专题强化练2 三个“二次”的应用专练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题强化练2　三个“二次”的应用

1.(2025天津第一中学滨海学校期中)若一元二次不等式ax2+bx+c<0(a,b,c∈R)的解集为{x|-1<x<2},则b-c+的最小值为(　　)

A.-4　              　B.-2　           　C.2　　           D.4

2.(2025安徽合肥期中)若∀x∈R,≤a恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.　　    B.　    　C.{a|a≤0}　     　D.{a|a≥0}

3.(2024福建厦门一中适应性考试)已知a,b∈R,且a<b,关于x的不等式x2-(a+b)x+ab+1<0的解集为{x|x1<x<x2},x1<x2,则实数a,b,x1,x2的大小关系是(　　)

A.a<x1<x2<b　    　B.x1<a<b<x2　   　C.a<x1<b<x2　    　D.x1<a<x2<b

4.(多选题)(2025湖南长沙期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的部分图象如图所示,则(　　)

A.abc>0

B.a+b>0

C.a+b+c<0

D.不等式cx2-bx+a>0的解集为

5.(多选题)(2025湖北黄冈十五校期中联考)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},则下列说法正确的是(　　)

A.a<0     　               B.不等式cx2-bx+a<0的解集为

C.a+b+c<0   　             D.+的最小值为-4

6.(2025上海七宝中学期中)“a<0”是“关于x的方程ax2+2x+2=0至少有一个负数根”的　　　　　　　　条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空) 

7.(2024浙江宁波余姚中学质检)已知方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有两个根x1,x2.若x1<0<x2,则实数a的取值范围是　　　　　　;若-4<x1<x2<0,则实数a的取值范围是　　　　. 

8.(2025江苏连云港期中)若关于x的不等式(ax-1)2<x2恰有3个整数解,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

9.(2025上海实验学校月考)关于x的不等式组的整数解组成的集合为A.

(1)当k=3时,求集合A;

(2)若集合A={-2},求实数k的取值范围;

(3)若集合A中有2 019个元素,求实数k的取值范围.

 

 

 

 

答案与分层梯度式解析

专题强化练2　三个“二次”的应用

1.D　由一元二次不等式ax2+bx+c<0(a,b,c∈R)的解集为{x|-1<x<2},可得a>0,-1,2为ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)的两个实数根,故即

则b-c+=a+≥2=4,当且仅当a=,即a=2时取等号,故b-c+的最小值为4.

2.B　由x2+x+1=+>0,得原不等式可转化为x≤a(x2+x+1),即ax2+(a-1)x+a≥0对任意的x∈R恒成立,

当a=0时,不等式为-x≥0,解得x≤0,不符合题意;

当a≠0时,只需解得a≥.

综上,实数a的取值范围为.

3.A　解法一:由题可得x1+x2=a+b,x1x2=ab+1.

设x1=a+m,则x2=b-m,所以x1x2=(a+m)(b-m)=ab+m(b-a)-m2=ab+1,所以m(b-a)-m2=1,所以m=.

因为a<b,所以b-a>0,所以m>0,故x1>a,x2<b.又x1<x2,故a<x1<x2<b.

解法二(数形结合):不等式x2-(a+b)x+ab+1<0可化为(x-a)(x-b)<-1.

设y=(x-a)(x-b),画出函数y=(x-a)(x-b)的大致图象与直线y=-1,如图所示,

由图象可知a<x1<x2<b.

4.ACD　由题图可知,该二次函数的图象开口向上,与x轴的交点为(-1,0),(2,0),