第02讲 集合的运算 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第02讲集合的运算 考点1.交集 例题1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3.已知集合则（   ） A． B． C． D． 考点2.并集 例题2．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点3.补集 例题3．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2已知集合，则= ． 考点4.交并补的混合运算 例题1.（2025·天津·）已知集合，则=（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1.（2025·全国一卷·）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．若全集，则集合等于（    ） A． B． C． D． 考点5.容斥原理 例题5．某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（    ） A．21 B．26 C．31 D．37 【针对训练】 1．有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 2．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 考点6由集合的运算结果求参数的值或范围 例题6．设集合.若，则 . 【针对训练】 1．设集合，，，则实数的取值集合为 . 2．设全集，集合，若，则 ． 3．设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 常考易错题 1.设集合或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2． 已知集合，，若，则 ； 3．已知或，，若，则m的取值范围是 . 4．已知集合，若，求实数的值. 【综合提升】 1．已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 2．已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 3．已知集合，且. (1)求； (2)已知集合，且，求的取值范围. 4．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 5．已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 6．已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 7．设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 8．已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 9．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲集合的运算 考点1.交集 例题1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有：, 【针对训练】 1．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合集合的条件计算可得，，进而根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，，， 则，，所以. 故选：C. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出交点坐标，利用交集的定义求解即可. 【详解】由,解得：,所以， 故选：C 3.已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 考点2.并集 例题2．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合B，再根据集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， 结合全集，集合， 得， 故选：B 【针对训练】 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合B，根据集合并集运算计算即可. 【详解】集合， 因为，所以. 故选：C 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合并集运算得到答案. 【详解】由集合并集运算得到． 故选：A. 考点3.补集 例题3．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合补集运算法则即可. 【详解】因为，， 所以 故选：C. 【针对训练】 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用补集运算直接得到结果. 【详解】由，，则. 故选：D 2已知集合，则= ． 【答案】 【分析】先根据集合的运算求出，再根据补集的定义即可求解. 【详解】由已知集合，所以， 所以. 故答案为：. 考点4.交并补的混合运算 例题1.（2025·天津·）已知集合，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 【针对训练】 1.（2025·全国一卷·）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 3．若全集，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交并补的运算逐项判断即可. 【详解】 ，， ，， 故选：D 考点5.容斥原理 例题5．某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（    ） A．21 B．26 C．31 D．37 【答案】A 【分析】先设出参加不同比赛的人数，再利用容斥原理列出等式，进行求解. 【详解】设该单位共有职工人数为，， 参加比赛的人数为， 设参加乒乓球的人数为，参加篮球的人数为，参加羽毛球的人数为， 则，，， 设同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数， 同时参加乒乓球、羽毛球比赛的人数， 则，， 设同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数，三项比赛都不参加的人数为， 则，， 则由容斥原理得， 代入相应数值得， 解得， 设只参加羽毛球比赛的人数为， 则由容斥原理得. 故选：A 【针对训练】 1．有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且， 则. 参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次， 故， 将代入可得，即， 联立方程组， 解得，即种球类训练都参加的人数为人， 故选：A. 2．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 3.某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 【答案】50 【分析】根据题意，利用容斥原理结合集合的运算概念和运算方法，即可求解 【详解】由题意，用分别表示参加机器人社的学生、参加编程社的学生和参加航模社的学生形成的集合，则， ， 因此 . 所以至少参加一个社团的学生有50人. 故答案为：50. 考点6由集合的运算结果求参数的值或范围 例题6．设集合.若，则 . 【分析】由得，求出并验证. 【详解】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 【针对训练】 1．设集合，，，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】解方程求集合，再由并集结果，讨论、分别求出对应参数值，即可得. 【详解】由题设，又，则. 所以，显然不可能有， 当时，若，此时， 若，此时， 当时，有， 综上，. 故答案为： 2．设全集，集合，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据补集定义求出集合A，然后由韦达定理可得. 【详解】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 3．设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】{或} 【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由确定实数的取值范围；方法二，考虑的反面，利用补集思想求解. 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 常考易错题 1.设集合或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合间的关系求出参数范围，再逐项判断即可. 【详解】由题知，， 若等价于或，解得或，故A、B正确； ，则，故C正确； ，则，故D错误； 故选：ABC. 2．已知集合，，若，则 ； 【答案】 －2 3．已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 4．已知集合，若，求实数的值. 【答案】或 【分析】先求集合，分类求出集合，再利用给定交集运算的结果求解.. 【详解】由，解得或，所以， 又方程，即，解得或， 又因为，所以， 当时，即时，，满足题意， 当时，由得， 综上所述，或. 【综合提升】 1．已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集、并集的定义求解即可； （2）根据推出，再求的范围即可. 【详解】（1）因为集合 ， 所以 ， 解得 ， 所以集合 ， 可得当时，集合 ， 又因为全集 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以. （2）因为 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以 ， 即实数的取值范围为 ． 2．已知集合，集合． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合交集的结果，建立不等式组，解得答案； （2）先求出集合的补集，根据包含关系，可得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）因为或，且， 所以或，解得或， 则实数m的取值范围为：或. 3．已知集合，且. (1)求； (2)已知集合，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合题意可得，然后可得. （2）分，两种情况，结合题意可得答案. 【详解】（1）由题知，解得， 此时，满足， 故； （2）由题知，因为， 当，即时，解得，满足题意； 当，即时，， 要满足. 则，解得，故. 综上，的取值范围是. 4．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 5．已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出当时，再根据交集的定义求出即可； （2）先将转化成，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以或， 又因为， 所以. （2）由可得. 所以当时，有，解得； 当时，有，解得. 综上，所以的取值范围为. 6．已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 7．设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由补集及并集运算即可求解； （2）由和两类情况讨论，列出不等式求解即可. 【详解】（1）或. 或. （2）由， 则①当时，由，解得； ②当时，或 解得或． 综上，实数的取值范围为． 8．已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 9．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $