2.2 基本不等式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“基本不等式”这一核心内容，系统构建从重要不等式到基本不等式的知识脉络，再延伸至最值问题、不等式证明、恒成立与存在性问题及实际应用的完整学习支架，层层递进，逻辑清晰。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养。例如题型01通过特殊值法比较大小，引导学生用数学眼光观察数量关系；题型02借助配凑法求最值，展现数学思维中的逻辑推理与运算能力；题型05实际应用中建立面积模型，强化数学语言表达现实问题的能力。课中便于教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，实现从理解到迁移的闭环学习。

2.2 基本不等式 目录 题型01 比较大小 4 题型02 求最值 5 题型03 不等式的证明 6 题型04 存在与恒成立问题 7 题型05 实际应用 8 建体系 新知廊 知识点1： 重要不等式 1．重要不等式: a2+b2≥2ab(a,b∈R)(当且仅当“a=b”时取“=”)． 2．不等式可以变形为，，等． 知识点2：基本不等式 1．基本不等式:≤(a>0,b>0)(当且仅当“a=b”时取“=”)． 2．推广：对个正数，，…，，有． 知识点3： 最值问题 1．如果x>0,y>0,积xy等于定值P，那么当x＝y>0时，和x＋y有最小值2． 2．如果x>0,y>0,和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 3．和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”． 知识点4： 基本不等式链 ． 求甚解 1．基本不等式的求解技巧． (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2) 等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3) 其中称为正数a，b的算术平均数，称为几何平均数． 2．基本不等式配凑法的技巧． (1) 配凑法的实质是代数式的灵活变形． (2) 即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式． (3) 然后用基本不等式求最值． 3．由基本不等式求最值． (1) 一正：各项或各因式均为正． (2) 二定：和或积为定值． (3) 三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值． 4．基本不等式常数代换法的求解技巧． (1) 注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身． (2) 注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理． 5．消元法求最值的技巧． (1) 消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解． (2) 有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围． (3) 对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元)． 6．基本不等式的应用技巧． (1) 理解题意，设变量，设变量时一般把要求最值的变量定为函数． (2) 建立相应的关系式，把实际问题抽象为最值问题． (3) 在定义域内，求出最值． 练题型 题型01 比较大小 典型例题 典例 01 （2025秋•广元校级月考）设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：令a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，但，故A错误， ，故B错误；，故C错误； a＜b＜0，则，，故，故D正确． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2024秋•贵州月考）若x＞﹣1，．Q＝1﹣x，则（　　） A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q 【变式练2】（多选）（2025春•娄底期末）下列不等式恒成立的是（　　） A．a2+b2≥2ab（a，b∈R） B． C． D． 【变式练3】（多选）（2025•彭山区校级开学）已知正数a，b满足a+2b＝2ab，则下列说法一定正确的是（　　） A．a+b≥4 B．a+2b≥4 C．ab≥3 D．a2+4b2≥8 题型02 求最值 典型例题 典例 02 （2025秋•饶平县月考）已知关于x的不等式ax2﹣bx+1＞0的解集为，其中m＞0，则的最小值为（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可知：，m是方程ax2﹣bx+1＝0的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：关于x的不等式ax2﹣bx+1＞0的解集为，其中m＞0，可知：，m是方程ax2﹣bx+1＝0的两根，且a＞0， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以b的最小值为． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（多选）（2025春•重庆期末）设正数x，y满足x+2y＝3，则下列说法正确的是（　　） A．xy的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．x2+4y2的最小值为 【变式练2】（2025秋•衡水月考）已知a+b＝6，a＞2，b＞0，则的最小值为　　　　． 【变式练3】（2024秋•益阳期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若x＞0，y＞0，证明：． 题型03 不等式的证明 典型例题 典例 03 （2024秋•西安期中）（1）比较x2+y2+4与2（x+2y﹣1）的大小； （2）已知x＞0，y＞0，证明：． 【答案】（1）x2+y2+4＞2（x+2y﹣1）； （2）证明见解析． 【分析】（1）利用作差法比较大小；（2）利用基本不等式证明． 【解答】（1）解：因为x2+y2+4﹣2（x+2y﹣1）＝x2﹣2x+2+y2﹣4y+4＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+1， （x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0， 所以（x﹣1）2+（y﹣2）2+1＞0， 所以x2+y2+4＞2（x+2y﹣1）； （2）证明：因为x＞0，y＞0， 所以x20，当且仅当xy＝1时，等号成立， 同理可得y≥2•，当且仅当xy＝1时，等号成立， 因为x20，y≥20， 所以（x）（y）≥2•244， 当且仅当xy＝1时，等号成立． 即学即练 【变式练1】（2025春•廊坊期中）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2． （1）证明：． （2）求的最小值． 【变式练2】（2024秋•吉林期末）已知a＞0，b＞0，且2a+b﹣4ab＝0． （1）证明：； （2）求a+2b的最小值． 【变式练3】（2025春•河北期末）设正数a，b满足a+b＝2．证明： （1）a2+2ab﹣b＜4； （2）． 题型04 存在与恒成立问题 典型例题 典例 04 （2025春•柴桑区校级期末）设0＜m＜1，若恒成立，则k的最小值为（　　） A．9 B．8 C．﹣1 D．﹣2 【答案】C 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式9≥k2﹣8k，求出k范围得最值． 【解答】解：当0＜m＜1时，1﹣m＞0， ， 当且仅当1﹣m＝2m，即时取等号， 所以9≥k2﹣8k，解得﹣1≤k≤9， 所以k的最小值为﹣1． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2024秋•丽江校级期末）若对任意x＜0，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．[1，4] B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞） C．（﹣∞，1]∪[4，+∞） D．[﹣2，5] 【变式练2】（2025春•衡阳县校级期末）若两个正实数x，y满足，且不等式xy＞m2﹣3m有解，则实数m的取值范围是　　　　． 【变式练3】（2025春•临渭区校级期末）已知正实数x，y满足x+3y＝1． （1）求xy的最大值； （2）若不等式有解，求实数m的取值范围． 题型05 实际应用 典型例题 典例 05 （2024秋•科尔沁区校级期末）一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是（　　）m2． A．289 B．104 C．162 D．138 【答案】C 【分析】设出矩形菜园的靠墙的一边长为xm，由已知表示出另一边长，再求出矩形面积的表达式，法（i）利用基本不等式即可求出菜园的最大面积；法（ii）由二次函数的性质可得函数的最大值． 【解答】解：设矩形菜园的靠墙的一边长为xm，0＜x＜36， 因为篱笆的长为36m，则宽为， 法（i）所以矩形菜园的面积为： S＝x••x•（36﹣x）•（）2＝162， 当且仅当x＝36﹣x，即x＝18时等号成立， 所以矩形菜园的最大面积是162m2． 法（ii）S＝x•（x2﹣36x），（0＜x＜36）， 开口向下，对称轴x＝18，而18∈（0，36）， 所以x＝18时，则Smax（182﹣36×18）＝162． 即矩形的面积的最大值为162m2． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2024秋•鄠邑区期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为49m2，深3m．若水池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是　　　　元． 【变式练2】（2025•承德校级开学）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度x（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是　　　　千米/时． 【变式练3】（2025春•镇安县校级月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym． （1）若菜园面积S为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长C最小？ （2）若使用的篱笆总长C为30m，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 目录 题型01 比较大小 4 题型02 求最值 6 题型03 不等式的证明 9 题型04 存在与恒成立问题 12 题型05 实际应用 14 建体系 新知廊 知识点1： 重要不等式 1．重要不等式: a2+b2≥2ab(a,b∈R)(当且仅当“a=b”时取“=”)． 2．不等式可以变形为，，等． 知识点2：基本不等式 1．基本不等式:≤(a>0,b>0)(当且仅当“a=b”时取“=”)． 2．推广：对个正数，，…，，有． 知识点3： 最值问题 1．如果x>0,y>0,积xy等于定值P，那么当x＝y>0时，和x＋y有最小值2． 2．如果x>0,y>0,和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 3．和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”． 知识点4： 基本不等式链 ． 求甚解 1．基本不等式的求解技巧． (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2) 等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3) 其中称为正数a，b的算术平均数，称为几何平均数． 2．基本不等式配凑法的技巧． (1) 配凑法的实质是代数式的灵活变形． (2) 即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式． (3) 然后用基本不等式求最值． 3．由基本不等式求最值． (1) 一正：各项或各因式均为正． (2) 二定：和或积为定值． (3) 三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值． 4．基本不等式常数代换法的求解技巧． (1) 注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身． (2) 注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理． 5．消元法求最值的技巧． (1) 消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解． (2) 有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围． (3) 对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元)． 6．基本不等式的应用技巧． (1) 理解题意，设变量，设变量时一般把要求最值的变量定为函数． (2) 建立相应的关系式，把实际问题抽象为最值问题． (3) 在定义域内，求出最值． 练题型 题型01 比较大小 典型例题 典例 01 （2025秋•广元校级月考）设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：令a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，但，故A错误， ，故B错误；，故C错误； a＜b＜0，则，，故，故D正确． 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2024秋•贵州月考）若x＞﹣1，．Q＝1﹣x，则（　　） A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q 【答案】C 【分析】由已知利用作差比较即可判断P，Q的大小． 【解答】解：因为x＞﹣1，．Q＝1﹣x， 则P﹣Q0， 故P＞Q． 故选：C． 【变式练2】（多选）（2025春•娄底期末）下列不等式恒成立的是（　　） A．a2+b2≥2ab（a，b∈R） B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断AD选项，利用基本不等式可判断BC选项． 【解答】解：对于A选项，a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，A对； 对于B选项，当a＞0，b＞0时，2（a2+b2）≥a2+2ab+b2＝（a+b）2，故，当且仅当a＝b时，等号成立，故，B对； 对于C选项，当x＞1时，，当且仅当时，即当x＝2时，等号成立，C错； 对于D选项，因为a＞b＞0，m＞0，则，故，D对． 故选：ABD． 【变式练3】（多选）（2025•彭山区校级开学）已知正数a，b满足a+2b＝2ab，则下列说法一定正确的是（　　） A．a+b≥4 B．a+2b≥4 C．ab≥3 D．a2+4b2≥8 【答案】BD 【分析】由题可得，利用“1”的巧用，结合基本不等式一一判断各选项，即可判断出正确答案； 【解答】解：由a+2b＝2ab得：，a＞0，b＞0， 对于A，，当且仅当，即，时等号成立，A错误； 对于B，，当且仅当，结合，即a＝2，b＝1时取等号，B正确； 对于C，∵（当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时取等号），∴，解得：ab≥2（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），C错误； 对于D，∵a2+4b2≥4ab（当且仅当a＝2b，结合，即a＝2，b＝1时取等号），由C知：ab≥2（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），∴a2+4b2≥8（当且仅当a＝2，b＝1时取等号），D正确． 故选：BD． 题型02 求最值 典型例题 典例 02 （2025秋•饶平县月考）已知关于x的不等式ax2﹣bx+1＞0的解集为，其中m＞0，则的最小值为（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可知：，m是方程ax2﹣bx+1＝0的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：关于x的不等式ax2﹣bx+1＞0的解集为，其中m＞0，可知：，m是方程ax2﹣bx+1＝0的两根，且a＞0， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以b的最小值为． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（多选）（2025春•重庆期末）设正数x，y满足x+2y＝3，则下列说法正确的是（　　） A．xy的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．x2+4y2的最小值为 【答案】BCD 【分析】直接利用均值不等式判断A选项，通过“1”的代换判断B选项，利用平方判断CD选项． 【解答】解：正数x，y满足x+2y＝3， A选项，xy，当且仅当x＝2y，即时等号成立，A错误； B选项，，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故B正确； C选项，由，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，由，得， 当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BCD． 【变式练2】（2025秋•衡水月考）已知a+b＝6，a＞2，b＞0，则的最小值为　　　　． 【答案】． 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为a+b＝6，a＞2，b＞0， 则（）（a﹣2+b）（5）（5+2），当且仅当b＝2a﹣4，即a，b时取等号． 故答案为：． 【变式练3】（2024秋•益阳期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若x＞0，y＞0，证明：． 【答案】（1）4； （2）详见解答过程． 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由已知结合基本不等式及不等式性质即可证明． 【解答】解：（1）因为， 所以2x﹣122＝4，当且仅当2x﹣1，即x＝1时取等号， 所以函数的最小值为4； （2）证明：若x＞0，y＞0，则x+y， 所以2xy≤（x+y）xy， 即． 题型03 不等式的证明 典型例题 典例 03 （2024秋•西安期中）（1）比较x2+y2+4与2（x+2y﹣1）的大小； （2）已知x＞0，y＞0，证明：． 【答案】（1）x2+y2+4＞2（x+2y﹣1）； （2）证明见解析． 【分析】（1）利用作差法比较大小；（2）利用基本不等式证明． 【解答】（1）解：因为x2+y2+4﹣2（x+2y﹣1）＝x2﹣2x+2+y2﹣4y+4＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+1， （x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0， 所以（x﹣1）2+（y﹣2）2+1＞0， 所以x2+y2+4＞2（x+2y﹣1）； （2）证明：因为x＞0，y＞0， 所以x20，当且仅当xy＝1时，等号成立， 同理可得y≥2•，当且仅当xy＝1时，等号成立， 因为x20，y≥20， 所以（x）（y）≥2•244， 当且仅当xy＝1时，等号成立． 即学即练 【变式练1】（2025春•廊坊期中）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2． （1）证明：． （2）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）16． 【分析】（1）由基本不等式即可直接求证； （2）由乘“1”法及基本不等式即可求解． 【解答】（1）证明：由基本不等式可得， 当且仅当，即a＝2b＝1时，等号成立， 因为a＞0，b＞0，且a+2b＝2，所以，所以， 当且仅当a＝2b＝1时，等号成立， 所以，所以， 即，当且仅当a＝2b＝1时，等号成立； （2）解：因为a+2b＝2，a＞0，b＞0，可得（a+2b）＝1， 所以（220）（12+20）＝16，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值是16． 【变式练2】（2024秋•吉林期末）已知a＞0，b＞0，且2a+b﹣4ab＝0． （1）证明：； （2）求a+2b的最小值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）． 【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论； （2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值． 【解答】解：（1）证明：a＞0，b＞0，且2a+b＝4ab， 解得， 当且仅当2a＝b，即时，等号成立； （2）因为a＞0，b＞0，且2a+b＝4ab，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故a+2b的最小值为． 【变式练3】（2025春•河北期末）设正数a，b满足a+b＝2．证明： （1）a2+2ab﹣b＜4； （2）． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【分析】（1）把双变量问题转化成单变量问题，再利用二次函数的单调性进行证明； （2）将不等式左边的两项中的b，a，分别用a，b来表示，再通过化简与通分得到含有ab的式子，再利用a+b＝2求出﹣ab≥﹣1即可证明． 【解答】证明：（1）因为a＞0，b＞0，且a+b＝2， 所以0＜a＜2， 而a2+2ab﹣b＝a2+2a（2﹣a）﹣（2﹣a）＝﹣a2+5a﹣2， 因为y＝﹣a2+5a﹣2在（0，2）上单调递增， 所以﹣a2+5a﹣2＜＝4，即a2+2ab﹣b＜4成立． （2） ， 因为（当且仅当a＝b＝1时取等号）， 所以ab+3≤4，﹣ab≥﹣1，， 所以， 即． 题型04 存在与恒成立问题 典型例题 典例 04 （2025春•柴桑区校级期末）设0＜m＜1，若恒成立，则k的最小值为（　　） A．9 B．8 C．﹣1 D．﹣2 【答案】C 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式9≥k2﹣8k，求出k范围得最值． 【解答】解：当0＜m＜1时，1﹣m＞0， ， 当且仅当1﹣m＝2m，即时取等号， 所以9≥k2﹣8k，解得﹣1≤k≤9， 所以k的最小值为﹣1． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2024秋•丽江校级期末）若对任意x＜0，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．[1，4] B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞） C．（﹣∞，1]∪[4，+∞） D．[﹣2，5] 【答案】C 【分析】对任意x＜0，不等式恒成立，只需，求出的最大值，然后解关于a的一元二次不等式即可． 【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0， ∴，当且仅当x＝﹣2时取等号． ∵对任意x＜0，不等式恒成立， ∴只需， ∴a2﹣5a+4≥0，∴a≤1，或a≥4． 故选：C． 【变式练2】（2025春•衡阳县校级期末）若两个正实数x，y满足，且不等式xy＞m2﹣3m有解，则实数m的取值范围是　　　　． 【答案】（﹣1，4）． 【分析】利用基本不等式求出xy的最小值，解一元二次不等式即可求实数m的取值范围． 【解答】解：由两个正实数x，y满足， 得，所以xy≥4，当且仅当y＝4x＝4时取等号， 因为不等式xy＞m2﹣3m有解，所以4＞m2﹣3m，解得﹣1＜m＜4， 所以实数m的取值范围是（﹣1，4）． 故答案为：（﹣1，4）． 【变式练3】（2025春•临渭区校级期末）已知正实数x，y满足x+3y＝1． （1）求xy的最大值； （2）若不等式有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）[﹣4，﹣2）． 【分析】（1）根据条件，利用基本不等式计算即可求解； （2）根据“1”的代换可得，利用基本不等式计算可得，则，解分式不等式即可． 【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，x+3y＝1， ∴，解得， 当且仅当即，时等号成立， ∴xy的最大值为． （2）∵， 当且仅当即，时，等号成立， ∴由题意得， ∴，解得﹣4≤m＜﹣2， ∴m的取值范围是[﹣4，﹣2）． 题型05 实际应用 典型例题 典例 05 （2024秋•科尔沁区校级期末）一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是（　　）m2． A．289 B．104 C．162 D．138 【答案】C 【分析】设出矩形菜园的靠墙的一边长为xm，由已知表示出另一边长，再求出矩形面积的表达式，法（i）利用基本不等式即可求出菜园的最大面积；法（ii）由二次函数的性质可得函数的最大值． 【解答】解：设矩形菜园的靠墙的一边长为xm，0＜x＜36， 因为篱笆的长为36m，则宽为， 法（i）所以矩形菜园的面积为： S＝x••x•（36﹣x）•（）2＝162， 当且仅当x＝36﹣x，即x＝18时等号成立， 所以矩形菜园的最大面积是162m2． 法（ii）S＝x•（x2﹣36x），（0＜x＜36）， 开口向下，对称轴x＝18，而18∈（0，36）， 所以x＝18时，则Smax（182﹣36×18）＝162． 即矩形的面积的最大值为162m2． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2024秋•鄠邑区期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为49m2，深3m．若水池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是　　　　元． 【答案】21420． 【分析】利用基本不等式求解即可． 【解答】解：设该蓄水池池底的一边长为xm，则与该边相邻的一边长为，设建造该蓄水池的总造价为y元， 则， 因为214，当且仅当x＝7时，等号成立， 所以y≥21420， 即建造该蓄水池的最低总造价是21420元． 故答案为：21420． 【变式练2】（2025•承德校级开学）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度x（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是　　　　千米/时． 【答案】50． 【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可． 【解答】解：设汽车速度为x千米/时， 由题意运输成本为， 当且仅当，即x＝50时，运输成本最小． 故答案为：50． 【变式练3】（2025春•镇安县校级月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym． （1）若菜园面积S为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长C最小？ （2）若使用的篱笆总长C为30m，求的最小值． 【答案】（1）x＝12，y＝6； （2）． 【分析】（1）由已知可得，代入C＝x+2y，根据基本不等式即可得出答案； （2）由已知可得x+2（y+1）＝32，进而根据“1”的代换，结合基本不等式即可得出答案． 【解答】解：（1）由已知可得，S＝xy＝72，所以，x＞0． 又C＝x+2y，所以， 当且仅当，即x＝12时等号成立，此时， 所以菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长C最小； （2）由已知可得，C＝x+2y＝30，所以x+2（y+1）＝32， 所以， 所以， 当且仅当，且x+2y＝30，即，时等号成立， 所以z的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $