第03讲常用逻辑用语专题训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第03讲常用逻辑用语 考点1.充分必要条件的判断 【例题1】．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由等价于或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【针对训练】 1．已知，设命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】取，满足，但，充分性不成立， 取，满足，但，必要性不成立． 故p是q的既不充分也不必要条件. 故选：D 2.．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 4．已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若，令，则且不成立，故充分性不成立； 若且，则，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 考点2.由充分必要条件的定义求命题的充分条件或必要条件件 【例题1】．若“”是“”的充分条件，则的一个值可以是（   ） A．0 B．2 C．4 D．16 【详解】由，解得，， 又“”是“”的充分条件，所以或，结合选项可知只有B符合题意. 故选：B 【针对训练】 1．“”的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知：是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知只有选项A符合. 故选：A. 2．若，则p的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，， 显然，与互不包含， 所以所求的一个充分不必要条件为. 故选：B 3．已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【详解】由题意得，解得或， 故使得条件成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 其中满足要求，其他选项不满足. 故选：A 4.已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 5.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 6.方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题知，，解得. 故选：A 考点3.全称量词与特称量词 【例题1】．下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 【针对训练】 1．下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 2．下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】选项A，D均不是存在量词命题，B，C均是存在量词命题， 当时，，故B为真命题， 当时，，故C为假命题. 故选：B. 考点4.命题的否定，否命题与非命题 【例题1】．命题：“，”的否定是（      ） A．， B．， C．， D．， 【详解】命题：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：A 【针对训练】 1．已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题：，它的否定. 所以对于命题：，总有，根据全称命题的否定规则， 它的否定是：，使得. 2．已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】，故选A 3.若命题，则是 . 【详解】因为命题是全称命题， 所以改量词，否结论得是：. 故答案为：. 考点5.已知充分条件或必要条件或命题的真假求参数的取值范围 【例题1】．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【详解】依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 【针对训练】 1．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 2．已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为命题为真命题， 则对恒成立， 所以， 即的取值范围是. 故选：D 3.命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 4. 若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 5. 已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【分析】先求出命题、分别为真命题时实数的取值范围，然后分真假，或假真两种情况可求得结果. 【详解】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或.故答案为：或. 考点6.转化法与分类讨论思维在集合与逻辑命题中的应用 【例题1】．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 【针对训练】 1．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 2．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，可得， 则有或，解得或， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围为或. （2）因为命题是命题的必要不充分条件，则， 当时，，解得， 当时，则，解得. 检验：当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 3．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 4．已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）由已知得，分为或两种情况来讨论，建立不等式（组），求解可得出实数的取值范围. （2）由已知可得，根据集合相等建立不等式组可得结论. 【详解】（1）集合，集合. 因为是的充分条件，所以， ∴集合可以分为或两种情况来讨论： 当时，满足题意，此时，解得：； 当时，要使成立， 需满足， 综上所得，实数的取值范围. （2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么， 则必有，解得，综合得无解. 故不存在实数，使得， 即不存在实数，使得是的充要条件. 5．已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 6．已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到或，求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为或， 所以，或； （2）因为“，都有”是真命题，所以， 因为集合，集合或， 所以或， 即或，所以实数的取值范围. 7．已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 【分析】（1）由条件可得，再由集合间的包含关系求解即可； （2）由条件得到，再由集合间的包含关系求解即可； 【详解】（1）由于命题是真命题， 所以，所以， 解得， （2）q为真，则，因为，所以. 所以， 解得. 8．已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 9．已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据判别式求解出为真命题时的范围，再根据补集思想求得结果； （2）分析条件得到⫋，列出不等式组求解出结果. 【详解】（1）当为真命题时，即“，”为真命题， 所以，所以或， 所以若为假命题，则的范围是， 所以. （2）因为是的必要不充分条件，所以⫋， 因为时，若⫋，只需，解得， 经检验，和时满足条件， 综上所述，的取值范围是， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲常用逻辑用语 考点1.充分必要条件的判断 【例题1】．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【针对训练】 1．已知，设命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 4．已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点2.由充分必要条件的定义求命题的充分条件或必要条件件 【例题1】．若“”是“”的充分条件，则的一个值可以是（   ） A．0 B．2 C．4 D．16 【针对训练】 1．“”的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 2．若，则p的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 3．已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 4.已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 6.方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 考点3.全称量词与特称量词 【例题1】．下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【针对训练】 1．下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 2．下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点4.命题的否定，否命题与非命题 【例题1】．命题：“，”的否定是（      ） A．， B．， C．， D．， 【针对训练】 1．已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 2．已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 3.若命题，则是 . 考点5.已知充分条件或必要条件或命题的真假求参数的取值范围 【例题1】．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【例题2】已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 【针对训练】 1．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4. 若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 5.已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 考点6.转化法与分类讨论思维在集合与逻辑命题中的应用 【例题1】．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【针对训练】 1．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 3．设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 4．已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 5．已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 6．已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 7．已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 8．已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 9．已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $