2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册
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摘要：
本讲义聚焦高中数学中二次函数与一元二次方程、不等式的核心内容，系统构建从零点概念到三个“二次”关系的完整知识链，层层递进地梳理了判别式、根与系数关系、图像特征及其在不等式求解中的应用逻辑。
资料设计突出核心素养导向，体现“会用数学的眼光观察现实世界”，如题型04通过图像与不等式解集的对应关系，引导学生直观理解数形结合思想；强化“会用数学的思维思考现实世界”，如题型06含参不等式分类讨论，训练学生严谨推理能力；彰显“会用数学的语言表达现实世界”，如题型07恒成立问题中参数分离法的应用，提升建模与抽象表达能力。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，巩固关键方法与易错点。
内容正文：
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
目录
题型01 零点 4
题型02 一元二次不等式 5
题型03 分式不等式 6
题型04 三个“二次”的关系 7
题型05 由一元二次不等式求参数 8
题型06 含参一元二次不等式 9
题型07 一元二次不等式恒成立问题 10
建体系
新知廊
知识点1： 零点
1．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2．二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
3．一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
知识点2： 一元二次不等式
1．将不等式转化为 ax2+bx+c＝0 形式，求出根．
2．由根的位置，将数轴分为多个区间．
3．在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．
4．综合各区间的解，写出最终解集．
知识点3： 分式不等式
1．将分式不等式转化为一元二次不等式求解．
2．先移项通分标准化，则，．
知识点4： 根与系数的关系
1．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根．
2．有x1+x2，x1•x2．
知识点5： 三个“二次”的关系
△>0
△=0
△<0
y=ax2+bx+ c
(a>0)的图象
ax2+bx+ c=0
(a>0)的根
两个不相等
的实数根
x1,x2（x1<x2）
有两个相等
的实数根
没有实数根
ax2+bx+ c>0
(a>0)的解集
或
R
ax2+bx+ c<0
(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
知识点6： 一元二次不等式恒成立问题
1．一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0．
2．一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
求甚解
1．零点．
(1) 函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．
(2) 函数的零点不是一个点，而是一个实数．
2．一元二次不等式的求解步骤．
(1) 化标准．
(2) 判别式．
(3) 求实根．
(4) 画草图．
(5) 写解集．
3．分式不等式的求解．
(1) >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
(2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
4．常见不等式的解法．
(1) (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法：大于取两边，小于取中间．
(2) |x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)．
5．含参一元二次不等式的求解．
(1) 若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论．
(2) 若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论．
(3) 若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
6．一元二次不等式恒成立问题．
(1) 恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．
(2) 一般恒成立问题最后都转化为求最值的问题，常用的方法是分离参变量．
练题型
题型01 零点
典型例题
典例
01
（2025春•高邮市期中）函数y＝3x﹣2的零点是（ ）
A．﹣2 B．（0，﹣2） C． D．
【答案】C
【分析】直接求解即可．
【解答】解：令3x﹣2＝0，可得x．
故选：C．
即学即练
【变式练1】（2024秋•嘉定区期末）函数的零点是 ．
【变式练2】（2025•抚顺开学）已知二次函数y＝x2+bx+c的两个零点为﹣1，4，则b+c＝ ．
【变式练3】（2024秋•浦东新区校级期末）若函数y＝x2﹣x+3﹣a在R上存在零点，则实数a的取值范围是 ．
题型02 一元二次不等式
典型例题
典例
02
（2025春•河西区期末）一元二次不等式3x2﹣7x﹣6≤0的解集为 ．
【答案】{x|}．
【分析】由已知结合二次不等式的求法即可求解．
【解答】解：由3x2﹣7x﹣6≤0得（3x+2）（x﹣3）≤0，解得．
故答案为：{x|}．
即学即练
【变式练1】（2025•山海关区二模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣3} B．{x|﹣1＜x＜1}
C．{x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜2}
【变式练2】（2025春•上海校级期末）不等式﹣2x2+3x+5＞0的解集为 ．
【变式练3】（2024秋•四川期末）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}．
（1）当m＝2时，求A∪B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
题型03 分式不等式
典型例题
典例
03
（2024秋•隆阳区校级期中）分式不等式的解集为（ ）
A．{x|﹣5≤x≤1} B．{x|﹣5≤x＜1}
C．{x|x≤﹣5或x≥1} D．{x|x≤﹣5或x＞1}
【答案】D
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，准确运算，即可求解．
【解答】解：由分式不等式可转化为（x+5）（x﹣1）≥0且1﹣x≠0，
解得x≤﹣5或x＞1，
所以不等式的解集为{x|x≤﹣5或x＞1}．
故选：D．
即学即练
【变式练1】（2024秋•城关区校级月考）关于x的分式不等式的解集是 ．
【变式练2】（2024秋•让胡路区校级月考）分式不等式的解集为 ．
【变式练3】（2024秋•青羊区校级月考）（1）求不等式﹣x2+4x+5＜0的解集．
（2）解分式不等式：．
题型04 三个“二次”的关系
典型例题
典例
04
（2025秋•盐城期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则关于x的不等式bx2+ax+c＜0的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集得出a与b、c的关系，且a＜0；代入不等式bx2+ax+c＜0中化简求解即可．
【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，
所以2和3是方程ax2+bx+c＝0的两个实数解，且a＜0；
由根与系数的关系知，，所以b＝﹣5a，c＝6a；
所以不等式bx2+ax+c＜0可化为﹣5ax2+ax+6a＜0，
即5x2﹣x﹣6＜0，解得﹣1＜x，
所求不等式的解集为{x|﹣1＜x}．
故选：A．
即学即练
【变式练1】（2024秋•吉林期末）已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0
B．c＜0
C．a+b+c＜0
D．cx2﹣bx+a＜0的解集为
【变式练2】（多选）（2025•陕西学业考试）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．关于x的不等式bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣6}
D．关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为或
【变式练3】（2025春•河西区期末）已知关于x的不等式ax2+3x+2＞0，（a∈R）．
（I）若a＝1，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为{x|b＜x＜1}，
（i）求实数a，b的值；
（ii）讨论关于x的不等式abx2﹣mx﹣m2≤0（m∈R）的解集．
题型05 由一元二次不等式求参数
典型例题
典例
05
（2025春•廊坊期中）已知不等式ax2+bx+3＞0的解集是（﹣3，1），则a+b＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据已知条件，借助韦达定理，列方程组，从而求得．
【解答】解：不等式ax2+bx+3＞0的解集是（﹣3，1），
则，解得a＝﹣1，b＝﹣2，则a+b＝﹣3．
故选：A．
即学即练
【变式练1】（2025•黑龙江校级模拟）若关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式练2】（2025•渭南模拟）若关于x的不等式2ax2﹣4x＜ax﹣2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2] B．[1，2） C．（0，2） D．（0，2]
【变式练3】（2025秋•陕西月考）若关于x的不等式2x2+ax+b＜0的解集为（1，4），则a﹣b的值为 ．
题型06 含参一元二次不等式
典型例题
典例
06
（2025•安徽校级开学）解关于x的不等式：kx2﹣k+1＜0．
【答案】当0≤k≤1时，不等式的解集为∅；
当k＞1时，不等式的解集为{k|}；
当k＜0时，不等式的解集为{x|或}．
【分析】分k的不同取值范围求解不等式．
【解答】解：当k＝0时，不等式等价于1＜0，此时不成立，即不等式的解集为∅；
当k＞0时，不等式转化为，
①若0＜k≤1时，因为，此时不等式的解集为∅；
②当k＞1时，可得，
即不等式的解集为{k|}；
当k＜0时，不等式转化为，解得或，
即不等式的解集为{x|或}；
综上可得，当0≤k≤1时，不等式的解集为∅；
当k＞1时，不等式的解集为{k|}；
当k＜0时，不等式的解集为{x|或}．
即学即练
【变式练1】（2025秋•泗阳县校级月考）解下列关于x的不等式x2﹣x﹣a（a+1）＞0．
【变式练2】（2025•五华区校级开学）已知关于x的不等式x2+（a﹣3）x﹣b＜0．
（1）若该不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}，求a和b的值；
（2）若b＝3a，求该不等式的解集．
【变式练3】（2025春•安徽期末）设函数y＝ax2﹣（b+1）x+1．
（1）若y＝0的两根分别为﹣2和1，求实数a，b的值；
（2）若b＝a＞0，解关于x的不等式f（x）＜0．
题型07 一元二次不等式恒成立问题
典型例题
典例
07
（2025春•栖霞区校级期末）不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合B＝{x|x2﹣mx﹣3＜0}．
（1）求集合A；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）A＝（﹣3，0]；
（2）（﹣∞，﹣2]．
【分析】（1）当k＝0时，显然成立；当k≠0时，由求解即可；
（2）由题设得A⊆B，即x2﹣mx﹣3＜0在（﹣3，0]上恒成立，由解出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）不等式对一切实数x恒成立，
当k＝0时，，显然恒成立；
当k≠0时，则，解得﹣3＜k＜0．
综上，A＝（﹣3，0]．
（2）因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B．
又B＝{x|x2﹣mx﹣3＜0}，即x2﹣mx﹣3＜0在（﹣3，0]上恒成立．
令y＝x2﹣mx﹣3，则⇒，解得m≤﹣2，
所以m的取值范围为m≤﹣2．
即学即练
【变式练1】（2025春•科左中旗校级期末）若关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是R，则m的取值范围是（ ）
A．{m|﹣4≤m≤0} B．{m|﹣4＜m≤0} C．{m|0≤m＜4} D．{m|﹣4＜m＜0}
【变式练2】（2024秋•五华区校级期末）若关于x的不等式x2﹣4x+1﹣ax＞0在区间[1，4]内有解，则实数a的取值范围是 ．
【变式练3】（2024秋•通州区期末）已知不等式ax2﹣3x+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式mx2+mx+3a≥0对于x∈R均成立，求实数m取值范围．
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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
目录
题型01 零点 4
题型02 一元二次不等式 6
题型03 分式不等式 8
题型04 三个“二次”的关系 9
题型05 由一元二次不等式求参数 12
题型06 含参一元二次不等式 14
题型07 一元二次不等式恒成立问题 17
建体系
新知廊
知识点1： 零点
1．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2．二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
3．一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
知识点2： 一元二次不等式
1．将不等式转化为 ax2+bx+c＝0 形式，求出根．
2．由根的位置，将数轴分为多个区间．
3．在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．
4．综合各区间的解，写出最终解集．
知识点3： 分式不等式
1．将分式不等式转化为一元二次不等式求解．
2．先移项通分标准化，则，．
知识点4： 根与系数的关系
1．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根．
2．有x1+x2，x1•x2．
知识点5： 三个“二次”的关系
△>0
△=0
△<0
y=ax2+bx+ c
(a>0)的图象
ax2+bx+ c=0
(a>0)的根
两个不相等
的实数根
x1,x2（x1<x2）
有两个相等
的实数根
没有实数根
ax2+bx+ c>0
(a>0)的解集
或
R
ax2+bx+ c<0
(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
知识点6： 一元二次不等式恒成立问题
1．一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0．
2．一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
求甚解
1．零点．
(1) 函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．
(2) 函数的零点不是一个点，而是一个实数．
2．一元二次不等式的求解步骤．
(1) 化标准．
(2) 判别式．
(3) 求实根．
(4) 画草图．
(5) 写解集．
3．分式不等式的求解．
(1) >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
(2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
4．常见不等式的解法．
(1) (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法：大于取两边，小于取中间．
(2) |x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)．
5．含参一元二次不等式的求解．
(1) 若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论．
(2) 若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论．
(3) 若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
6．一元二次不等式恒成立问题．
(1) 恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．
(2) 一般恒成立问题最后都转化为求最值的问题，常用的方法是分离参变量．
练题型
题型01 零点
典型例题
典例
01
（2025春•高邮市期中）函数y＝3x﹣2的零点是（ ）
A．﹣2 B．（0，﹣2） C． D．
【答案】C
【分析】直接求解即可．
【解答】解：令3x﹣2＝0，可得x．
故选：C．
即学即练
【变式练1】（2024秋•嘉定区期末）函数的零点是 ．
【答案】6．
【分析】结合零点的定义，对原式化简，即可求解．
【解答】解：函数，
令y＝0，则（x≥2），
两边同时平方化简得x2﹣6x＝0，解得x＝6或x＝0（舍去），
故函数y的零点是6．
故答案为：6．
【变式练2】（2025•抚顺开学）已知二次函数y＝x2+bx+c的两个零点为﹣1，4，则b+c＝ ．
【答案】﹣7．
【分析】由二次函数根与系数的性质求解即可．
【解答】解：因为二次函数y＝x2+bx+c的两个零点为﹣1，4，
即x2+bx+c＝0的两个根为﹣1，4，则，
解得b＝﹣3，c＝﹣4，所以b+c＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【变式练3】（2024秋•浦东新区校级期末）若函数y＝x2﹣x+3﹣a在R上存在零点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】利用判别式列出不等式，求解即可．
【解答】解：因为函数y＝x2﹣x+3﹣a在R上存在零点，
即关于x的一元二次方程x2﹣x+3﹣a＝0在R上有解，
所以Δ＝1﹣4（3﹣a）＝4a﹣11≥0，解得，
所以实数a的取值范围是．
故答案为：．
题型02 一元二次不等式
典型例题
典例
02
（2025春•河西区期末）一元二次不等式3x2﹣7x﹣6≤0的解集为 ．
【答案】{x|}．
【分析】由已知结合二次不等式的求法即可求解．
【解答】解：由3x2﹣7x﹣6≤0得（3x+2）（x﹣3）≤0，解得．
故答案为：{x|}．
即学即练
【变式练1】（2025•山海关区二模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣3} B．{x|﹣1＜x＜1}
C．{x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜2}
【答案】C
【分析】结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
B＝{x||x|＞1}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，
故A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜3}．
故选：C．
【变式练2】（2025春•上海校级期末）不等式﹣2x2+3x+5＞0的解集为 ．
【答案】．
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解．
【解答】解：不等式﹣2x2+3x+5＞0等价于（2x﹣5）（x+1）＜0，则不等式﹣2x2+3x+5＞0的解集为，
故答案为：．
【变式练3】（2024秋•四川期末）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}．
（1）当m＝2时，求A∪B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|﹣1≤x≤3}；
（2）（﹣∞，2]．
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A，然后由并集运算可得；
（2）由A∩B＝B先得出集合A与集合B的关系，再对集合B进行分类讨论，
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}．
（1）已知得，A＝{x|（x+1）（x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
当m＝2时，B＝{x|2≤x≤3}，
∴A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}；
（2）∵A∩B＝B，∴B⊆A，
当B＝∅时，m＞2m﹣1，即m＜1，
当B≠∅时，，
综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，2]．
题型03 分式不等式
典型例题
典例
03
（2024秋•隆阳区校级期中）分式不等式的解集为（ ）
A．{x|﹣5≤x≤1} B．{x|﹣5≤x＜1}
C．{x|x≤﹣5或x≥1} D．{x|x≤﹣5或x＞1}
【答案】D
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，准确运算，即可求解．
【解答】解：由分式不等式可转化为（x+5）（x﹣1）≥0且1﹣x≠0，
解得x≤﹣5或x＞1，
所以不等式的解集为{x|x≤﹣5或x＞1}．
故选：D．
即学即练
【变式练1】（2024秋•城关区校级月考）关于x的分式不等式的解集是 ．
【答案】{x|x＜0或x＞2}．
【分析】不等式等价于x（x﹣2）＞0，求出解集即可．
【解答】解：不等式0等价于x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，
所以不等式的解集是{x|x＜0或x＞2}．
故答案为：{x|x＜0或x＞2}．
【变式练2】（2024秋•让胡路区校级月考）分式不等式的解集为 ．
【答案】．
【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解．
【解答】解：由，得，即，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
【变式练3】（2024秋•青羊区校级月考）（1）求不等式﹣x2+4x+5＜0的解集．
（2）解分式不等式：．
【答案】（1）{x|x＜﹣1或x＞5}；
（2）．
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据分式不等式的解法求解即可．
【解答】解：（1）由不等式﹣x2+4x+5＜0得：x2﹣4x﹣5＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，解得：x＜﹣1或x＞5，
所以原不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞5}；
（2）由不等式得：，
即（x+2）（3x+1）≤0且3x+1≠0，
所以原不等式的解集是．
题型04 三个“二次”的关系
典型例题
典例
04
（2025秋•盐城期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则关于x的不等式bx2+ax+c＜0的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集得出a与b、c的关系，且a＜0；代入不等式bx2+ax+c＜0中化简求解即可．
【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，
所以2和3是方程ax2+bx+c＝0的两个实数解，且a＜0；
由根与系数的关系知，，所以b＝﹣5a，c＝6a；
所以不等式bx2+ax+c＜0可化为﹣5ax2+ax+6a＜0，
即5x2﹣x﹣6＜0，解得﹣1＜x，
所求不等式的解集为{x|﹣1＜x}．
故选：A．
即学即练
【变式练1】（2024秋•吉林期末）已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0
B．c＜0
C．a+b+c＜0
D．cx2﹣bx+a＜0的解集为
【答案】D
【分析】根据不等式ax2+bx+c＜0的解集得出对应方程的解，以及a＜0，由此判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}，
所以﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0的解，且a＜0，选项A错误；
所以，解得b＝﹣2a，c＝﹣3a＞0，选项B错误；
所以a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a＞0，选项C正确；
不等式cx2﹣bx+a＜0可化为﹣3ax2+2ax+a＜0，即3x2﹣2x﹣1＜0，
解得x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}，选项D正确．
故选：D．
【变式练2】（多选）（2025•陕西学业考试）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．关于x的不等式bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣6}
D．关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为或
【答案】ABD
【分析】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集，判断a＜0，且得出对应方程的两个根，由根与系数的关系得出b、c与a的关系，由此求解即可．
【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，所以a＜0，选项A正确；
因为1∈{x|﹣3＜x＜2}，所以a+b+c＞0，选项B正确；
由题意知，﹣3和2是方程ax2+bx+c＝0的两根，则，解得b＝a，c＝﹣6a；
所以不等式bx+c＞0可化为ax﹣6a＞0，由a＜0，得x﹣6＜0，解得x＜6，得解集为{x|x＜6}，选项C错误；
不等式cx2+bx+a＞0可化为﹣6ax2+ax+a＞0，即6x2﹣x﹣1＞0，解得x或x，所以解集为{x|x或x}，选项D正确．
故选：ABD．
【变式练3】（2025春•河西区期末）已知关于x的不等式ax2+3x+2＞0，（a∈R）．
（I）若a＝1，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为{x|b＜x＜1}，
（i）求实数a，b的值；
（ii）讨论关于x的不等式abx2﹣mx﹣m2≤0（m∈R）的解集．
【答案】（I）解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）；
（Ⅱ）（i）a＝﹣5，；
（ii）当m＞0时，解集为；
当m＝0时，解集为{0}；
当m＜0时，解集为．
【分析】（I）对不等式因式分解，再结合开口方向即可求解．
（Ⅱ）（i）由根与系数的关系列式求出a，b的值．
（ii）先求出方程2x2﹣mx﹣m2＝0的根，再对m进行分类讨论求解．
【解答】解：（I）当a＝1时，不等式为x2+3x+2＞0，
即（x+1）（x+2）＞0，解得x＜﹣2或x＞﹣1，
所以不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）．
（Ⅱ）（i）已知解集为{x|b＜x＜1}，即ax2+3x+2＞0的解集为（b，1），
说明二次函数y＝ax2+3x+2的开口向下（a＜0），且方程ax2+3x+2＝0的根为x1＝b和x2＝1，
所以，，联立解得a＝﹣5，．
（ii）由a＝﹣5，，得ab＝2，不等式化为2x2﹣mx﹣m2≤0，即（2x+m）（x﹣m）≤0，
因为方程2x2﹣mx﹣m2＝0的根为和x2＝m．
所以当m＞0时，，不等式的解集为；
当m＝0时，不等式为2x2≤0，不等式的解集为{0}；
当m＜0时，，不等式的解集为．
题型05 由一元二次不等式求参数
典型例题
典例
05
（2025春•廊坊期中）已知不等式ax2+bx+3＞0的解集是（﹣3，1），则a+b＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据已知条件，借助韦达定理，列方程组，从而求得．
【解答】解：不等式ax2+bx+3＞0的解集是（﹣3，1），
则，解得a＝﹣1，b＝﹣2，则a+b＝﹣3．
故选：A．
即学即练
【变式练1】（2025•黑龙江校级模拟）若关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解．
【解答】解：因为关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是，
所以a＜0且，解得．
故选：C．
【变式练2】（2025•渭南模拟）若关于x的不等式2ax2﹣4x＜ax﹣2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2] B．[1，2） C．（0，2） D．（0，2]
【答案】B
【分析】由已知结合二次不等式的求法对a的范围进行分类讨论，即可求解．
【解答】解：2ax2﹣4x＜ax﹣2，即（2x﹣1）（ax﹣2）＜0，
当a＝0时，不等式的解集为，不符合题意；
当a＜0时，不等式的解集为，不符合题意；
当a＞0时，若a＝4，不等式的解集为∅，不符合题意；
若0＜a＜4，不等式的解集为，，故只需满足，解得1≤a＜2；
若a＞4，不等式的解集为，不符合题意．
综上所述，1≤a＜2．
故选：B．
【变式练3】（2025秋•陕西月考）若关于x的不等式2x2+ax+b＜0的解集为（1，4），则a﹣b的值为 ．
【答案】﹣18
【分析】由一元二次不等式的解集与对应一元二次方程关系求参数值，即可得．
【解答】解：由题意可知方程2x2+ax+b＝0两根为1和4，
由根与系数的关系可得，得，
所以a﹣b＝﹣18．
故答案为：﹣18．
题型06 含参一元二次不等式
典型例题
典例
06
（2025•安徽校级开学）解关于x的不等式：kx2﹣k+1＜0．
【答案】当0≤k≤1时，不等式的解集为∅；
当k＞1时，不等式的解集为{k|}；
当k＜0时，不等式的解集为{x|或}．
【分析】分k的不同取值范围求解不等式．
【解答】解：当k＝0时，不等式等价于1＜0，此时不成立，即不等式的解集为∅；
当k＞0时，不等式转化为，
①若0＜k≤1时，因为，此时不等式的解集为∅；
②当k＞1时，可得，
即不等式的解集为{k|}；
当k＜0时，不等式转化为，解得或，
即不等式的解集为{x|或}；
综上可得，当0≤k≤1时，不等式的解集为∅；
当k＞1时，不等式的解集为{k|}；
当k＜0时，不等式的解集为{x|或}．
即学即练
【变式练1】（2025秋•泗阳县校级月考）解下列关于x的不等式x2﹣x﹣a（a+1）＞0．
【答案】当时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞a+1}；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为{x|x＜a+1或x＞﹣a}．
【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可．
【解答】解：x2﹣x﹣a（a+1）＞0，即（x+a）（x﹣a﹣1）＞0．
当时，a+1＞﹣a，原不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞a+1}；
当时，a+1＝﹣a，原不等式的解集为；
当时，a+1＜﹣a，原不等式的解集为{x|x＜a+1或x＞﹣a}．
【变式练2】（2025•五华区校级开学）已知关于x的不等式x2+（a﹣3）x﹣b＜0．
（1）若该不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}，求a和b的值；
（2）若b＝3a，求该不等式的解集．
【答案】（1）a＝2，b＝2；
（2）a＞﹣3时，解集为（﹣a，3）；a＝﹣3时，解集为∅；a＜﹣3时，解集为（3，﹣a）．
【分析】（1）结合二次不等式与二次方程转化关系即可求解；
（2）结合二次不等式的求法即可求解．
【解答】解：（1）因为不等式 x2+（a﹣3）x﹣b＜0 的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
所以二次方程 x2+（a﹣3）x﹣b＝0 的根为﹣1，2，
由韦达定理可得，，
解得a＝2，b＝2；
（2）若b＝3a，则不等式为 x2+（a﹣3）x﹣b＜0可化为（x﹣3）（x+a）＜0，
令（x﹣3）（x+a）＝0，得 x1＝3，x2＝﹣a，
当3＞﹣a，即a＞﹣3时，﹣a＜x＜3；
当3＝﹣a，即 a＝﹣3 时，无解；
当3＜﹣a，即a＜﹣3时，3＜x＜﹣a，
综上：a＞﹣3时，解集为（﹣a，3）；a＝﹣3时，解集为∅；a＜﹣3时，解集为（3，﹣a）．
【变式练3】（2025春•安徽期末）设函数y＝ax2﹣（b+1）x+1．
（1）若y＝0的两根分别为﹣2和1，求实数a，b的值；
（2）若b＝a＞0，解关于x的不等式f（x）＜0．
【答案】（1）；
（2）答案见解析．
【分析】（1）由根的性质列方程求参数值即可；
（2）由题设（ax﹣1）（x﹣1）＜0，应用分类讨论求一元二次不等式的解集．
【解答】解：（1）y＝ax2﹣（b+1）x+1．f（x）＝0的两根分别为﹣2和1，
则，
解得．
（2）由已知得y＝ax2﹣（a+1）x+1，
由y＜0整理得：（ax﹣1）（x﹣1）＜0，
（ax﹣1）（x﹣1）＝0的两根为．
当0＜a＜1时，，解得；
当a＝1时，不等式为（x﹣1）2＜0，f（x）＜0的解集为∅；
当a＞1时，，解得．
综上，
当0＜a＜1时，y＜0的解集为；
当a＝1时，y＜0的解集为∅；
当a＞1时，y＜0的解集为．
题型07 一元二次不等式恒成立问题
典型例题
典例
07
（2025春•栖霞区校级期末）不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合B＝{x|x2﹣mx﹣3＜0}．
（1）求集合A；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）A＝（﹣3，0]；
（2）（﹣∞，﹣2]．
【分析】（1）当k＝0时，显然成立；当k≠0时，由求解即可；
（2）由题设得A⊆B，即x2﹣mx﹣3＜0在（﹣3，0]上恒成立，由解出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）不等式对一切实数x恒成立，
当k＝0时，，显然恒成立；
当k≠0时，则，解得﹣3＜k＜0．
综上，A＝（﹣3，0]．
（2）因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B．
又B＝{x|x2﹣mx﹣3＜0}，即x2﹣mx﹣3＜0在（﹣3，0]上恒成立．
令y＝x2﹣mx﹣3，则⇒，解得m≤﹣2，
所以m的取值范围为m≤﹣2．
即学即练
【变式练1】（2025春•科左中旗校级期末）若关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是R，则m的取值范围是（ ）
A．{m|﹣4≤m≤0} B．{m|﹣4＜m≤0} C．{m|0≤m＜4} D．{m|﹣4＜m＜0}
【答案】B
【分析】由已知结合函数的性质对a的范围进行分类讨论，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：若关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是R，
当m＝0时，﹣1＜0恒成立，符合题意；
当m≠0，根据二次函数的性质可知，，解得﹣4＜m＜0，
故m的范围为﹣4＜m≤0．
故选：B．
【变式练2】（2024秋•五华区校级期末）若关于x的不等式x2﹣4x+1﹣ax＞0在区间[1，4]内有解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】由题意，将参数分离，根据能成立问题可得，结合双勾函数的性质即可求解．
【解答】解：不等式x2﹣4x+1﹣ax＞0在区间[1，4]内有解，
即ax4在[1，4]上有解，所以，
由双勾函数性质，得，∴．
故答案为：．
【变式练3】（2024秋•通州区期末）已知不等式ax2﹣3x+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式mx2+mx+3a≥0对于x∈R均成立，求实数m取值范围．
【答案】（1）a＝1，b＝2；
（2）[0，12]．
【分析】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，由根与系数的关系求解即可；
（2）讨论m＝0和m≠0时，求出不等式恒成立时m的取值范围．
【解答】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
所以1和2是对应方程的两根，
由根与系数的关系知，，
解得a＝1，b＝2；
（2）由（1）知，不等式mx2+mx+3≥0对于x∈R均成立，
m＝0时，不等式为3≥0恒成立，
m≠0时，应满足，解得0≤m≤12，
综上，实数m的取值范围是0≤m≤12．
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