21.2.1　配方法（课时训练） 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

人教版数学九年级上册 第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.1　配方法 第1课时　直接开平方解一元二次方程 基础巩固 知识点1　 直接开平方法解一元二次方程 1.(2024白云区期末)方程x2=1的根为(　 　) A.x=1 B.x=-1 C.x=±1 D.x=0 2.对于一元二次方程(x+2)2=36,下列说法正确的是(　 　) A.两边开平方,得x=6 B.两边开平方,得x=±6 C.两边开平方,得x+2=6 D.两边开平方,得x+2=±6 3.若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为　 　.(写出一个即可)  4.解下列方程: (1)x2=5; (2)(x-1)2=4. 知识点2　 变形后应用开平方法解一元二次方程 5.有下列方程:①4x2=1;②x2+2x-1=0;③3x2-x=0;④-(2x+1)2+4=0.其中能用直接开平方法求解的是(　 　) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 6.若代数式3x2-6的值为21,则x的值为(　 　) A.3 B.±3 C.-3 D.± 7.(易错题)若关于x的方程(ax-1)2-16=0的一个根为x=2,则a的值为  　.  8.解下列方程: (1)25x2-36=0; (2)2(x-1)2-8=0. 能力提升 9.如图是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为(　 　) A.+1 B.-+1 C.+1或-+1 D.无法确定 10.已知x1,x2是方程3(x-1)2=15的两个根,且x1<x2,则下列说法正确的是(　 　) A.x1<-1,x2>3 B.x1<-2,x2>3 C.-1<x1<x2<3 D.x1<x2<3 11.(易错题)已知一元二次方程x2-6x+9=1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,则△ABC的周长为(　 　) A.10 B.10或8 C.9 D.8 12.(易错题)如果(a2+b2-1)2=4,那么a2+b2=　 　.  13.用直接开平方法解下列方程: (1)(x-4)2=(3x+2)2; (2)4(3x-1)2-9(3x+1)2=0. 14.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4. (1)求m的值;(2)求的值. (2)当m=1时,m+1=2,2m-4=-2. 15.(阅读理解)(2023中山期中)阅读下列解一元二次方程的方法,并解决问题: 解方程:x(x-2)=3. 应用:用“和差数法”解方程(x+1)(x+5)=12. 第2课时　配方法解一元二次方程 基础巩固 知识点1　 用配方法解一元二次方程 1.用配方法解一元二次方程x2+3x=1时,方程两边都加上(　 　) A. B.- C.9 D. 2.一元二次方程x2-4x-2=0,用配方法变形可得(　 　) A.(x+2)2=2 B.(x-2)2=6 C.(x+3)2=2 D.(x-3)2=6 3.下列用配方法解方程 x2-x-2=0的四个步骤中,开始出现错误的是(　 　) A.① B.② C.③ D.④ 4.用适当的数或式子填空: (1)x2-4x+　 　=(x-　 　)2;(2)x2-　 　+16=(x-　 　)2.  5.把一元二次方程2x2-8x-7=0化成(x+m)2=n的形式是　 　. 6.用配方法解方程:(1)x2-10x+9=0;(2)2x2-2x=x+3. 知识点2　 用配方法解决问题 7.用配方法将二次三项式a2-4a+3变形,结果是(　 　) A.(a-2)2-1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2-3 D.(a-2)2-6 8.对于任意的实数x,代数式x2-5x+10的值是一个(　 　) A.正数 B.负数 C.非负数 D.不能确定 9.(荆州中考)一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x-2)2=k,则k的值是　　. 能力提升 10.一个一元二次方程的二次项是2x2,它经过配方整理得=1,那么它的一次项和常数项分别是(　 　) A.x,- B.2x,- C.2x,- D.x,- 11.在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,对于两人的解法,说法正确的是(　 　) 小思: 2x2+4x=-1, x2+2x=-, x2+2x+1=-+1, (x+1)2= 小博: 2x2+4x=-1, 4x2+8x=-2, 4x2+8x+4=-2+4, (2x+2)2=2 A.两人都正确 B.小思正确,小博不正确 C.小思不正确,小博正确 D.两人都不正确 12.(分类讨论)等腰三角形的两边长分别是方程3x2-7x+4=0的两个根,则此三角形的周长为  .  13.规定:a⊗b=(a+b)b.如2⊗3=(2+3)×3=15.若2⊗x=3,则x的值为　 　.  14.已知a,b,c是△ABC的三边长,其中a,b满足a2+b2=10a+8b-41,求c的取值范围. 15.【阅读材料】我们在求代数式x2-2x+3的最大或最小值时,利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2对此式子作如下变形: x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2, 因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+2≥2, 因此(x-1)2+2有最小值2, 所以,当x=1时,x2-2x+3的最小值为2. 【解决问题】(1)已知代数式x2+2x+3,无论x为何实数,该代数式的值一定是(　 　) A.正数　 B.负数　 C.0　 D.不能确定 (2)代数式-x2+4x+9有最　 　值(填“大”或“小”),且最值为　 　. (3)已知a,b满足等式x=a2-6ab+9b2,y=4a-12b-4,则x,y的大小关系是x　 　y.  1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.1　配方法 第1课时　直接开平方解一元二次方程 知识点1　 直接开平方法解一元二次方程 1.(2024白云区期末)方程x2=1的根为(　C　) A.x=1 B.x=-1 C.x=±1 D.x=0 2.对于一元二次方程(x+2)2=36,下列说法正确的是(　D　) A.两边开平方,得x=6 B.两边开平方,得x=±6 C.两边开平方,得x+2=6 D.两边开平方,得x+2=±6 3.若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为　3(答案不唯一)　.(写出一个即可)  4.解下列方程: (1)x2=5; (2)(x-1)2=4. 解:(1)根据平方根的意义,得x=±,即x1=,x2=-. (2)根据平方根的意义,得x-1=±2,即x-1=2或x-1=-2, ∴x1=1+2=3,x2=1-2=-1. 知识点2　 变形后应用开平方法解一元二次方程 5.有下列方程:①4x2=1;②x2+2x-1=0;③3x2-x=0;④-(2x+1)2+4=0.其中能用直接开平方法求解的是(　C　) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 6.若代数式3x2-6的值为21,则x的值为(　B　) A.3 B.±3 C.-3 D.± 7.(易错题)若关于x的方程(ax-1)2-16=0的一个根为x=2,则a的值为 或-　.  8.解下列方程: (1)25x2-36=0; (2)2(x-1)2-8=0. 解:(1)移项,得25x2=36,整理,得x2=,两边开平方,得x=±, 即x1=,x2=-. (2)移项,得2(x-1)2=8,二次项系数化为1,得(x-1)2=4, 两边开平方,得x-1=±2,即x1=3,x2=-1. 9.如图是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为(　C　) A.+1 B.-+1 C.+1或-+1 D.无法确定 10.已知x1,x2是方程3(x-1)2=15的两个根,且x1<x2,则下列说法正确的是(　A　) A.x1<-1,x2>3 B.x1<-2,x2>3 C.-1<x1<x2<3 D.x1<x2<3 11.(易错题)已知一元二次方程x2-6x+9=1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,则△ABC的周长为(　A　) A.10 B.10或8 C.9 D.8 12.(易错题)如果(a2+b2-1)2=4,那么a2+b2=　3　.  13.用直接开平方法解下列方程: (1)(x-4)2=(3x+2)2; (2)4(3x-1)2-9(3x+1)2=0. 解:(1)两边开平方,得x-4=±(3x+2),即x-4=3x+2或x-4=-3x-2, 解得x1=-3,x2=. (2)[2(3x-1)]2=[3(3x+1)]2,两边开平方,得2(3x-1)=±3(3x+1), 即2(3x-1)=3(3x+1)或2(3x-1)=-3(3x+1),解得x1=-,x2=-. 14.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4. (1)求m的值;(2)求的值. 解:(1)ax2=b,系数化为1,得x2=,解得x=±, 即方程的两根互为相反数. ∵一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4, ∴m+1+2m-4=0,解得m=1. (2)当m=1时,m+1=2,2m-4=-2. ∵x=±,一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4, ∴=(±2)2=4. 15.(阅读理解)(2023中山期中)阅读下列解一元二次方程的方法,并解决问题: 解方程:x(x-2)=3. 解:原方程可变形,得[(x-1)+1][(x-1)-1]=3, (x-1)2-12=3,(x-1)2=4, 方程两边同时开平方,得x-1=±2,解得x1=3,x2=-1. 我们叫这种解法为“和差数法”. 应用:用“和差数法”解方程(x+1)(x+5)=12. 解:原方程可变形,得[(x+3)-2][(x+3)+2]=12, ∴(x+3)2-22=12,(x+3)2=16,方程两边同时开平方,得x+3=±4, 解得x1=1,x2=-7. 第2课时　配方法解一元二次方程 知识点1　 用配方法解一元二次方程 1.用配方法解一元二次方程x2+3x=1时,方程两边都加上(　D　) A. B.- C.9 D. 2.一元二次方程x2-4x-2=0,用配方法变形可得(　B　) A.(x+2)2=2 B.(x-2)2=6 C.(x+3)2=2 D.(x-3)2=6 3.下列用配方法解方程 x2-x-2=0的四个步骤中,开始出现错误的是(　D　) A.① B.② C.③ D.④ 4.用适当的数或式子填空: (1)x2-4x+　4　=(x-　2　)2;(2)x2-　8x　+16=(x-　4　)2.  5.把一元二次方程2x2-8x-7=0化成(x+m)2=n的形式是　(x-2)2=　. 6.用配方法解方程:(1)x2-10x+9=0;(2)2x2-2x=x+3. 解:(1)x2-10x+9=0,x2-10x=-9,x2-10x+25=16, (x-5)2=16,x=5±4,x1=1,x2=9. (2)2x2-2x=x+3,x2-x=,x2-x+=+,=, x-=±,x1=,x2=. 知识点2　 用配方法解决问题 7.用配方法将二次三项式a2-4a+3变形,结果是(　A　) A.(a-2)2-1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2-3 D.(a-2)2-6 8.对于任意的实数x,代数式x2-5x+10的值是一个(　A　) A.正数 B.负数 C.非负数 D.不能确定 9.(荆州中考)一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x-2)2=k,则k的值是　1　. 10.一个一元二次方程的二次项是2x2,它经过配方整理得=1,那么它的一次项和常数项分别是(　C　) A.x,- B.2x,- C.2x,- D.x,- 11.在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,对于两人的解法,说法正确的是(　A　) 小思: 2x2+4x=-1, x2+2x=-, x2+2x+1=-+1, (x+1)2= 小博: 2x2+4x=-1, 4x2+8x=-2, 4x2+8x+4=-2+4, (2x+2)2=2 A.两人都正确 B.小思正确,小博不正确 C.小思不正确,小博正确 D.两人都不正确 12.(分类讨论)等腰三角形的两边长分别是方程3x2-7x+4=0的两个根,则此三角形的周长为 或　.  13.规定:a⊗b=(a+b)b.如2⊗3=(2+3)×3=15.若2⊗x=3,则x的值为　1或-3　.  14.已知a,b,c是△ABC的三边长,其中a,b满足a2+b2=10a+8b-41,求c的取值范围. 解:∵a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=10a+8b-41, ∴a2+b2-10a-8b=-41,∴+-25-16=-41, ∴+=0, ∴a-5=0,b-4=0,∴a=5,b=4. ∵a-b<c<a+b,∴1<c<9. 15.【阅读材料】我们在求代数式x2-2x+3的最大或最小值时,利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2对此式子作如下变形: x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2, 因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+2≥2, 因此(x-1)2+2有最小值2, 所以,当x=1时,x2-2x+3的最小值为2. 【解决问题】(1)已知代数式x2+2x+3,无论x为何实数,该代数式的值一定是(　A　) A.正数　 B.负数　 C.0　 D.不能确定 (2)代数式-x2+4x+9有最　大　值(填“大”或“小”),且最值为　13　. (3)已知a,b满足等式x=a2-6ab+9b2,y=4a-12b-4,则x,y的大小关系是x　≥　y.  1 学科网（北京）股份有限公司 $