﹣2≤x≤0时，f（x）＝x+2； 设0＜x≤3时，f（x）＝a（x﹣2）2﹣2， 由f（3）＝a×（3﹣2）2﹣2＝﹣1，解得a＝1， 所以f（x）＝（x﹣2）2﹣2； 所以f（x）； 所以f（x）的定义域为[﹣2，3]，值域为[﹣2，2]． 题型06 分段函数 典型例题 典例 06 （2025春•安溪县校级月考）已知函数． （1）求f（0），f（1），f[f（2）]； （2）画f（x）的图像． 【答案】（1）f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f[f（2）]＝﹣2； （2）图象见解析． 【分析】（1）根据函数的解析式即可得出答案； （2）根据函数的解析式作出f（x）的图象． 【解答】解：（1）∵函数， ∴f（0）＝0﹣1＝﹣1，f（1）＝﹣1+1＝0，f（2）＝﹣2+1＝﹣1，则f[f（2）]＝f（﹣1）＝﹣1﹣1＝﹣2； （2）如图所示： 即学即练 【变式练1】（2024秋•和平区校级期中）设函数，若f（a）＝a，则实数a的值为（　　） A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2 【答案】B 【分析】由分段函数的解析式知，当x≥0时，f（X）；当x＜0时，f（x）；分别令f（a）＝a，即得实数a的取值． 【解答】解：由题意知，f（a）＝a； 当a≥0时，有，解得a＝﹣2，（不满足条件，舍去）； 当a＜0时，有，解得a＝1（不满足条件，舍去）或a＝﹣1． 所以实数a 的值是：a＝﹣1． 故选：B． 【变式练2】（2024秋•黄浦区期末）若f（x）＝x3，则不等式g（x）＜﹣x的解集为　　　　． 【答案】（﹣1，0）． 【分析】先求出分段函数g（x）的解析式，再求不等式g（x）＜﹣x的解集． 【解答】解：x≥0时，g（x）＝x3， x＜0时，﹣x＞0，g（x）＝f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3， ∴ 由g（x）＜﹣x得，，无解， 或，的解集为（﹣1，0） 综上，不等式g（x）＜﹣x的解集为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 【变式练3】（2025•涡阳县校级开学）f（x） （1）画出f（x）的图象； （2）若f（x），求x的范围； （3）求f（x）的值域． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用分段函数画出函数的图象即可． （2）通过函数的图象，转化求解不等式的解集即可． （3）利用函数的图象，求解函数的值域即可． 【解答】解：（1）f（x） 画出f（x）的图象如图：； （2）若f（x），可得x2，解得x的范围（]∪[）； （3）由函数的图象可知：f（x）的值域[0，1]． 学科网（北京）股份有限公司 $