第01讲 集合及其相关概念与常考题型 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第01讲集合及其相关概念与常考题型 【题型1】集合的定义 【例题1】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【针对训练】思路点拨：判断选项中的元素能否构成集合，只需根据集合中元素的性质（1）确定性（2）互异性（3）无序性判断即可 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【题型2】元素与集合的关系 【例题2】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【针对训练】 思路点拨：元素和集合的基本关系为属于和不属于 1.（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】利用集合中元素的性质求参数的值 【例题3】（18-19高一上·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【针对训练】思路点拨：对与某个元素属于一个集合，求参数的值问题，只需要将这个元素代入集合，结合集合中元素的互异性求解即可 1.（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（2023高一·全国·课后作业）若，则的值为 ． 3.（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【题型4】集合的表示 【例题4】（24-25高一上·广东珠海·期中）不等式的解集为 ． 【针对训练】思路点拨：对于集合的表示类题目一定要熟知集合的三种表示形式：列举法，描述法和图像法 1.（24-25高一上·辽宁·阶段练习）方程组的解集为 . 2.（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 3.（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5】利用集合中元素的个数求参数的值 【例题5.】（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【针对训练】思路点拨：已知集合中元素的个数求参数的值，一定要根据情况分类讨论严防出错 1.（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 2.（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【题型6】集合的相等问题 【例题6】（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 思路点拨：对于集合的想等问题，通常情况下考查，判断两个集合是否相等和利用集合的相等关系求参数的值两类，做题时只要把握住相等的两个集合中的元素相同即可 【针对训练】 （24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2.（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【题型7】子集,真子集,空集的概念与应用 【例题7】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【针对训练】 1.（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合的子集共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8】判断集合间的基本关系 【例题8】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1.（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 2.（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 3.（24-25高二下·上海·阶段练习）设集合，则A的非空子集的个数为 . 【必考题型】利用集合间的基本关系求参数的值或范围 【例题】（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【针对训练】 1.（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 2.（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 3.（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 4.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【课后综合】 1.（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 2.（16-17高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 3.（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 4.（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5.（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）若，则集合P中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 7.（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 8.（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9.（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 10.（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲集合及其相关概念与常考题型 【题型1】集合的定义 【例题1】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 【针对训练】思路点拨：判断选项中的元素能否构成集合，只需根据集合中元素的性质（1）确定性（2）互异性（3）无序性判断即可 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【答案】A 【分析】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可. 【详解】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确； 对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误； 对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误； 对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误. 故选：A 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【答案】C 【分析】利用集合的概念和集合的表示法判断即可. 【详解】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确； 对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误. 故选：C. 【题型2】元素与集合的关系 【例题2】（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 【针对训练】 思路点拨：元素和集合的基本关系为属于和不属于 1.（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可 【详解】，所以， 故A，C，D错误，B正确 故选：B. 2.（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 【题型3】利用集合中元素的性质求参数的值 【例题3】（18-19高一上·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 【针对训练】思路点拨：对与某个元素属于一个集合，求参数的值问题，只需要将这个元素代入集合，结合集合中元素的互异性求解即可 1.（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 2.（2023高一·全国·课后作业）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得或或，分别求解后再验证即可. 【详解】解：因为， 当，即时，此时，不满足元素的互异性； 当，即时，此时，满足题意； 当，即时，此时无解； 综上，. 3.（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型4】集合的表示 【例题4】（24-25高一上·广东珠海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】先解出不等式，进而写出解集. 【详解】由，即或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 【针对训练】思路点拨：对于集合的表示类题目一定要熟知集合的三种表示形式：列举法，描述法和图像法 1.（24-25高一上·辽宁·阶段练习）方程组的解集为 . 【答案】 【分析】解原方程组，可得其解集. 【详解】解方程组得，故原方程组的解集为. 故答案为：. 2.（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 【答案】 【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可. 【详解】因为或或，所以. 故答案为： 3.（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 【题型5】利用集合中元素的个数求参数的值 【例题5.】（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【针对训练】思路点拨：已知集合中元素的个数求参数的值，一定要根据情况分类讨论严防出错 1.（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可. 【详解】当时，解得，满足题意； 当时，此时，解得， 所以的值构成的集合为， 故答案为：. 2.（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【答案】4 【分析】由集合的描述法可得结果. 【详解】由题意得，所以的元素个数为4. 故答案为：4. 【题型6】集合的相等问题 【例题6】（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 思路点拨：对于集合的想等问题，通常情况下考查，判断两个集合是否相等和利用集合的相等关系求参数的值两类，做题时只要把握住相等的两个集合中的元素相同即可 【针对训练】 （24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 2.（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 【题型7】子集,真子集,空集的概念与应用 【例题7】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 【针对训练】 1.（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合的子集共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由子集的定义即可得出答案. 【详解】集合的子集有：，有4个. 故选：D. 2.（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】分集合含有一个元素及两个元素分别求解即可. 【详解】当集合A中含一个元素时，或； 当集合A中含两个元素时，或或， 所以这样的集合共有个. 3.（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 【题型8】判断集合间的基本关系 【例题8】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素在集合中，，A正确； 对于B，集合与集合中的元素相同，，B正确； 对于C，集合中的元素都在集合中，，C正确； 对于D，集合中的元素不是空集，不正确，D错误. 【针对训练】 1.（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABD 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【详解】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 2.（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 3.（24-25高二下·上海·阶段练习）设集合，则A的非空子集的个数为 . 【答案】15 【分析】根据非空子集个数公式计算. 【详解】集合，则A的子集的个数为， 所以A的非空子集的个数为. 【必考题型】利用集合间的基本关系求参数的值或范围 【例题】（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【针对训练】 1.（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 2.（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 3.（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 4.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【课后综合】 1.（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 2.（16-17高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意求出的取值，即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以， 所以， 即集合中有个元素. 3.（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 4.（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 5.（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）若，则集合P中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合和元素的概念进行求解. 【详解】集合P中元素为，，共2个． 6.（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由子集的定义即可得出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 7.（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值． 【详解】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 8.（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 9.（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 10.（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意得，根据相等集合和子集的定义即可判断. 【详解】由题意得，， 则且，可得A，C，D正确. 故选：ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $