2.2.1直线的点斜式方程 难点训练微专题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.1直线的点斜式方程 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 1.求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 2.求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 3.几个注意点 （1）经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0. （2）直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的条件为:①l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2; ②l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (3)距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值． 微专题训练 一、单选题 1．过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 4．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知等腰底边两端点的坐标分别为，，则顶点A的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 8．下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 10．下列结论正确的是（    ） A．直线l过点，倾斜角为90°，则其方程是 B．方程与方程可表示同一直线 C．直线l过点，斜率为0，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 11．（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知直线方程是，则此直线过定点的坐标为 ． 13．将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是 ． 14．直线，的倾斜角的取值范围为 . 四、解答题 15．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 16．如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标如图，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高线所在直线的方程. (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1直线的点斜式方程 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 1.求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 2.求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 3.几个注意点 （1）经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0. （2）直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的条件为:①l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2; ②l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (3)距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值． 微专题训练 一、单选题 1．过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 2．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 3．若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论，满足条件的直线有两条，一条是过这两点的中点，另一条是平行于这两点的直线，然后利用直线方程的知识求解即可. 【详解】根据题意，分情况讨论可得： 当两个点，在所求直线的异侧时， 即过线段的中点．由于直线又经过， 此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为； 当，在所求直线同侧时， 直线与所求的直线平行， 又因为， 所以所求的直线斜率为，由于直线又经过， 直线方程为， 化简得：， 综上，满足条件的直线为或， 故选：C． 4．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式可得边的中点坐标为，可得边上的中线的斜率，由点斜式可得边上的中线所在直线的方程. 【详解】因为， 设边的中点为，则，即， 又，所以， 故边上的中线所在直线的方程为，即． 故选：D. 5．在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个选项中与的图象，分别确定的取值即可判断. 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 6．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线恒过定点，分别计算，结合图象即可得的范围. 【详解】直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与线段相交， 所以由图可知. 故答案为：. 7．已知等腰底边两端点的坐标分别为，，则顶点A的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得顶点A的轨迹是的垂直平分线（除去垂直平分线与线段的交点），利用斜率关系与点斜式方程可得． 【详解】，且三点不共线， 顶点A的轨迹是线段的垂直平分线（除去垂直平分线与线段的交点，即除去的中点）， ，， ，所以与直线BC垂直的直线的斜率为， 又BC的中点， 则线段的垂直平分线的方程为，即. 顶点A的轨迹方程是， 故选：D.    8．下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过的象限确定斜率及轴截距判断选项即可. 【详解】若直线过第一、二、四象限，则， 选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足． 故选：C. 二、多选题 9．（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 10．下列结论正确的是（    ） A．直线l过点，倾斜角为90°，则其方程是 B．方程与方程可表示同一直线 C．直线l过点，斜率为0，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 【答案】AC 【分析】由斜率，倾斜角，点斜式与斜截式概念判断各选项正误； 【详解】A选项，因倾斜角为90°，则直线斜率不存在，又直线 过点，则其方程是，故A正确； B选项，方程与方程y－2＝k(x＋1)相比，不含点， 故B错误； C选项，因直线斜率为0，则直线形式为，又l过点， 则其方程是，故C正确； D选项，对于斜率不存在的直线，不存在相应的点斜式和斜截式方程，故D错误. 故选：AC 11．（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知直线的斜率为，分两种情况，由点斜式得到直线方程. 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得； 当直线的斜率为时，直线方程为，化简得. 故选：BC 三、填空题 12．已知直线方程是，则此直线过定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将直线方程变形为点斜式方程，由点斜式方程的定义可得解. 【详解】将直线方程转化为点斜式方程，由点斜式方程定义可知，则此直线过定点的坐标为． 故答案为： 13．将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，先确定所求直线的斜率，在用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为. 将其顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率为：. 所以所求直线方程为：即. 故答案为： 14．直线，的倾斜角的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据直线斜率的取值范围可得倾斜角的取值范围. 【详解】设直线倾斜角为，斜率为， 由题意得，， ∴. 故答案为：. 四、解答题 15．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出点的坐标，直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解. （2）由（1）求出直线的斜率，进而求出直线方程. 【详解】（1）由，边的中点，得点，又点， 则直线的斜率，直线的方程为，即， 所以所在直线的方程为. （2）由（1）知，直线的斜率， 所以高所在直线的方程为，即. 16．如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标如图，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高线所在直线的方程. (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出边的中点，再求出中线所在直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解. （2）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. （3）由（1）（2），直线的点斜式方程求解. 【详解】（1）依题意，边的中点，则边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率，则边上的高线所在直线的斜率， 所以边上的高线所在直线的方程，即. （3）由（2）知，边上的垂直平分线所在直线的斜率为1， 由（1）知，边上的垂直平分线所在直线过点， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $